摘要：数学教育的问题并不在于数学学习的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。基于简单的文献梳理，管窥逻辑主义、形式主义、直觉主义、经验主义、理性主义、社会建构主义、数学文化本质观，以及当代的自然主义与物理主义等各种流派对数学本质的认识。由此，结合新课标中的定位，得到启示：数学是现实世界和人类心灵的产物;数学不是绝对的“真理”，只是可误和发展着的“相对真理”;数学是一种人类特有的基于社会建构而形成的文化;数学最核心的价值就在于引导并促进人们理性地认识并改造客观世界。

关键词：数学本质;数学哲学;数学文化;社会建构;理性精神

美国数学家、数学教育家赫斯认为：“数学教育的问题并不在于数学学习的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。”Paul Ernest.数学教育哲学[M].齐建华，张松枝，译.上海：上海教育出版社，1998：67。数学的本质问题（数学是什么），是数学哲学研究中长期争论不休的话题。本文尝试基于简单的文献梳理，管窥各种流派对数学本质的认识，并结合最新颁布的义务教育数学课程标准中的定位，浅谈对“数学是什么”的思考，希望对读者有所启发。

一、 三种经典数学观的伟大贡献与历史局限

基于对数学本质问题的不同解答而形成的传统的三大数学流派，逻辑主义、形式主义和直觉主义分别代表着三种不同的数学哲学观，代表人物分别有罗素、希尔伯特和克劳威尔。笔者查阅文献，认为三种流派的观点、主张并没有严格的区分与界定。其区别与其说是对数学本质的认识存在鲜明差异，不如说是对数学发展中起着决定作用的某些特征的尊崇与倡导不同而已。逻辑主义强调“数理即逻辑”，既是对数学的逻辑特性的深刻认识，又是对逻辑（集合论公理体系）的极度推崇。形式主义则是对数学进行形式化、符号化的极致表达，也是对建立数学“自系统”的理性化追求。直觉主义既有对数学真理的“神赋”的无比崇拜，也有对人为构造的数学的执着探求。三种数学哲学观没有本质上的对错之分，它们都在一定的历史时期对社会的进步、科学的发展以及数学自身的繁荣与演化作出了伟大的贡献，数学这座坚固而美丽的大厦不能缺少它们任何一种基石。但它们也不可避免地存在一定的历史局限性，而这些局限性恰恰为数学后续的发展提供了探索出路或革新契机。

二、 经验主义与理性主义数学观的相辅相成

哲学史上的一大争论，就是所谓的“经验主義者”与“理性主义者”之间的争论。罗素.哲学问题[M].何兆武，译.北京：商务印书馆，2007：59。经验主义数学哲学的核心观点包括：强调数学是人类的实践活动;数学对象是可靠的经验创造的客观事实;数学实在通过经验加以认识;数学命题是经验的一般化，是直接经验的归纳。而理性主义数学观一般认为：“数学的形成与发展依赖高度的逻辑化与形式化，数学在本质上是观念科学。数学的研究结论是自足的，不需要经验世界来证明。自然科学理论是否成立需要实验与观察事实的支持，而数学就不一样，无论是否有现实基础，只要逻辑推论没有错误，就具有一定的合理性。也就是说，数学是纯粹思维的产物。对数学的真理性而言，最重要的不是符合现实，而是逻辑自洽;最关键的也不在于实用性能，而是思维理性。”岳欣云，董宏建.数学教育“生活化”还是“数学化”——基于数学教育哲学的思考[J].教育学报，2017（3）：4147。这里主要注意的是，理性主义是一种哲学的观念，和通常所说的理性精神并不等同。

重视与强调数学经验的声音从古至今从未被淹没：从古埃及、古巴比伦的先哲到亚里士多德、穆勒，再到莱曼、赫什，从霍布斯的怀疑论的经验主义到洛克对知性的批判，以及贝克莱和休谟的延续，尽管有时频发强音，有时相对微弱，但其哲学的光芒一直在闪烁。而始于笛卡儿的理性主义路线，经过马勒伯朗士、斯宾诺莎、莱布尼兹和沃尔夫学派，直到康德这个转折点，发展成为一些宏大的思想体系胡塞尔.欧洲的科学危机与超越论的现象学[M].王炳文，译.北京：商务印书馆，2001：109。，并成为近代以来西方比较尊崇的一种数学哲学观。笔者认为，将经验主义与理性主义对立是不可取的。没有哪一种倾向经验的能够站得住脚的认识是毫无理性可言的，同时也不存在具有超越一切经验效力的理性主义的东西。经验主义本身就是理性的思考，理性主义也从来都承认数学起源于现实生活需要。二者只能是相互促进、相辅相成。

三、 社会建构主义数学观与数学文化本质观的相通相融

社会建构主义者将数学视作社会建构的产物，认为人类的知识、规则和约定对数学真理的确定和判定起着关键作用。数学是在一定的社会文化背景下不断发展变化、不断修正的知识观念。以欧内斯特为代表的社会建构主义者的数学观打破了“数学是可靠性知识”的神话。数学知识不再具有一种内在的、永恒的、单纯抽象的“本质”，而是一种在特定历史框架中的建构，蕴含深刻的人性价值。这种新的数学观对数学教育具有深远的意义。从本质上看，欧内斯特等人的数学教育哲学属于可误主义数学观、大众数学教育哲学观，是同我们努力倡导的数学素质教育理论相合拍的。齐建华.数学教育的哲学思考——我译《数学教育哲学》[J].河南教育学院学报（自然科学版），1999（1）：1215。

与之款曲相通，都强调人文背景与动态发展的，是美国著名的应用数学家、数学教育家、数学史家和数学哲学家莫里斯·克莱因倡导的数学文化本质观。克莱因的《古今数学思想》《西方文化中的数学》《数学：确定性的丧失》等著作已成为数学研究者和数学教育者学习的经典，在学术界产生了深远的影响。特别是他关于“数学精神”的论述，指引着众多数学教育者孜孜不倦地探索数学的育人价值。克莱因将其数学史观作为数学哲学的出发点，对数学基础问题、数学本体论问题、数学真理性问题、数学文化等一系列数学哲学基础进行了深入研究，形成了较为完整的数学文化哲学观。

在数学史观方面，克莱因认为，“数学家的思想应该是数学史的核心，因为它是数学课题的主要的、真正富有活力的、反映数学本来面目的组成部分”莫里斯·克莱因.古今数学思想（第二册）[M].张理京，张锦炎，江泽涵，译.上海：上海科学技术出版社，2001：285。。其数学史著作《古今数学思想》被评论为：“就数学史而言，这是迄今为止最好的一本。”④⑤⑥ 莫里斯·克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵，译.北京：商务印书馆，2013：译者前言7，10，431，25。

关于数学本体论，克莱因认为，数学命题是按照一定的法则组成的符号系列，数学家有创造数学结构的自由。他对实在论，即数学的研究对象是一种独立于人类认识的客观存在的观点持明确的反对态度。他认为，数学是与自然界里的概念和法则全然不同的;数学具有一定程度的人为性;数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理念，它们或者像四元数那样没有直接的物理解释，但却是有用的，或者像n维空间几何那样，满足一种普遍性的要求;数学与其他领域的区别在于它自由地创造自己的概念，而无须顾及是否实际存在。④“数学确乎是人造的、易犯错误的思想的产物，而不是独立于人的永恒世界中的东西;数学并不是建立在客观现实基础上的一座钢筋结构，而是人在思想领域中进行特别探索时，与人的玄想连在一起的蜘蛛网。”⑤

除了对数学本体论与数学真理性的探讨，克莱因对数学文化的洞彻分析，与对数学思想史梳理的鸿篇巨制一样令人震撼。他认为，数学是人类最伟大和最富理性的艺术。在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会被简化成一系列的技巧，其形象也就完全被歪曲了。数学文化应该包括两个方面：一方面是作为人类文化子系统的数学文化，所涉及的是数学与其他文化、与整个文明的关系;另一方面就是数学本身作为一个文化系统，包含它的发生、发展及其结构。⑥

20世纪著名拓扑学家怀尔德提出：“数学是一种不断进化的子文化体系。”刘鹏飞，徐乃楠，王涛.怀尔德的数学文化研究[M].北京：清华大学出版社，2021：8。我国学者南京大学郑毓信教授多年从事数学哲学研究，其学术著作以及哲学思想引领国内数学教育及数学哲学的研究。郑教授也曾提出，数学是相对独立的文化系统，而且是整个人类文化的一个子系统。数学是模式的科学，数学家通过模式的建构并以此为直接对象来从事客观世界量的规律性研究。郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001：228229。

四、 当代的自然主义与物理主义数学观

以蒯因为主要倡导者的自然主义与物理主义，是当代英美哲学界较为推崇的哲学理论。我国学者在这方面的学术研究成果相对较少。首都师范大学叶峰教授应该是國内将数学哲学研究建立在自然主义与物理主义基础上的探索者和引领者。在《为什么相信自然主义与物理主义》一文中，叶教授详细论述了当代对自然主义与物理主义的认识。自然主义与物理主义者一般认为，科学方法是认识事物最可靠的方法，没有优于科学方法的其他方法。人类自身是自然事物，是生物系统，是生物进化与个体发育的结果;人类的认知过程也是自然过程，即大脑中的神经元活动及其与环境相互作用的过程。心智具有大脑中的神经元网络的结构等广义的物理属性——心理学最终要走向神经科学。他们坚定地反对那些预设了灵魂、先验自我（transcendental ego）、意识之流（stream of consciousness）、绝对精神等超自然的事物或立场。③ 叶峰.从数学哲学到物理主义[M].北京：华夏出版社，2016：281345，139。

叶教授基于自然主义和物理主义的认识，探讨了“数学真理是什么”，但是对于数学本质和数学真理，没有给出具体而明确的结论。在《数学真理是什么》一文中，叶教授言明：“本文的目的是简要介绍历史上哲学家对数学真理本质的思考，考察它们是否提供了对这个问题的答案。”对于从恩格斯、康德到弗雷格、哥德尔等对数学真理的定位，叶教授都提出了质疑，并做了启发性意义的探讨。更难能可贵的是，叶教授澄清了数学哲学中最关键的难题，即数学实践主体（也就是认知主体）到底是什么，主体能不能认识抽象数学（尤其是实无穷抽象数学）对象的真实性。认知主体最终是一个复杂的物理系统，而认知过程也最终是一个物理过程。物理主义框架下的数学哲学，是唯名论的、严格有穷主义的数学哲学。③

五、 新课标对“数学是什么”的定位

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在第一部分“课程性质”中，以恩格斯对数学的定义开宗明义地对义务教育阶段“数学”的概念做了清晰的界定：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”紧接着，就对数学的本质构成（研究使命）做了进一步阐述：“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系;基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。”数学的研究使命是什么呢？抽象地认识、理解和表达现实世界。认识、理解和表达现实世界的哪些方面呢？本质、关系和规律。以什么方法进行呢？抽象的、推理的、模型的方法。新课标在这一段中，还对数学的价值、意义与作用做了简明的分析：“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着越来越重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。”数学既具有思维工具价值，又具有人文思想价值，更有着发展创造价值。

六、 对“数学是什么”的思考

中小学数学教师的数学观，无疑会直接影响数学教学行为，同时会间接影响学生数学观念的形成。下面，基于上述“数学观”，阐述笔者对“数学是什么”的思考，希望对数学教育同行有所助益。

数学是什么？数学是现实世界和人类心灵的产物。义务教育阶段的数学学科研究的是数量关系和空间形式，尽管现代数学的发展早已远非“数量关系和空间形式”所能涵盖，但是它毕竟是数学最强大的基石和主干。数学研究（学习）是人脑的认知实践，是神经元的活动，是心智的一种抽象的、灵活的、神奇的功能，其内生动力，既有好奇心和求知欲的吸引和驱使，也有对“用”和“美”的追求。

同时，不能把数学的地位拔高到如柏拉图主义者们所认为的“数学是真实存在的独立于物质世界与我们心灵的抽象实体”。物质世界里没有独立于物质世界的存在。人类是经过自然选择的物质世界的一部分，是一个进化的解决方案。不可能存在独立于物质世界的“数学实在”。所谓的“心灵”，只不过是人脑的机能，是心智器官组成的系统。数学是人脑的产物，是心智器官的一种“计算”，不可能存在一个独立于“心灵”之外的数学的灵异世界。

数学是什么？并不是绝对的“真理”，哪怕是康德加了限定的“先天的综合真理”也是值得商榷的。数学发展史上，大浪淘沙地过滤掉了多少曾经的“真理”？今人发现的“真理”，孰能料想后人会如何作出扬弃？今人认为的“常识”，又怎么知道前人经过了怎样的磨难和探索方才“顿悟”？前人奉若神明的“真理”，又怎可想见今人如此“理所当然”地视之？即使是我们今天看来无可验证的“真理”，又怎能确定未来依然是“先验”？谁能百分之百地确定那些“先验”，即使如康德所说的“完全不依赖任何经验所发生的知识”康德.纯粹理性批判[M].邓晓芒，译.北京：人民出版社，2004：B3。也一定没有经历过人类成百上千年的不可计数的“经验”智慧的累积？

数学教师千万不可给数学戴上至高无上的皇冠，虽然这有可能让学生对数学心生景仰与崇拜。数学只是可误和发展着的“相对真理”。同时，只是人类社会的一个组成元素，且是人类生存与繁衍中不可或缺的追求与探索。数学不是某一类人或某一阶级的标签，而是人人都可拥有、人人皆可应用的工具。数学能力的好坏绝不是人的“优劣”的证明，教师切不可心生“丑陋”思想——就如柏拉图在《法律篇》中所言，“不知道数学的基本应用是荒唐而无耻的，更多的是猪的而非人类的特征”欧文·埃尔加·米勒.柏拉图哲学中的数学[M].覃方明，译.杭州：浙江大学出版社，2017：4。。

数学是什么？逻辑主义、形式主义和直觉主义都只是数学大厦坚固无比的基石，但绝不是数学的全部。过分纠缠于它们中的任何一种，都只能越走越狭窄，难以见到光明。认为数学是纯粹的实践经验或纯粹的思维理性或纯粹的符号分析、语言约定等都不可取。数学的产生和发展进程与人类社会的进步历程同步同行，作为科学的数学这座宏伟的大厦亦是在人类智慧创造的基石上搭建起来，在悠远的历史长河中不断地添砖加瓦，不断地革新再生，逐渐地建构起来，并将继续遵从人类社会的建构发展下去的。虽然数学是社会建构的，但是数学的价值不限于社会意义，不能单纯地将数学的作用狭隘地指向服务社会生活。

数学是什么？数学的知识、数学的思想以及数学的文献、数学的活动、数学的应用等，都毫无例外地具备文化的属性，数学的价值与意义也就是数学作为文化的价值与意义。数学的本质是一种文化，一种人类特有的基于社会建构而形成的文化。这一文化最核心的价值就在于引导并促进人们理性地认识并改造客观世界。也可以说，最能体现数学对于人类发展的价值的，就是其永远闪烁的“理性精神”的光芒。数学因理性而“解放”（“自由”）和“有力”（“强大”）（张景中语）。

七、 结语

數学教师若要教好数学，就要真正认识数学。对数学哲学的学习与探究应该伴随教师教育职业生涯甚至终身。尽管这一过程是艰难的，但也是幸福的。笔者一段时间以来粗略地阅读了一些哲学书籍，真切地感受到每一种数学哲学观点都有其伟大且令人着迷之处。但令笔者困惑的是，每一种论述似乎又都不完美，或多或少地让人觉得有所偏颇或遗憾。也许，产生这种想法的原因只是笔者并没有真正深入地研究和理解这些观点及理念，是自身学识和素养限制了思考，也限制了发现真理的能力。但是，如果有谁认为某一种观点就是“永恒的真理”，这岂不更为荒谬。笔者猜想，可以用一种发展的、全面的、综合的数学哲学观，而不是静止的、片面的、对立的数学哲学观来认识上述“真理性”问题。如，我们可以充满理想地认为，数学的“真理”是不断发展变化着的“综合真理”。作为人类智能核心成分之一的数学发展，是时刻伴随着“经验”的，是一代一代、几百万年几千万年自然选择的结果。而作为当下个体或群体的数学，则是“超验”的。其在运用时，又必然地符合“分析真理”和“逻辑真理”……当然，我们也可以诗意地去描述数学“真理”：也许数学之“真理”——萌发于现实物质“世界”，形成于感知抽象“世界”，创造于文化语言“世界”，应用于社会生活“世界”，遨游于自由哲学“世界”，栖息于美妙心灵“世界”，幻化于浩瀚自然“世界”。这难道不是数学与数学教育令人心动的理由吗？还是“盲人摸象”的比喻最为经典：站在不同的位置，每个人都有可能发现部分的真理，但是综合起来，才能得到完整的认识。

尽管上述思考是极为稚嫩的，真正有着执着信仰和追求的数学家、数学哲学家和数学教育家可能对本文荒谬的论述嗤之以鼻，或认为只是“大杂烩”“和稀泥”，但是，笔者依然认为这种思考是必要的，尤其是对于中小学教师来说：即使我们没有掌握“真理”，致力于探索和发现真理的努力依然值得肯定，因为探索本身最可贵。（郑义富，广东省中山市西区中心小学校长。特级教师，正高级教师。广东省名校长工作室主持人，广东省中小学校长培训中心兼职教授，华南师范大学教育科学学院博士生，华南师范大学硕士研究生导师，“国培计划”专家库专家成员。）