张萍 曾素樵

摘要：教材在培养学生的创新能力方面扮演着重要的角色。以苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材为载体，通过课程标准、课程结构、教材编排、教学设计等方面的比较，初步探索了中外高中数学教材在拔尖创新人才培养方面的异同。 中外高中数学教材尽管在部分章节的内容顺序和难度要求上存在差异，但均能着眼未来，强调创新，并且都精心设置了丰富的数学素材，以促进拔尖创新人才的探究实践活动，从而发展其创新思维能力。

关键词：IBDP;高中数学;课程比较;拔尖创新人才

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年中小学教师发展专项立项课题“以‘人人名师’为目标构建教师发展共同体的实践研究”（编号：Jc/2020/05）的阶段性研究成果。“拔尖创新人才”是一个具有相对意义的概念，在不同国家、不同地区、不同行业、不同时期有不同的内涵与外延，表现出不同的特征。德国慕尼黑大学教授海勒（Kurt A.Heller）指出：“拔尖创新人才就是在某些学科领域有突出的表现，可以综合使用有创意的和创新的方式来解决复杂的问题，所取得的成绩能够被公认且有一定国际竞争力的人才。”江苏大学教授陈权认为：“拔尖创新人才是指具备完善且独特的人格个性、强烈的事业心和社会责任感，且具有丰富的科学素养和专业知识、超凡的创新精神和创新能力，能够引领和带动某一专业领域创造性地发展，并能为国家和社会发展作出重大贡献的杰出人才。”这些表述都将“拔尖创新人才”的内涵引向社会贡献。

学术界关于拔尖创新人才的研究也体现了一些共同的要素，比如良好的个性品质、合理的知识结构、完善的能力结构、坚韧的创新意志、超前的创新思维等。考虑到基础教育阶段特定的研究对象，我们将“拔尖创新人才”定义为：具有合理的知识结构、较强的创新能力和实践能力及良好的非智力因素的资质优异的中学生。对拔尖创新人才的培养，即对资质优异的学生进行的适合其个性及能力的教育。

本文比较IBDP与我国高中数学课程在课程标准、课程结构、教材编排、教学设计等方面的异同，重点关注拔尖创新人才的培养。

一、数学课程标准的比较

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在基本理念部分指出：“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，培养良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”该标准还重点指出我国高中数学课程目标之一是帮助学生树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力和创新意识。

IBDP数学分析和方法的高水平课程大纲指出，数学和技术于数据化时代的多個领域中扮演着越来越重要的角色，因此，课程强调应用的数学专题或者数学建模。为了帮助学生打下扎实的基础，课程还包括传统的大学先修的数学内容，比如微积分和概率。课程还强调了技术的使用，让学生探索和建立数学模型。由此可见，IBDP数学课程强调在真实的问题情境中解决真实的问题，强调现代技术对学生的实践能力和创新意识的培养。

二、数学课程结构的比较

为了让拔尖创新人才有发展数学兴趣、展示数学才能的机会，苏教版高中数学新教材（根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写）提供了选择性必修课程，主要包括四个主题，即函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。其内容在难度和学业要求上，比必修课程有很大的提升。比如，数学建模与探究活动，可以拟订新的课题，也可以在必修课程研究课题的基础上继续深入研究，但需要说明与必修课程中研究的差异，深入研究的新思路、新方法和得到的新结果。

学校根据学生的情况，可以设置选修课程，分为A、B、C、D、E五类（详见表1）。

这些课程的设置有利于加速拔尖创新人才的培养进程。比如，数学建模与探究活动，要求学生经历完整的选题、开题、做题、结题环节，研究报告提倡采用专题作业、测量报告、算法程序、制作实物或研究论文等多种形式，为学生今后形成创新成果打好基础。选修课程尤为注重各类拔尖创新人才的培养，可以让学生加深对自己的了解，更快地进入自身的优势领域学习。比如，大学数学先修课程，可以缩短有数学才能的学生基础课程的学习时间，让他们尽快进入更前沿的领域学习。

IBDP数学课程分为两个方向：AA（Analysis and Approaches，即分析和方法）和AI（Application and Interpretation，即应用和阐释）。每个方向都分HL（Higher Level，高水平）和SL（Standard Level，标准水平）两个水平，HL包含SL的所有内容。AA方向偏向于纯数学，注重逻辑和理论基础及证明;AI方向偏向于应用，注重数学与实际世界的联系、用数学解决实际问题的能力。

要特别提及，课程设置了一个“工具栏”和数学探索性论文的写作，教学课时为30小时，强调问题解决和数学模型能力，要求写一篇数学领域的探索性小论文。

从上述课程的设置可以看出，IBDP数学课程注重对不同层次、不同特长的学生的培养，让每个学生都能得到长足发展。对于拔尖创新人才的培养，每个方向的高水平都涵盖了很多探索问题、实际问题以及理论问题;尤其是小论文的写作，从选题到成文全部由学生在教师的指导下完成，旨在全面培养学生分析问题、解决问题的能力。

三、数学教材编排的比较

苏教版高中数学新教材在每一章后面都设置了“问题与探究”（或“应用与建模”）和“阅读”两部分内容。比如，“问题与探究”（或“应用与建模”）包含“集合运算的运算律”“基本不等式的推广”“钢琴与指数曲线”“正弦函数与余弦函数的叠加”“复数的开方”“拟柱体体积公式”“平面方程”等，“阅读”包含“有限集与无限集”“有趣的悖论”“欧拉”“向量的向量积”“杨辉三角”“高斯与概率统计”等。各章节的习题部分也设置了难度相对较高的“探究拓展”习题。这样的设计，一方面，在知识深度上为拔尖创新人才的培养提供了素材;另一方面，通过数学史尤其是数学家的钻研精神的渗透，在形成良好的个性品质方面促进了拔尖创新人才的培养。

苏教版高中数学新教材还在每一册的最后设置了“数学建模与数学探究”专题，包含“案例分析”和“课题研究”两个部分。与以往相比，新教材增加了数学建模内容的比例，体现了培养学科核心素养的新课标理念。数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题;主要包含发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题等环节，是数学应用的重要形式。数学建模素养蕴含了拔尖创新人才应该具备的合作交流、实践探索和创新等综合能力。数学建模活动的开展，能让学生运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型、解决问题，是培养拔尖创新人才的一种良好途径。

IBDP Mathematics AA HL教材IBDP Mathematics AA HL教材指Haese Mathematics出版社根据IBO（国际文凭组织）数学分析和方法高水平课程大纲（2019年8月开始教学使用，2021年5月第一次评价）要求编写的Mathematics Analysis and Approaches HL 2（2019年第1版）。每一章的开篇都是一个Opening problem（开放问题），设置实际背景，提出若干相关数学问题。在讲解相关数学内容时还设置了History note（历史笔记），介绍数学发展史和相关数学家。每章都有若干Investigation（探索）和Activity（活动），还设置了Puzzle（智力游戏）、Discussion（讨论）以及IBDP特有的Theory of knowledge（知识论）。这些设置丰富了学生的阅读，为拔尖创新人才的培养提供了学科素材以及思考问题的途径和方向。

四、数学教学设计的比较

拔尖创新人才的培养是一个长期、系统、有挑战性、需要多方面协作的任务，这个任务最终要落到日常的教学工作中。下面，以苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材中“指数函数的导数”为例，对比教师在培养学生探究质疑能力方面不同的教学设计。

【案例1】 苏教版高中数学选择性必修第一册“5.2.1基本初等函数的导数”教学片段

师如何求y=ax的导数？

生根据导数的定义来求，但是有困难。

师你打算如何研究这个问题？

生可以借助计算器，从特殊的、熟悉的指数函数开始研究。

师在研究f（x）=2x的导数过程中，你有什么发现？接下来，你觉得要做什么？

生根據定义，ΔyΔx=2（x+Δx）-2xΔx=2x·2Δx-1Δx，当Δx→0时，ΔyΔx=2x·2Δx-1Δx趋近于什么？当Δx=0.001时，2Δx-1Δx≈0.69339;当Δx=0.0001时，2Δx-1Δx≈0.69317;当Δx=0.00001时，2Δx-1Δx≈0.69314。由此可以发现：当Δx→0时，2Δx-1Δx趋近于一个确定的常数，约等于0.69314，得出结论（2x）′=0.69314×2x。

师接下来，类比之前研究指数函数图像的方法，再多取几个不同底数的指数函数来研究。

（学生研究。教师组织汇总，得出表2。）

师根据表中的数据，你有什么新的发现？

生当底数为e时，对应的值为1，恰好是以e为底的e的对数。

生当底数分别为2和12时，对应的值互为相反数，也说明该数值与对数有关。猜想：（ax）′=axln a（a>0，a≠1）。

师猜想一定正确吗？

生猜想需要验证，可以再取不同的指数函数验证，也可以尝试证明。

（教师鼓励学有余力的学生查阅相关资料，尝试证明猜想。）

【案例2】 IBDP Mathematics AA HL教材“17.E指数函数的导数”教学片段

师如何求指数函数的导数？

生利用导数的定义。

师利用导数的定义是对的，我们还要注意借助几何直观。来看具体的例子：f（x）=ex。求它在x=0处的导数，就相当于求limh→0eh-1h。怎么求？

生可以借助计算器，选取若干h的值，计算eh-1h的值。

师分解问题：h→0意味着什么？

生h从左侧和右侧趋近于0。

师选取h的值时，应该正数和负数都选取。趋近意味着取值时，h的绝对值要尽量接近0。选取h=0.1、0.01、0.001、00001、0.00001、-0.1、-0.01、-0001、-0.0001、-0.00001，计算eh-1h的值。观察结果，给出猜想：limh→0eh-1h=1。从而得出结论：ddxex=（ex）′=ex。

生利用e的定义limn→∞1+1nn=e，用代数方法推导出上述结果。

生利用导数的几何意义，大致判断指数函数导数的图像。

师接下来，从底数为e的指数函数的导数推导出底数为a的指数函数的导数，我们需要做什么？

……

师上述结果的得出，建立在对极限的直观认识上，通过特殊数值给出猜想，通过几何直观给出猜想。今后，还需要数学上的严格证明。这是对目前结论的认识。

两个案例都注重数学思维的培养。比如如何研究这个问题，就是提出了研究问题的一般思路和方法。拔尖创新人才善于全面思考问题，综合使用有创意的和创新的方式解决复杂的问题。在平时的教学中，不断强化学生全面审视和评判问题和方法的意识，正是培养拔尖创新人才的可靠途径。两个案例也都体现了现代技术手段的使用对学生理解数学、学习数学的帮助。大数据时代，学生应该有意识地应用现代技术手段，以摆脱繁杂的计算，更加关注数学的本质。两个案例还都强调了对导数公式严格证明的思考，这进一步培养了学生的创新能力和实践能力。

两个案例各有侧重。苏教版高中数学新教材对导数定义的处理是几何直观和数值认识，因此，案例中对指数函数导数的求解主要是数值认识，通过多个例子归纳总结出猜想，后续学习中主要是应用结论分析函数。而根据IBDP 数学课程大纲要求，学生已经学习了极限的非正式定义、导数的定义，所以，案例中强调了指数函数导数的代数推导，只是在遇到求极限的问题时借助了数值分析给出猜测，进一步的学习中需要数学推导和证明。

五、几点启示

中外高中数学课程在拔尖创新人才培养方面有哪些共同的追求，又有哪些不同的视角？分享几点启示。

（一）着眼未来，强调创新

“毫无疑问，创造力是最重要的人力资源。没有创造力，就没有进步，我们就会永远重复同样的模式。”没有能独立思考和独立判断的有创造力的个人，社会就不可能向上发展。因此，从世界范围来看，无论发达国家还是发展中国家，培养拔尖创新人才都是教育的重要目标之一。从本文的分析中也可以看到，无论苏教版高中数学新教材还是IBDP Mathematics AA HL教材，都非常重视培养学生的创新能力。也就是说，在培养拔尖创新人才的观念上，它们具有一致性。

（二）课程丰富，栏目新颖

从苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材的课程设置和内容结构的比较中不难发现，中外课程的设置都能针对不同层次水平的学生，提供相应的课程选择。比如，在拔尖创新人才培养方面，两种教材都配置了高等数学的相关内容。而为了激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的勇气，两种教材在栏目设计方面均融入了很多新颖的、有趣的、开放的内容以及数学文化。这些分层次的课程内容和新颖的栏目设置，能为资质优异的学生创造更适合其个性发展及能力提升的教育条件。

（三）探究实践，发展思维

经过对比，我们发现苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材不仅呈现了丰富的背景材料、多样化的探究性问题，还为拔尖创新人才的培养提供了充足的实践素材，通过数学建模或研究性学习的方式培养学生的探究实践能力，发展学生的创新思维。数学建模是一项具有创造性的活动，既具有一定的理论性，又具有较强的实践性。在数学建模过程中，学生独立、自觉地应用所给的条件，寻求解决问题的最佳方案，可以培养想象力、直觉思维能力、转换能力、构造能力、逻辑思维能力等，这些数学能力正是创造性思维最基本的特征。可见，实施数学建模的教学是培养拔尖创新人才的重要举措。

（四）要求不同，落实有异

尽管苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材在很多方面有相似之处，但在许多知识点要求方面仍存在着一定的差异。比如，前述教学设计的对比中，IBDP Mathematics AA HL教材要求掌握“极限”的概念，对指数函数的导数公式，不仅要通过大数据归纳，更要用定义证明;苏教版高中数学教材因为不涉及“极限”概念，只要求在数据探究的基础上感受、了解。当然，即使是类似的内容要求，要真正落实拔尖创新人才的培养，也需要教师在日常的教学设计和教学实践中有意识地发展学生的数学思维能力和创新能力。

教育是创新的源头，教学是教育的一部分，教材是教学的依据。教材在培养学生的创新能力方面扮演着重要的角色。本文以苏教版高中数学新教材和IBDP Mathematics AA HL教材为载体，初步探索了中外高中数学课程在拔尖創新人才培养方面的异同。我们发现，中外高中数学课程无论是在宏观的课程理念、课程设置方面，还是在微观的教材栏目、教学设计方面，都存在着极大的相通之处，只是在某些具体章节的内容顺序和难度要求上有所差异。比较的意图是期望取长补短，将更多、更好的元素融进我们的教材编写和教学设计中，提升师生的创新意识，努力为国家培养更多的拔尖创新人才。

参考文献：

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[2] 田爱丽.转变教学模式促进拔尖创新人才培养——基于“慕课学习+翻转课堂”的理性思考[J].教育研究，2016（10）.

[3] 许孟，许春根.拔尖创新工科人才培养中的“数学建模”课程研究[J].黑龙江教育（高教研究与评估），2021（6）.学科教育