陈 俊 钟 鸣

（1.南京市第九中学，江苏 南京 210018；2.南京师范大学物理科学与技术学院，江苏 南京 210023）

1 原题重现

例题.（2021年山东高考物理第2题）如图1所示，密封的矿泉水瓶中，距瓶口越近水的温度越高.一开口向下、导热良好的小瓶置于矿泉水瓶中，小瓶中封闭一段空气.挤压矿泉水瓶，小瓶下沉到底部；松开后，小瓶缓慢上浮，上浮过程中，小瓶内气体

图1

（A）内能减少.

（B）对外界做正功.

（C）增加的内能大于吸收的热量.

（D）增加的内能等于吸收的热量

解析：这是一道情景结合类的试题，以浮沉子为载体，考查学生对理想气体状态方程、热力学第一定律等知识的理解和掌握情况.当小瓶缓慢上浮时，小瓶中封闭气体的压强将逐渐减小，根据理想气体状态方程可知，小瓶中封闭气体的体积将逐渐增加；距水瓶口越近水的温度越高，小瓶中封闭气体的温度将逐渐升高.小瓶中的气体可近似认为是理想气体，温度升高，气体的内能增加（ΔU＞0），体积增加，气体对外做功（W＜0），也可以说成是对外做正功.根据热力学第一定律W+Q=ΔU可知：Q＞0表示小瓶内气体从外界吸热.且|Q|＞ΔU，所以本题答案为（B）.

2 IYPT对应的试题

本题的原题是第34届IYPT（2021）的第6题：不可逆转的浮沉子.

一个简单的浮沉子（例如，一个部分充满水的倒置试管）被放置在一个装满水的垂直长管中.增加管中的压力迫使浮沉子下沉.当达到一定的深度时，即使改变压力到初始值，它也不会返回到表面.探究这一现象以及相关参数如何影响该现象.

3 提出问题

对于本题的载体浮沉子，有两个问题值得深入思考：

（1）挤压矿泉水瓶，小瓶为什么会下沉到底部？

（2）松开后，小瓶为什么会缓慢上浮？

下面就这两个问题展开分析和讨论.

（1）假设浮沉子质量为m，横截面积为S，水的密度为ρ，密封的矿泉水瓶中上方的空气压强为p0，此时小瓶中液面距离矿泉水液面的高度差为h2，小瓶内封闭气体长度为（h1+h2）（如图2所示），压强为p1.小瓶置于矿泉水瓶中，此时小瓶处于静止状态，所受合外力为0，有mg=ρgh2S；小瓶中封闭气体的压强p1=p0+ρgh2.

图2

当挤压矿泉水瓶时，水瓶上方的空气体积将减小，在温度不变的情况下，这部分空气的压强p0将增大，小瓶中封闭气体的压强p1增大，体积将减小.此时小瓶下降，但是小瓶中液面距离矿泉水液面的高度差为h2保持不变，所以小瓶受到的浮力不变，小瓶处于一种动态平衡状态.如果此时保持水瓶上方空气的压强不变，小瓶将悬浮在水中；此时松手，小瓶会上浮.

当小瓶顶部下降到液面以下后，继续挤压矿泉水瓶，小瓶中封闭气体的体积继续减小，h2将减小，h2的减小使得小瓶所受浮力减小，mg＞ρgh2S小瓶下沉.

（2）假设当小瓶下沉到距离矿泉水瓶中液面h的位置时撤去外力，密封的矿泉水瓶中上方的空气压强恢复到p0，此时液面下方h位置出的压强为p2=p0+ρgh，p0减小使得p2也减小.对小瓶中气液分界处液片分析，p2的减小使得分界处液片受力不平衡，小瓶中封闭气体长度将增大，使得小瓶受到的浮力增大，那会不会大于小瓶的重力，让小瓶上浮呢？

4 上浮条件的分析

如图2所示，根据前面的假设，小瓶露在水面上方的长度为h1，水面下方封闭气体的长度为h2，开始时有

mg=ρgh2S.

轻压水瓶，小瓶将下沉，当小瓶下沉到瓶中液面距离矿泉水瓶中液面h的位置时撤去外力，假设此时小瓶恰好处于平衡状态，则有

mg=ρgh2S.

对于小瓶内封闭的气体，由理想气体状态方程可得

对矿泉水瓶而言，瓶中的温度变化不大，在此认为瓶中水的温度处处相等的.

p2（h1+h2）S=ph2S.

密封的矿泉水瓶中上方的空气压强恢复到p0，有

（p0+ρgh2）（h1+h2）=（p0+ρgh）h2.

简化后可得

对上述结果进行讨论：

（1）当松手时小瓶下沉的深度小于h时，那么松手后小瓶内的气体的体积会膨胀到大于h2的长度，小瓶受到的浮力将大于重力，小瓶将上浮.

（2）当松手时小瓶下沉的深度等于h时，那么松手后小瓶内的气体的体积会膨胀到等于h2的长度，小瓶受到的浮力将等于重力，小瓶将处于悬浮状态.

（3）当松手时小瓶下沉的深度大于h时，那么松手后小瓶内的气体的体积会膨胀到小于h2的长度，小瓶受到的浮力将小于重力，小瓶将一直下沉到容器的底部而不再上浮.

结论：松手后小瓶能否上浮跟松手时小瓶的位置有关，还跟封闭的容器中液面上方的空气压强有关，所以浮沉子松手后能否上浮要视情况而定，不能一概而论.

5 思考

如果小瓶的初始状态是瓶底恰好与矿泉水中的水面平齐（即h1=0），那么松手后小瓶会上浮吗？同样我们假设在撤去外力后，小瓶恰好重现处于平衡状态，此时应有mg=ρgh2S，由理想气体状态方程可知，对于小瓶内封闭的气体

p1h2S=p2h2S，p0+ρgh2=p0+ρgh，h=h2.

这是不可能的.也就是说：如果开始时小瓶整体在液面以下平衡，挤压矿泉水瓶，小瓶下沉到底部；松开后，小瓶将不会上浮.所以松手后要使小瓶能从液面下上浮，则最初没有施加压力时小瓶要有一段瓶体露在液面以上.