诸慧

（温州科技职业学院 公共教学部，浙江 温州325000）

1 概述

微分方程模型是反映变量之间变化率的关系式，它可以帮助人们精准地刻画宏观和微观世界，已广泛应用到各个领域。因此，微分方程的定性理论和应用成为众多学者关注的热点问题之一，而中心焦点判定就是微分方程中极为重要的一块内容，它与Arnold 问题和Hilbert第16 问题的解决联系密切。考虑平面多项式微分方程系统，当线性部分为中心型时，可写成如下形式：

其中P(x,y)和Q(x,y)是多项式，原点可能为系统（1）的中心焦点判定问题，目前主要的研究方法有形式级数法、后续函数法、形式积分因子法、不变曲线法、奇点量法、V 函数法等[1]。这些研究结果为中心焦点的探索提供了重要判断方法。但是当P(x,y)和Q(x,y)的次数增多时，焦点量的阶数也随之增加，无论用何种方法约化焦点量都会产生巨大的计算量，从而使中心焦点的判定及其不易，因此如何让运算效率提高是一个非常关键的问题。随着计算机的发展，不少研究者借助符号计算软件Maple 辅助证明微分系统的中心焦点问题，涌现出不少高效通用的焦点量计算算法[2-3]。因而微分方法的定性理论研究取得不少重要的成果，且发表在国际主流数学期刊上。本文考虑系统（1）的一个特例，即如下系统：

当n=3 时，Gine 和Santallusia[4]得到了原点是系统（2）中心的充要条件。

定理1.1[4]如下系统

原点是系统（3）的中心充要条件是以下之一条件成立

本文继续考虑系统（2）的中心焦点判定问题，借助符号计算软件Maple 给出了n=4 时，原点为系统（2）中心的充要条件及细焦点的阶数，根据同一算法，陆续演算了当n = 5，6，7 时，原点为系统（2）中心的充分条件。

2 预备知识

本文利用二维微分系统的焦点量算法[4]——形式级数法，这里设Li为系统（2）的第i 阶焦点量，按照Hilbert 基定理，存在唯一的正整数N，使得结式消元后的新焦点量Li=0（i=1，2，…，N），就可保证原点是中心。因此只要具体分析前N 个Li，我们就可得到原点为系统（2）中心的充要条件，同时得到系统（2）的至多小扰动极限环个数。通阅文献，Hilbert 基定理并没给出N 的具体计算方法，一般情况下，我们先计算前一个低阶焦点量，并不断约化高阶焦点量，从而得到原点为中心的必要条件，再通过其它途径证明这些条件是充分的，从而得到充要条件[5]。

引理2.1[3]（Poincaré 对称原理）如果系统（2）

右侧的向量场关于x 轴或y 轴对称，即函数P(x,y)，Q(x,y)满足P(x, -y) =-P(x,y)，Q(x, -y) =Q(x,y)或P(-x,y) =P(x,y),Q(-x,y) =-Q(x,y)，因此原点必为系统（2）的中心。

3 主要结果及证明

首先考虑系统（2）n = 4 时的情形，系统（2）转化为

定理3.1 原点为系统（4）的中心，充要条件是下述四组条件之一成立

证明：（充分性）

其中

虽然P(u,v)和Q(u,v)项数比较多，借助Maple 比较容易判断出新系统满足P(u, -v) =-P(u,v)，Q(u,-v)=Q(u,v)。根据Poincare 对称原理，原点为中心。

其中P(m,n)和Q(m,n)都是含36 个单项式的多项式，同理利用Maple 验证系统满足P(m,-n) =-P(m,n)，Q(m,-n)=Q(m,n)。根据Poincare 对称原理，原点为中心。

（必要性）

利用Maple 计算出系统（4）的前8 个焦点量。

另外L3，L4，…，L8是含有8 个变量{ai，bi，i=1，2，3，4}的多项式，它们所含的单项式个数分别为26，73，166，340，651，1176。只要一直对低阶焦点量进行结式消元来约化高阶焦点量，最终我们就可得到原点为系统（4）中心的条件。

Step 1：令L1=0，即b2=-a2，借助Maple 将b2=-a2迭代到上述的焦点量L2，L3，…，L8中，L2则约化为

其他约化后的高阶焦点量L3，L4，…，L8所含有的单项式项数减少为15，44，90，175，307，524，跟原先的焦点量相比，多项式的增长速度减缓不少，说明这种计算方法是有效的。

Step 3：令L3=0，观察这个多项式，a3和b3的最高次为一次，同理，利用Maple 计算得

Step 4：令L4=0，继续利用Maple 辅助证明，这里分类讨论：

(A) 若80a+ 57a2b1- 36a1b≠0

再分3 种情况讨论：

(1)a1-b1=0时，迭代到高阶的焦点量，得L5=L6=L7=L8= 0，继续将a1-b1=0代入到前面所求的条件式b3、b4中，即可得a1-b1=a2+b2=a3-b3=a4+b4=0条件（1）证毕。

(2)a1+b1=0时，迭代到高阶的焦点量，得L5=L6=L7=L8=0，继续将a1+b1=0代入到前面所求的条件式b3、b4中，即可得

a1+b1=a2+b2=a3+b3=a4+b4=0. 条件（2）证毕。

(B)若80a+ 57a2b1- 36a1b=0

将上述多项式分类讨论：

(1) 若b1=0 时，则a1=0

(2) 若b1≠0时，解得

ii)若a2≠0，则

这时将L3，L4，…，L8做结式运算，最终得只含系数b1的单项式，因b1≠0，故焦点量L3，L4，…，L8之间没公共解，这是说明系统了（4）具有4 阶细焦点，证明完毕。

4 讨论

当n=5，6，7 时，本文继续对系统（4）进行研究，发现这类系统以原点为中心的充要条件有着以下的规律，结果的形式与定理1.1 和定理3.1 相似，于是有下述的猜想：

猜想:原点为系统（4）的中心的充要条件为以下条件之一成立