林麦麦 付颖捷 宋秋影 于腾萱 文惠珊 蒋蕾

(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)

研究了由尘埃颗粒、电子和非热离子所组成的非磁化热尘埃等离子体中(2+1)维非线性尘埃声孤波的传播特征.首先,利用约化摄动法推导得到了用来描述(2+1)维非线性尘埃声孤波的Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程,并采用行波解法进行了定性分析,从而获得了该系统的相图及Sagdeev 势方程;然后,利用数学软件的数值模拟分析方法讨论了等温和绝热两种状态下,热尘埃等离子体系统中不同参数对KP 方程的非线性系数、色散系数、系统相图、Sagdeev 势函数及孤立波解的影响.最终,研究结果表明:等温和绝热状态下,尘埃颗粒的质量、电子和非热离子的温度、数密度及分布状态等多种系统参数对非线性尘埃声孤波的振幅、宽度及波形等传播特征均存在重要影响.

1 引言

近年来,多组分尘埃等离子体中的非线性波动现象引起了人们的广泛关注和深入研究[1−5].尘埃等离子体作为一种电离气体,主要组成成分包括电子、离子及尘埃颗粒等多种粒子.尘埃等离子体涉及许多自然现象和宇宙星际物质,广泛应用于工业、天体、材料、核聚变等基础研究和应用领域[6,7].非线性尘埃声波作为等离子体中重要的非线性波动过程,于1990 年由Rao 等[8]首次在理论上作出预言,并由Barkan 等[9]1995 年在实验上得以证实.由此非线性尘埃声波被学者们广泛研究,例如:Ma 和Liu[10]发现了尘埃声孤波的存在.Xie 等[11]研究了尘埃电荷对尘埃声孤子的影响.El-Taibany[12]研究了非线性尘埃声波在多组分非均匀尘埃等离子体(由带正电荷、负电荷的尘埃颗粒、麦克斯韦分布的电子和离子组成)中的传播特性.Paul 等[13]研究了含非热电子和类涡旋离子分布的非磁化尘埃等离子体中尘埃声波的非线性传播特征.El-Labany 等[14]还研究了双光谱电子分布的多组分尘埃等离子体中尘埃声波的非线性传播特征.含有非热离子分布的尘埃等离子体更接近实验室等离子体和空间等离子体,自Schamel[15]提出非热力学平衡离子的离子分布,学者们对含有非热离子分布的尘埃等离子体进行了大量研究[16−27].非热离子分布极大地改变了大振幅静电孤束结构的性质,研究非热离子对尘埃声孤波特征的影响有助于理解天体物理尘埃等离子体系统中局域静电扰动的非线性特性,例如土星环中静电波的非线性行为[19].Tasnim 等[24]研究了具有不同温度非热离子的尘埃等离子体中的圆柱形和球形尘埃加德纳孤子.Emamuddin 和Mamun[25]研究了尘埃声激波在无碰撞非磁化尘埃等离子体(含两种不同温度的超热电子、非热离子和带负电荷的黏性尘埃流体)中的传播特征.Mendoza-Briceño 等[26]使用Sadgeev势方法,在绝热状态下对含有三组分热尘埃等离子体中一维尘埃声孤波进行了理论研究.王红艳和段文山[27]曾发表过关于一维情况下三组分等离子体(大质量、带负电的尘埃颗粒且尘埃颗粒带电量可变、满足Boltzmann 分布的电子和非热力学平衡分布的离子)中尘埃声波的研究.在此基础上本文扩展到二维情况,并使用约化摄动法求解KP 方程以及Sagdeev 势方法探究了等温与绝热两种状态下各系统参数对尘埃声孤波传播特性的影响.

本文着重研究由尘埃颗粒、电子和非热离子组成的非磁化热尘埃等离子体中的(2+1)维非线性尘埃声波.首先利用约化摄动法推导得到了用来描述非线性尘埃声孤波的(2+1)维KP 方程;然后利用数值模拟的方法讨论不同系统参数对KP方程中非线性系数及色散系数的影响;最后根据定性分析法和Sagdeev 势方法分析并讨论了不同系统参数对系统相图、Sagdeev 势函数和(2+1)维非线性尘埃声孤波传播特征的重要影响;在结论处分析了将研究结果应用到土星环的可行性.

2 原始方程及其求解

根据磁流体力学理论,考虑由尘埃颗粒、电子和呈现非热分布的离子所组成的非磁化热尘埃等离子体[28],忽略粒子间的碰撞,可以得到含有非热离子的热尘埃等离子体中(2+1)维非线性尘埃声波的无量纲化方程组:

由电中性条件可知ni0=ne0+zdnd0,ni0,ne0和nd0分别是未扰动时的离子、电子和尘埃颗粒的数密度,zd为尘埃颗粒荷电量.上述方程中尘埃颗粒数密度nd和离子数密度ni分别由nd0和ni0无量纲化.ud,vd分别为尘埃流体在x,y方向的无量纲化速度,由尘埃声速Cd=(zdTi/md)1/2无量纲化,其中Ti为离子温度,md为尘埃颗粒质量.压强pd由nd0zdTd无量纲化,其中Td是尘埃温度.电势φ由Ti/e 无量纲化.空间变量x,y由Debye 长度λDd=[Ti/(4πzdnde2)]1/2无量纲化,时间t由尘埃等离子体频率的倒数无量纲化.其他系统参数:σi=Ti/Te,σd=Td/Ti,µ=ne0/ni0,Te为电子温度.γ=1 或3 分别表示等温和绝热情况.

上述系统中非线性尘埃声波的相速度远小于离子热速度,离子数密度ni满足非热力学平衡分布[29,30]:

其中α是决定快离子数的参数,当α=0 时,离子数ni满足Boltzmann 分布.

对(1)—(5)式作坐标伸展变换,令:η=εy,τ=ε3/2t,ξ=ε1/2(x−v0t),其中ε是表征非线性强度的小参数,v0为线性波的速度.与此同时,对(1)—(5)式中的各未知量作如下形式的摄动展开:

将(7)—(12)式代入(1)—(5)式,并按ε的不同次幂展开.

在ε的最低次幂下,求得

在ε的较高次幂下:

在ε的最高次幂下:

并最终化简,求得(2+1)维非线性尘埃声孤波所满足的KP 方程:

其中

3 KP 方程的分析讨论

首先,借助数学软件对KP 方程的非线性系数A和色散系数B进行讨论.图1 给出了σd取值不同时,KP 方程的非线性系数A在等温和绝热状态下随着非热离子数α的变化规律,其中σi=0.9,µ=0.6,md=0.6,v0=0.15.图1 表明:在等温和绝热状态下,非线性系数A随着非热离子数α的增大而减小,并随着参数σd的增大而增大.由于σd=Td/Ti,即当尘埃颗粒温度Td升高或非热离子的温度Ti降低时,非线性系数A将增大,并且当等离子体处于绝热状态时,非线性系数增幅更加明显.这说明:等离子体系统中的尘埃颗粒与离子的温度之比σd对非线性系数A的影响在绝热状态下相较于等温状态更为显著.

图1 σd 取值不同时,非线性系数A 随参数α 的变化(a) 等温状态,γ=1;(b) 绝热状态,γ=3Fig.1.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α for different values of σd: (a) Isothermal state;(b) adiabatic state.

为了更加深入地了解其他系统参数对非线性系数A的影响,利用数学软件的数值模拟方法,分别给出了md,µ,σi取值不同时,KP 方程的非线性系数A在等温和绝热状态下随着非热离子数α的变化规律,如图2 和图3 所示.图2 和图3 表明:在等温和绝热状态下,非线性系数A都随着非热离子数α的增大而减小,且其他参数取值不同时对非线性系数A的影响各不相同.图2(a)及图3(a)显示:在等温和绝热状态下,非线性系数A随着尘埃颗粒质量md的增大而减小,且绝热状态下md对非线性系数A的影响更加明显.图2(b)及图3(b)表明:在等温和绝热状态下,非线性系数A随着参数µ的增大而大幅递增.考虑到µ=,说明平衡状态下的电子数密度ne0增大或非热离子的数密度ni0减小,将使系统的非线性系数A的强度增强,并且在绝热状态下增加的程度更加显著.从图2(c)及图3(c)可以看出:在等温和绝热状态下,非线性系数A随着参数σi的增大而增大,由于σi=Ti/Te,即电子温度降低时非线性系数A将增大.

图2 (a)—(c) md,µ,σi 取值不同时,等温状态(γ=1)下非线性系数A 随参数α 的变化Fig.2.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α in isothermal state under the condition of different values of (a)−(c) md,µ,σi .

图3 (a)—(c) md,µ,σi 取值不同时,绝热状态(γ=3)下非线性系数A 随参数α 的变化Fig.3.Nonlinear coefficient A with respect to the parameter α in adiabatic state under the condition of different values of (a)−(c) md,µ,σi .

综上所述,含有非热离子的热尘埃等离子体中尘埃颗粒的质量、电子和非热离子的温度以及数密度等多种系统因素均对KP 方程的非线性系数A存在不可忽略的重要影响.

图4 给出了md,σd取值不同时,KP 方程的色散系数B在等温状态和绝热状态下随线性波速度v0的变化规律.图4(a)和图4(c)展示了v0=0.1—0.6 时,色散系数在等温和绝热状态下随尘埃颗粒质量md的增加而增大,且取相同尘埃颗粒质量时,绝热状态下的色散系数比等温状态下大一个数量级.图4(b)及图4(d)说明了:随着σd取值的增大,等温和绝热状态下的色散系数也在变大,即当尘埃颗粒温度Td升高或非热离子的温度Ti降低时,色散系数B将增大;同样,σd取值相同时绝热状态下的色散系数比等温状态下大一个数量级.

图4 色散系数B 随参数 v0 的变化 (a),(b) 等温状态,γ=1;(c),(d) 绝热状态,γ=3Fig.4.Dispersion coefficient A with respect to the parameter v0 in (a),(b) isothermal state and (c),(d) adiabatic state,respectively.

4 系统相图、Sagdeev 势函数及孤立波解

假设KP 方程(13)有如下形式的孤立波解:

φ1=φ1(θ),θ=kξ+lη−u0τ,

其中k,l分别为ξ,η方向的波数;u0为波速.

则(13)式可以变为

(14)式积分后可得

化为二维自治系统:

图5(a)和图5(b)分别是等温和绝热状态下的相平面(φ1,ψ)及轨线分布图,各个参量的取值分别为σi=0.9,µ=0.6,md=0.6,v0=0.15,σd=0.3,α=0.1.图5 表明:在该系统中存在线性周期波轨道、非线性周期波轨道及孤立波解轨道.

图5 相平面(φ1,ψ)及轨线分布图 (a) γ=1;(b)γ=3Fig.5.Track of phase plane:(a) γ=1;(b) γ=3.

(15)式经过积分变换可得Sagdeev 势方程:

Sagdeev 势函数为V(φ1)=.

接下来通过数值模拟对Sagdeev 势进行分析.图6 和图7 分别是在等温状态和绝热状态下σd取不同值时,Sagdeev 势随φ1的变化规律,可以看出在φ1=0处,.除φ1=0以外,仍存在一个φm,使得V(φm)=0,且当 0<φ1<φm时V(φ1)<0.满足以上条件可知含有非热离子的热尘埃等离子体中存在压缩孤立波.并且由图6 和图7 可以看出,等温和绝热状态下σd=Td/Ti越大φm越小,即尘埃颗粒温度Td升高或非热离子的温度Ti降低时,孤立波振幅的最大值φm将减小.通过对比两幅图可以看出,等温状态下粒子所处的势阱深度(the depth of potential)比绝热状态下大两个数量级.

图6 σd 取不同值时,等温状态(γ=1)下Sagdeev 势V(φ1)随 φ1 的变化Fig.6.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in isothermal state for different values of σd.

图7 σd 取不同值时,绝热状态(γ=3)下Sagdeev 势V(φ1)随 φ1 的变化Fig.7.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in adiabatic state for different values of σd.

图8(a)—(d)分别给出了α,σi,µ,md取不同值时,Sagdeev 势在等温状态下随φ1的变化规律.图8(a)表明孤立波的振幅φm随着非热离子数α的增加而增大.图8(b)说明σi=Ti/Te越大,即电子温度降低时孤立波的振幅φm越小.图8(c)表示孤立波的振幅φm随着参数µ的增大而降低,由于µ=,说明平衡状态下的电子数密度ne0增大或非热离子的数密度ni0减小,将使孤立波振幅φm降低.图8(d)表明孤立波的振幅φm随着尘埃颗粒的质量md的增加而增大.

图8 (a)—(d) α,σi,µ,md 取不同值,等温状态(γ=1)下Sagdeev 势 V(φ1)随 φ1 的变化Fig.8.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in isothermal state under the condition of different values of (a)−(d) α,σi,µ,md.

图9(a)—(d)分别给出了α,σi,µ,md取不同值时,Sagdeev 势在绝热状态下随φ1的变化规律.可以看出,绝热状态下Sagdeev 势随φ1的变化趋势以及压缩孤立波的振幅随系统参数的变化规律与等温状态下相似,但等温状态下粒子所处的势阱深度比绝热状态下大两个数量级.上述结果说明,多组分热等离子体中的各种系统参数,诸如:平衡态时电子和非热离子的数密度、尘埃颗粒的温度和质量、电子和非热离子温度等,对该系统中存在的压缩孤立波的振幅均产生不同程度的重要影响.

图9 (a)—(d) α,σi,µ,md 取不同值,绝热状态(γ=3)下Sagdeev 势 V(φ1)随 φ1 的变化Fig.9.The Sagdeev potential V(φ1)with respect to φ1 in adiabatic state under the condition of different values of (a)−(d) α,σi,µ,md.

由(16)式可以得到KP 方程的孤立波解如下:

图10(a)和图10(b)分别给出了等温和绝热状态下,孤立波φ1的波形随着非热离子数α的变化规律.图10(a)显示:在等温状态下,该系统存在压缩孤立波(φm >0),且孤立波的振幅随着非热离子数的增大而增大,与此同时孤立波的宽度则逐渐减小.另外,通过对比图10(a)与图10(b)不难发现,等温状态下系统中的孤立波相较于绝热状态时,振幅更高,宽度更小.

图10 α 取值不同时,孤立波 φ1 的波形变化 (a) 等温状态,γ=1;(b) 绝热状态,γ=3Fig.10.Waveform of solitary waves φ1 for different values of α:(a) Isothermal state;(b) adiabatic state,respectively.

图11 和图12 分别给出了σd,σi,µ,md取不同值时,尘埃声孤波在等温和绝热状态下波形的变化规律.图11(a)和图12(a)展示了在等温和绝热两种不同状态下,尘埃颗粒温度与非热离子温度的比值σd=Td/Ti越小,孤立波的振幅越大而宽度越小,这说明孤立波振幅随尘埃颗粒温度的降低而增大,孤立波的宽度随尘埃颗粒温度的降低而减小.图11(b)和图12(b)表明在等温和绝热状态下非热离子温度与电子温度的比值σi=Ti/Te越小,孤立波的振幅随之增大而宽度减小.图11(c)和图12(c)表明:在等温和绝热状态下,系统中的压缩孤立波的振幅随着平衡态时的电子数密度与非热离子数密度的比值µ=的增大而减小.这说明:当多组分的复杂热等离子体中平衡状态下电子数密度减小或非热离子数密度增大时,压缩孤立波的振幅将逐渐增加,而其宽度将不断减小.图11(d)和图12(d)显示:在等温和绝热状态下,系统中的压缩孤立波的振幅随尘埃颗粒质量md的增加而增大,宽度随尘埃颗粒质量md的增加而减小.

图11 (a)—(d) σd,σi,µ,md 取不同值时,等温状态(γ=1)下孤立波 φ1 的波形变化Fig.11.Waveform of solitary waves φ1 in isothermal state under the condition of different values of (a)−(d) σd,σi,µ,md .

图12 (a)—(d) σd,σi,µ,md 取不同值时,绝热状态(γ=3)下孤立波 φ1 的波形变化Fig.12.Waveform of solitary waves φ1 in adiabatic state under the condition of different values of (a)−(d) σd,σi,µ,md.

综上所述,我们不难看出:含有非热离子的多组分复杂热等离子体中的(2+1)维非线性尘埃声孤波的振幅、宽度及波形等传播特征均与该系统中的多种系统参数存在紧密关系.

5 结论

本文研究了包含电子、非热离子和尘埃颗粒的多组分热尘埃等离子体中的(2+1)维非线性尘埃声孤波的传播特征.首先,运用约化摄动法,推导得到用来描述多组分热尘埃等离子体中的(2+1)维非线性尘埃声孤波的KP 方程,并利用数值模拟的方法讨论了多组分热尘埃等离子体中的各个系统参数对KP 方程中的非线性系数及色散系数的重要影响.然后,根据系统相图、Sagdeev 势函数和孤立波解分析了不同系统参数下非线性尘埃声孤波的传播特征.结果表明:尘埃颗粒的质量及温度、平衡状态下电子数密度和非热离子数密度以及电子和非热离子的温度等多种系统参数对非线性尘埃声孤波的振幅、宽度及波形均存在不可忽略的重要影响.而文中二维情况下尘埃声孤波的振幅与宽度随尘埃温度的变化趋势与一维情况下相似[26].

Kotsarenko 等[31]研究了尘埃等离子体中离子声孤子、尘埃声孤子和离子-尘埃孤子的色散关系,将土星环中的轮辐结构与圆柱形离子-尘埃孤子进行对比研究发现:依据土星环中等离子体参数计算,获得理论上孤子的横向尺寸近似为1000 km,这与空间观测到的土星环轮辐结构基本接近.Wang 等[32]利用卡西尼号飞船上的无线电和等离子体波科学仪器(RPWS)所检测到的数据,研究了卡西尼号2004 年第一次通过土星环时的尘埃颗粒特征.当小颗粒以高速撞击航天器时,会立即汽化并产生呈放射状扩张的等离子体,颗粒释放的电荷将产生极化电场,在RPWS 电场天线上产生电压脉冲,其振幅与撞击粒子质量成正比.尘埃颗粒的质量分布可由电压脉冲的振幅分布来确定,远离环平面的区域中大尘埃颗粒的数量比靠近环平面的区域少.根据模拟结果中尘埃颗粒质量与尘埃声孤波振幅的关系,可知靠近环平面区域中的局域静电孤立波的振幅大于远离环平面区域中的局域静电孤立波的振幅.Pickett 等[33]对2004—2008 年观测距离小于10Rs的卡西尼号RPWS WBR 数据中观测到的典型双极静电孤波(ESW)进行了分析.在最接近土卫二时检测到的ESW 振幅增加为几十到100 mV/m,且周围磁场有了显著增加,可能是由于土卫二周围的等离子体环境导致的.土星F 环中典型尘埃等离子体参数为[34,35]:ne0≃10—20 cm−3,nd0≃1—10 cm−3,Te≃8—80 eV,Zd≃10—100.在我们的研究中,基本保持离子温度与电子温度的比值σi=Ti/Te在0.9,研究结果可以应用到土星环中,为预测土星F 环中局域静电孤立结构的非线性特性提供一定理论基础.