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依托“阅读与思考”,提升数学味,凸显素养观

2022-05-30楼凌吉

数学教学通讯·高中版 2022年11期
关键词:数学味主观能动性数学文化

楼凌吉

[摘  要] “阅读与思考”汇集了数学知识的源起、发展、完善和应用,展示了古今中外的数学魅力,而在紧凑的进度下,其价值得不到充分的发挥,甚至沦为教材中的“边角料”. 文章以“圆锥曲线的光学性质及其应用”探究为例,在实践操作中发展直观想象素养,在探索求证中提升逻辑推理素养和数学运算素养,在实际生活问题的分析中提升数学抽象素养和数学建模素养. 研究者以为开展“阅读与思考”教学研究,可在数学文化中渗透数学思想和方法,隔离“数学畏”,提升“数学味”,激发学生学习数学的主观能动性,实现核心素养的螺旋式上升.

[关键词] 阅读与思考;数学文化;数学味;主观能动性;核心素养

[?]改善阅读现状,隔离“数学畏”

近几年,数学文化在高考试题中频频出现,不管是浙江卷的一小段,还是全国卷的大篇幅,只要看见文字材料,学生心里就充斥着“数学畏”. 学生堆积如山的书籍中,除了教材和教辅资料,基本见不着数学课外阅读书籍的身影;在网络平台上,学生为数学消耗的流量少之又少. 数学阅读意识和主动性的缺乏,究其根本是学生对数学的畏惧,甚至是抗拒. 同时,教师队伍中能被学生冠以“×神”的多半是数学教师. 看不见摸不着,却又时刻縈绕在心,有崇敬之意更有畏惧之心,在学生心中,神一样存在的不是数学教师,而是数学本身.

结合学生的认知发展,利用教材的每一板块,打磨教学的各个环节,研究如何将数学从“有畏”变成“有味”,数学教师责无旁贷. 在教学实践中,笔者发现“阅读与思考”在新授课阶段,往往因为进度问题被搁置,而到了高三复习阶段,随着教材成为压箱之物,其再次沦为“边角料”. 据初步了解,一线数学教师对“阅读与思考”进行深入研究的并不多,能和学生一起开展研究性学习的更是寥寥无几.

笔者罗列了普通高中数学人教A版(2019)五册教科书中的“阅读与思考”的标题(见表1),单从标题上看就足以刺激学生的味蕾. 它汇集了数学知识的源起、发展、完善和应用,展示了古今中外的数学魅力. 抽象的数学概念、巧妙的数学方法、深奥的数学思想,其起源和发展都是自然的,不仅合情合理,还富有人情味,这在情感上拉近了学生和数学的距离.

以下是笔者的一堂源于“阅读与思考”的探究性教学片段,展示它和大家一起感受“数学味”.

[?]“阅读与思考”教学案例分析——以“圆锥曲线的光学性质及其应用”为例

数学教学不只在于传授公式和定理,更在于激励学生从数学的角度去发现问题、思考问题、解决问题,进而建立数学学习自信心. 本节课通过创设具体生动的问题情境,点燃思维火花;类比圆的反射过程,经历观察、猜想、论证三部曲探究抛物线的光学性质;在互助合作中完成椭圆光学性质的探究;了解光学性质在生活中的应用,将理论上升到实践,感悟学习数学是有用的;以探究双曲线的光学性质为课后作业,进一步巩固解析几何的思想方法,体会圆锥曲线的统一性. 在教学过程中努力提升“数学味”,发展学生的核心素养,提升其独立获取数学知识的能力,增强学生学习数学的兴趣和学好数学的信心,培养其锲而不舍的钻研精神和科学态度.

1. 创设情境,引入课题

师:浙江省绍兴柯岩风景区的莲花听音景点是全国最大的石莲花,由99块巨石拼铺成半径为9.9米的圆形. 对着石莲花的是一堵圆弧形的回音壁,相传坐在莲花中心对着回音壁诵念经文可以和佛心共融共振. 我在游玩时对着回音壁说话,真的可以听到回音,但为什么只有站在莲花中央时,回音才是最明显的?

在回顾光的反射定律后,教师引导学生从情境问题中抽象出数学模型:从圆心射出的光线经圆反射后,反射光线再次经过圆心,基本解决开篇提出的问题.

师:大家只作出了入射光线和反射光线,请问法线在哪里?法线又是如何确定的?

在导数学习中,学生学习了用曲线上某点处的切线近似替代这一点附近的曲线,即“以直代曲”的思想方法. 在教师的引导下,学生能自然引进圆在入射点处的切线所在面作为反射面,再依次作出法线和反射光线.

师:回音有强弱之分能用图形来说明一下吗?

在交流合作中,产生了对照组(如图1所示),可以清晰地看到站在圆心A处能接收到更多的反射光波. 期间,教师要引导学生多做几组光线的反射,从A和B射出的光线,若只画一条经C处反射的光线,就无法解释回音的强弱. 因此,多次试验,仔细观察和认真分析可以找到一般规律. 积累从具体到抽象的活动经验,养成在日常生活中一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁,运用数学抽象的思维方式思考并解决问题[1].

2. 精准作图,大胆猜想

类比圆中的光线反射问题,接下来研究从圆锥曲线的焦点射出的光线经曲线反射后的特点. 为使学生方便作图,教师在学案上印有精确的圆锥曲线,并标出焦点的位置. 同样,精确性也体现在学生的作图过程中,直尺是必需的,有量角器自然是极好的.

先从抛物线入手,学生依次作出入射光线、抛物线在入射点处的切线、法线和反射光线. 作完一条光线的反射线后,学生并没有发现当中蕴含的光学性质. 回顾上一环节,强调多次试验才能摸索出它们的共性,随后选取几张反射光线近乎平行的练习予以展示,最后将手动的探索过程转移到几何画板上,动态的演示使学生更加直观地感受到抛物线的光学特点,并大胆猜想:从焦点射出的光线,经抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.

3. 层层推进,分析论证

经历直观感受和大胆猜想,下一步就是分析论证. 如图2所示,从抛物线y2=2px的焦点F射出一条光线,经曲线上一点A(x,y)反射,求证反射光线平行于x轴.

要证明反射光线平行于x轴,即证明∠2=∠3,即证明∠1=∠3,即证明AF=BF.

因为抛物线y2=2px在点A(x,y)处的切线方程为yy=p(x+x),所以相应的法线方程为y-y=-(x-x),所以法线与x轴相交于点B(x+p,0),所以BF=x+=AF.

在证明过程中,学生进一步掌握了等价转化思想方法,巩固了抛物线的定义和在某点处的切线方程,经历了用代数方法解决几何问题的三部曲.

4. 明确结论,实践应用

通过上述的直观感受和分析论证,学生掌握了抛物线的光学性质. 在进一步介绍抛物面反射镜后,教师展示了2021年10月18日在希腊奥林匹亚的赫拉神庙前采集北京冬奥会火种的图片,并请学生思考其中的原理. 教材中还有许多抛物线光学性质的应用,这使学生感受到数学与生产生活的紧密关系.

5. 迁移方法,探究新知

以探究抛物线的光学性质为例题,椭圆的光学性质研究则是一个习题,通过“问题链”巩固研究椭圆光学性质的过程、方法和思想.

问题1:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆上的一点反射后,反射光线有什么特点?

问题2:怎么证明从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆上的一点反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点?

问题3:如何利用椭圆的光学性质解释电影放映机的工作原理?

部分学生通过作图认为反射光线经过椭圆的中心,有学生马上提出异议:当选取椭圆的上顶点作为入射点时,反射光线经过另一个焦点. 得到此错误结论,究其原因,首先是作图不精确,其次是光线的条数过于单一. 精准作图,多次试验,结合特殊到一般的推理过程,不少学生能挖掘出椭圆的光学性质.

如图3所示,要证明法线AB为∠FAF的平分线,只要证明=.

因为椭圆+=1(a>b>0)在点(x0,y0)处的切线方程为+=1,所以相应的法线方程为y-y=(x-x0),所以法线与x轴相交于点B

x,0,所以==. 又

AF===x+a,同理

AF= -x+a,故=.

数学运算素养是最基本的素养,学生通过数学运算能力的发展,可以有效促进其数学思维的发展,进而养成科学严谨、求真务实的重要品质[2].

6. 课堂小结

通过把莲花听音中的回音问题抽象化、数学化,学生学会了光线反射到圆上的研究方法,并把它类比到圆锥曲线中,通过精准作图,大胆猜想,严格论证,发现了抛物线和椭圆的光学性质,了解了它们在实际生活中的应用,感受到了数学的强大“磁场”. 在研究过程中,要注重学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的发展,在生活实际问题的分析中提升数学抽象素养和数学建模素养.

7. 教学反思

本节课提出了一些具有挑战性的问题,凸显了自主探究、合作交流等学习方式,部分学生并不能很好地适应,显得有些束手无策. 冰冻三尺,非一日之寒,这意味着教师在日常的课堂教学中还没有真正把主动权交给学生. 在有限的时间内,学生完成计算椭圆上的点到焦点的距离有一定的困难,可以先将教材中的“信息技术应用——用信息技术工具探索点的轨迹:椭圆”作为预备知识,了解圆锥曲线的第二定义,简化计算曲线上的点到焦点的距离,不仅为圆锥曲线光学性质的研究提供便捷,而且从离心率的角度再次体现圆锥曲线的统一性.

[?]依托“阅读与思考”,提升“数学味”,凸显素养观

学生经过中考分层,学习能力不相上下,并处于同一学习环境,而经过三年的时间,分差可以从中考的二十几分上升到几百分. 这期间,学生的主观能动性起着主导作用,能否主动、独立甚至富有创造性地学习不仅决定着他们的高考分高低,更决定着他们是否可以持续发展. 在现实生活、日常情境中,数学无处不在,常常日用而不自知,对数学模型的感知、判断、思考和应用,在一定程度上决定着我们的智性水平、理性高度和文野之分[3]. 数学教学切不可就题论题,停留在抽象的层面,否则极易引起学生的“数学畏”. “阅读与思考”给师生提供了教学素材,指明了教学方向,提升了“数学味”,凸显了素养观.

1. 数学可以追寻历史,放眼未来

数学是一面镜子,用数字、符号和图形折射出过去和未来. 在《放射性物质的衰减》中,引进良渚遗址中发掘的草裹泥来研究水坝的修建时间,进而刷新对中国文明起源的认知. 良渚古城被列入世界遗产,良渚文化得到国际社会的普遍认可离不开碳元素检测,它比其他史料和考古都更具说服力. 《放射性物质的衰减》文末还提出:如果函数呈指数增长,那么称函数值增长为原来的两倍所用的时间为“倍增期”. 将倍增期的概念和当下人口问题相结合,提出計算人口倍增期的两种方法:①p=pekn,②p=p(1+k)n,其中p为n年后的人数,p为原有人数,k为人口年增长率,n为经过的年数,当=2时,求得的n就是人口倍增期. 查阅过去几十年中国人口总数,经过函数拟合,预测20世纪80年代若无实行计划生育的情况下人口自然增长的倍增期,体会数学在国家宏观调控上的价值.

2. 数学可以洞察万物,精准反馈

数学是一部探测仪,可以强力分辨、准确定位隐埋在深处的问题. 《统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题》介绍了用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值,强调统计方法的精确性和有效性是常规情报收集方法无法比拟的. 学习了《如何得到敏感性问题的诚实反应》,学生可以自己动手设计问卷,开展考试作弊、校园欺凌等敏感性问题的调查. 《孟德尔遗传规律》在概率统计的指引下开启了遗传学的大门,洞察到外在表象下隐含着的生命密码. 《大数据》依托数据和数据分析结果做出决策,影响着人们的生活方式,例如每天的天气预报. 近年来,教育事业快速发展,全面步入“智慧教育”新时代,其中一个方面就是大数据精准教学.

3. 数学可以化繁为简,高效运作

数学善于思考问题的共性,提出高效的解决方案,是计算机技术的基础和核心,是最强大脑. 《中国古代数学家求数列和的方法》介绍了北宋数学家沈括为了求一层层垒起的酒坛总数,提出了二阶等差数列的一个求和公式,即“隙积术”,为后续“垛积术”的研究奠定了基础. 学习《向量概念的推广与应用》,借鉴材料中校服厂家定制服装的过程,学生可以就班服的购买问题进行一次数学实战演练,选考技术的学生还可以根据所学的知识编写一套程序,高效解决这一问题. 这些“阅读与思考”可以让学生深刻地体会到数学在解决实际问题中的有效性.

[?]结语

“阅读与思考”的教学研究活动可以促使学生从实际背景抽象出数学问题,建立数学模型,运用数学语言表达问题,用逻辑推理解决问题,进一步指导实践,极大地活跃学生的数学思维. “阅读与思考”的课堂富有问题性、抽象性、推理性、探索性,充满着“数学味”. 高中数学教学以发展学生的核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[4]. 数学虽源于对现实世界的抽象,但在教学过程中不能只有抽象,还应时时刻刻回顾其与社会生活的关系,为社会创造的价值. “阅读与思考”真正体现了这一要求. 因此教师应将“阅读与思考”教学落到实处,提升“数学味”,凸显素养观,充分发挥学生的主观能动性,使学生以更高的热情投身于数学学习.

参考文献:

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

[2]  王娟,李保臻. 基于数学运算能力培养的单元教学设计研究——以初中“因式分解”内容为例[J]. 中学数学教学,2019(04):1-6.

[3]  裴亚光. 数学教学是圆梦之旅——在湖北大学第四届(2017)数学文化节上的报告[J]. 中学数学教学参考,2019(25):2-4.

[4]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

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