宋煜阳

［摘 要］几何直观的内涵强调了直观手段的丰富性和运用几何直观的意识和习惯。几何直观的素养表现为图形的特征与分类、图形的描述与性质、建立数与形的联系、利用图表探索思路四个部分。培养学生的几何直观素养可以围绕识图、画图两个维度设计表现性任务。设计识图表现性任务时，要从各类图示中识别概念（从关系图中识别图形的分类、从复杂图形中识别图形的概念、从图形的操作中想象结果），从图示表征中理解概念，利用动态想象简化思路，利用图形直观解释数学事实；设计画图表现性任务时，要用图来表征题意和数量关系，用图来表达问题过程和结果，用图表解决开放性问题。

［关键词］几何直观；素养表现；识图；画图

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）29-0008-05

一、几何直观的内涵变化

几何直观，既是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称“2011年版课程标准”）的核心词之一，又是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“2022年版课程标准“）提出的核心素养之一。虽然名称没有发生变化，但在概念表述上发生了变化，具体内容对照如表1所示。

什么是几何直观？ 2011年版课程标准中定义为“利用图形描述和分析问题”，2022年版课程标准中定义为“运用图表描述和分析问题的意识与习惯”。在概念内涵上，原先的“利用图形”调整为了“运用图表”，这意味着什么？说明直观的手段丰富了，除了图形，还可以是表格。而列表解决问题，就充分发挥了表格在一一列举、有序思考中的直观作用。

人教版教材中还有许多帮助学生体会列表的直观性的素材。如，一年级连加问题“3个同学一起折小星星，每人折了6个。他们一共折了多少个小星星？”（如图1），本质是解决“几个6相加”。教学中，教師在组织学生自主画图、列式表征的同时，引入表格并给出部分信息，就能让学生解读表格信息后继续填写，体会表格的直观性。此外，三年级的“正好问题”“长方形和正方形拼组后的周长最短问题”等，也都突出列表法在一一列举时不重复、不遗漏的特点，使学生感受到列表法的有序性。

几何直观概念内涵发生变化的是，要求更高了，更强调意识与习惯的养成。这一要求凸显了几何直观作为培养学生核心素养的整体性、一致性和阶段性。为此，几何直观培养的目标，不仅仅是形成描述和分析问题的手段技能，更重要的是形成意识、养成习惯。

二、几何直观的素养表现

几何直观的素养表现主要包括图形的特征与分类、图形的描述与性质、建立数与形的联系、利用图表探索思路四个部分。

1.图形的特征与分类

图形的特征与分类，要求“能够感知各种几何图形及其组成要素，依据图形的特征进行分类”，要点是图形与要素感知、根据图形特征分类。

史宁中教授指出，几何直观表现形式包括实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种形式。这里强调的是图形直观这种表现形式，重点感知图形要素和特征分类。如图2所示的选择题就是考查学生对图形特征的理解，以及梳理图形概念之间的关系的能力。

2.图形的描述与性质

图形的描述与性质，要求“根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质”。2022年版课程标准新增了“尺规作图”，要求学生运用语言描述图形，并利用尺规工具画出相应图形，促使学生体会或探索图形的性质。

比如，借助用直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性，以及线段的长度就是三角形的周长。在这个过程中，实践操作、直观演示都能帮助学生进一步理解三角形的周长就是三条线段首尾相连的总长度，对图形周长的本质属性有更为清晰的认识。

又如，在三角形三边关系的探索中，关于“两边之和等于第三边”“两边之和小于第三边”时能否围成三角形的情形历来是教学的难点。以往教学中，教师一般是借助小棒等实物操作（也就是实物直观的手段）来验证，而小棒由粗细造成的误差，以及小棒固定的长度限制了学生自主探索的空间，会造成学生感悟不深。现在借助尺规工具，在三角形三边关系探索中能够体现几何直观的优势，学生可以自主探索，任意调整圆规，画出不同长短的线段，不拘泥于教师给定的长度；可以通过用圆规画弧线，体会线段围不成三角形的原因——两条短的弧线没有交点，也就不能围成三角形。

3.建立数与形的联系

建立数与形的联系，要求“建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型”。这部分主要表现为数的概念和数的运算的表征与理解、数量关系的表征。

比如，十进制是数的认识核心要素。不仅是整数的认识，小数的认识也强调“相邻计数单位是10”。因此，可以利用直观图帮助学生体会相邻计数单位之间的十进制关系。在“千以内数的认识”教学中，教师可以依次出示如图3所示的直观图，让学生体会相邻计数单位之间的十进制关系：10个一是1个十，10个十是1个百，10个百是1个千。当然，在认识小数时，可以借助图形之间的联系进一步理解计数单位之间的十进制关系，例如逆向推算：把立方体看成1，那么一个面、一条、一个小方块分别是它的1/10，1/100，1/1000。

在解决问题的过程中，几何直观主要体现在题意的理解与数量关系的分析上。比如，人教版教材中的“例8 妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，需要多少钱？”，强调画图是解决问题的有效策略，培养学生借助直观图理解问题、解释算法的能力。因此，在组织学生读题、明确信息和问题后，可以提出以下要求：如果你解决这个问题有困难，可以尝试画图来分析；如果你能够直接列式，请画图解释算式的含义或道理。通过比较实物图、示意图和线段图，学生不仅分析了两步计算的数量关系，感知了“单一量不变”的问题特征，还体会到线段图在几何直观层面更为抽象、更为便捷。

4.利用图表探索思路

利用图表探索思路，要求“利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述简单的路线图：描述从学校回家的路线示意图，注明方向和途中的主要参照物。可以让学生先用日常语言描述回家的路线，然后在图上标出方位，画出路线图，标明主要参照物，从而建立几何直观。

三、几何直观的表现性任务设计

因为几何直观是指运用图表描述和分析问题的意识和习惯，所以就意识和习惯而言，几何直观评价的关键在于学生应用几何直观的自主性、自觉性和自省性，这种以自我调控为特征的意识形态，很难用操作层面的学习任务来衡量。但是，围绕识图、画图两个维度设计表现性任务，就能考查学生对“图表描述和分析问题”的表现水平。

1.识图表现性任务设计

例1就是通过集合图来考查学生对图形之间的关系是否了解。题中涉及图形之间一般与特殊的关系，如长方形和平行四边形、等边三角形与等腰三角形；还涉及图形定义与特征之间的关系，如梯形与四边形、等腰直角三角形与直角三角形的关系都可以从定义、特征等方面进行梳理。

几何直观，重在意识与习惯的养成。教师要紧扣几何直观素养的内涵与主要表现，将识图、画图的表现性任务一以贯之；要紧扣第一、二学段“初步形成几何直观”、第三学段“形成几何直观”的学段目标，培养和发展学生的几何直观核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022 年版[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 杨春燕.在“变”中找“不变”：六年级“找规律”习题一组[J].教育视界，2021（29）：74-76.

【本文系浙江省教研课题“小学数学素养进阶习题开发与应用研究”（立项编号：02228）的阶段性研究成果。】

（责编 金 铃）