谢伟平，陈 谣，王先锋

(武汉理工大学 土木工程与建筑学院，武汉 430070)

随着城市化进程的加快，地铁已经逐渐成为各大城市市内交通的主要形式。地铁线路的发展也加大了对地铁监测设施和传感器的需求。而传感器网络的电池能量耗尽后更换困难、维护成本高，克服其缺点的一种方案是采用替代能源，而地铁过往车辆引起的振动能就是一种可持续利用能源。如果能将这些振动能收集和储存，为地铁监测系统供能将很有意义。目前，从环境振动中获取能量的方式主要有三类，分别是静电、压电和电磁式[1]。其中压电式体积小、结构简单具有高效的力电转化特性，更加适用于振动能量收集。

随着制作工艺及压电理论的成熟，世界范围内的学者开始将压电陶瓷材料用于轨道振动能量俘获。Wischk等[2]比较了铁路隧道内各个位置振动的时程和频谱。设计了一套压电式振动俘能装置，并对该套装置进行了现场测试。为了克服压电俘能装置在激励频率接近其固有频率较窄的频带内才有较高功率的缺点。Lynch等[3]设计了一种压电阵列俘能器。现场测试表明，压电阵列的电压高于单个压电片，功率反而减小。高鸣源[4]设计了一种梁式压电俘能装置，将钢轨振动位移作为激励仿真计算了其发电响应。并通过室内试验验证其可行性。Wang等[5]研制了一种适用于低频重载的新型弯-压型俘能单元，建立了埋置俘能单元的轨道结构在移动荷载作用下的理论分析模型，并给出其理论电学输出。然而由于压电陶瓷本身脆性大、极限受拉承载力弱，导致基于传统压电陶瓷材的俘能器具有耐久性差等缺陷，与持续供能的初衷相违背。

针对现有压电材料的不足，NASA Langley研究中心研制出了压电纤维复合材料(macro fiber composite，MFC)[6]。这是由压电陶瓷纤维、叉指电极、聚合物和聚酰亚胺构成的周期排列的复合材料。根据电极的极化方向不同，MFC主要分为d31和d33型，其中d33型压电常数较高，有更高的能量转换效率[7]。此外，MFC不仅保留了压电材料的原有的优异的机电耦合性能，同时又具有低频、柔韧性好、轻质等众多优点，而且压电纤维横向排列使得MFC局部的损坏，也不会影响其的整体性能，这为MFC用于轨道振动能量俘获提供了良好的基础。

另外基于振动的能量收集装置选择主要取决于激发源的振幅和频谱，悬臂式压电俘能器多以收集环境低频振动为主[8]，以MFC材料为基础的悬臂型俘能器在地铁轨道低频振动能量俘获中的应用鲜有报道，其俘能机理、能量输出特性、俘能器优化手段鲜有研究。

鉴于此，本文将MFC材料用于的地铁轨道低频振动能量收集进行研究。研究MFC俘能器在各种材料结构参数及车辆荷载等参数条件下的发电性能，模拟验证了MFC俘能器作为地铁轨道监测传感的自供能电源的可行性，为地铁轨道振动能量收集研究及智能轨道交通的发展提供重要的参考价值。

1 车辆-轨道耦合动力学模型

MFC悬臂型俘能器发电的机理为轮轨相互作用激发钢轨底部MFC压电悬臂梁产生相对运动，导致压电材料内部电偶极矩发生变化，在其表面积累正负电荷，对外显示电性。因此对于MFC俘能器的设计而言，首先需要得到激励源即钢轨的动力特性。

1.1 列车及轨道模型

带MFC俘能装置的车辆-轨道模型及相互作用关系如图1所示。其中车辆系统模型视为匀速地在轨道上移动的10自由度多刚体系统。车辆模型选用6节编组的地铁B型车。轨道模型选用弹性支承块式无砟轨道结构。轨道子系统轨道下部结构近似模拟成离散支承在连续弹性基础上的无限长Euler-Bernoulli梁，车辆和轨道结构模型的主要参数[9-10]如表1所示。

图1 带MFC俘能装置的车辆-轨道相互作用模型

表1 车辆轨道模型参数

1.2 动力学方程建立

根据Euler梁模型，钢轨的运动方程表示为[11]

(1)

式中:Pj(t)为车轮的轮轨力；Zr(x,t)为钢轨振动位移；Frsi(t)为轨枕支点反力；N为扣件总数；δ(x)为Dirac函数。利用Hertz非线性弹性接触理论将耦合系统的车辆模型和轨道模型耦合起来，成为一个完整的系统。轮轨垂向作用力p(t)表示为

(2)

式中:G为轮轨接触常数；δZ(t)为轮轨间的弹性压缩量；Z0(t)为轨道不平顺位移。综合考虑车辆、钢轨、扣件及弹性支撑块，采用Ritz法对系统进行简化处理，车辆-轨道耦合运动方程可以表示为

(3)

1.3 轨道不平顺与振动响应求解

轨道不平顺是车辆与轨道系统产生随机振动的主要根源，并不能用确切数学表达式来表示。轨道不平顺的功率谱密度是描述轨道不平顺的有效手段，国内外对于城市轨道交通车辆轨道振动相关研究采用的轨道不平顺谱也不一致[12-13]。由于美国轨道谱分级明确，本文选取美国五级线路轨道谱进行计算，采用逆快速傅里叶变换法将轨道的不平顺功率谱转换为时域的激扰信号，得到的轨道时域样本如图2所示。

图2 轨道高低不平顺幅值

利用预测-校正积分方法在MATLAB软件中编写计算程序。计算出地铁车辆以70 km/h速度通过时地铁轨道钢轨动力响应如图3、图4所示。

图3 钢轨竖向振动时程图

图4 钢轨竖向振动频谱图

由图3、图4可知钢轨竖向振动加速度幅值大多在0～50 m/s2，列车动态荷载激发的明显的钢轨振动主频集中在低频范围，振动卓越频段为60～75 Hz计算结果与文献[14]的实测结果接近)，与某些周期运动的机械设备的振动相比[15]，地铁轨道车辆引起的振动的带宽及幅值并不固定，而是随着车辆类型、车速、载质量等的变化而变化。

2 MFC俘能器的理论模型

MFC的力电耦合模型基于分布参数模型,首先使用混合规则来均匀化MFC的压电层材料性质并使用代表体积元(representative volume element,RVE)构建MFC的周期结构，然后应用模态展开将力电耦合的偏微分方程转换为常微分方程，最后求解方程以获得MFC俘能器的输出响应。

2.1 代表体积元与混合规则

由于d33型的MFC为沿压电纤维长度方向的极化电场以及其上下表面为正负交错排列的叉指电极，导致其内部电场分布极不均匀[16](如图5(a)所示)。主要分为两个区域：远离电极的区域“电场活区(电场较为均匀)”、电极正下方的区域“电场死区(无电场)”。其力电耦合系数和等效电容并不能直接得到，而是通过代表体积元来求得。如图5(c)所示。MFC片在长宽方向上分别由N×M个等效体积元组成，其中N和M分别为电极对数和压电纤维条数。构成的d33型MFC压电悬臂梁遵从以下线性本构方程[17]

图5 MFC悬臂梁式能量收集器示意图

T3=YpS3-e33,pE3

(4)

(5)

E3≈±V(t)/Le

(6)

式中:V(t)为叉指电极的电压；Le为叉指电极之间的间距；对于MFC来说，其压电纤维与聚合物的弹性和压电参数等并不相同，利用RVE的混合规则[18]，通过重新排列线性压电本构关系均匀化压电层，使压电纤维和聚合物均质成等效压电层，有以下关系式

Yp=vYf+(1-v)Ym

(7)

(8)

(9)

式中:v为压电纤维的体积分数；下标p、f和m分别为等效压电层、纤维和聚合物；上标S及T为恒定应变和恒定应力下。

2.2 MFC压电悬臂梁力电耦合模型

对于带端部质量块的微幅弯曲振动和线性化压电效应的MFC悬臂单晶片振动和电学输出如下[19]

(10)

(11)

式中:wrel(x,t)为梁中性轴相对于固定参考系的横向位移；wb(x,t)为固定端激励所引起的位移；ca为黏性空气阻尼系数；cs为应变率阻尼系数；m为梁的单位长度质量；Mt为端部质量；L为梁长；R为外接电阻。d33型MFC材料的等效压电层的力电耦合系数ϑ、等效电容Cp以及电势Φ(x)在空间的分布为表示为

ϑ≈Md33,pYpAehpc/Le

(12)

(13)

(14)

式中:N和M分别为电极对数和压电纤维条数；hpc为等效压电层中心到中性轴的距离；Ae=μbehp为RVE等效截面面积；be为RVE的宽度；系数μ是用来等效电场在厚度上的不均匀分布；H(x)为Heaviside函数；由层合梁的内部应力平衡[20]解得等效抗弯刚度YI为

(15)

式中:Ys、Yk分别为基板层和聚酰亚胺(PI)板-电极层的杨氏模量;ha、hb和hc分别为中性轴距离底面、弹性基板层上边缘以及顶面的距离，可以用压电层hp、基板层hs和PI板-电极层的厚度hk表示如下(如图6所示)

图6 MFC俘能器在XZ平面示意图

(16)

2.3 动力响应求解

根据模态叠加法，悬臂梁的横向偏转wrel(x,t)可用一系列特征函数表示

(17)

式中:φr(x)为质量归一化的第r阶模态函数；ηr(t)为第r阶模态坐标。对于带端部质量的悬臂梁，其模态函数表示如下[21]：

φr(x)=Ar{cos(λrx/L)-cosh(λrx/L)+

ζr[sin(λrx/L)-sinh(λrx/L)]}

(18)

式中:λr为对应于不同模态的特征值；Ar为通过振型正交性求得的模态振幅常数；系数ζr可表示为

ζr=

(19)

将式(18)代入式(10)、式(11)，两边同乘以φr(x)并沿梁长积分。考虑振型正交性和Dirac函数积分性质，忽略空气阻尼及梁微小偏转的影响。可得到由模态坐标表示下的俘能器振动和电学方程为

(20)

(21)

(22)

3 输出电能影响因素分析

为了探索在地铁轨道振动下MFC结构、材料和地铁车辆荷载参数对俘能器输出电能的影响规律。将上文模拟的钢轨动力响应作为输入激励，代入MFC俘能器的力电耦合模型中得到其电能输出，分析MFC压电活性层结构与材料参数、端部质量、外接负载及车辆的运行速度、载质量等因素对收集能量影响。MFC俘能器主要几何和材料参数如表2所示。

表2 MFC俘能器的材料结构参数(ε0=8.854p F/m)

3.1 压电活性层结构与材料参数影响

研究压电活性层的长度、纤维含量影响时，活性层长度取72.5～85.0 mm，纤维体积含量变化范围为1%～100%。研究基板的弹性模量变化、压电层厚度对输出电能的影响时，取基板层与压电层的弹性模量之比β为1.5～4.0，压电纤维含量为50%，纤维厚度和梁总厚度(保持为1 mm不变)比α取0.01～0.85，无特殊说明外其他参数取值见表2。输出电能及谐振频率如图7～图10所示。

图7 不同梁长下输出电能随压电纤维体积含量变化

图8 不同梁长下谐振频率随压电纤维体积含量变化

图9 不同基板弹性模量下输出电能随压电层厚度变化

图10 不同基板弹性模量下谐振频率随压电层厚度变化

由图7、图8可知，梁的谐振频率随压电纤维含量的增加而不断升高。对于压电活性层长度在72.5～85.0 mm的MFC俘能器来说，输出电能随压电纤维含量的增加，先升高后下降，存在峰值输出电能。随着压电活性层长度的增加，输出电能峰值处的最优压电纤维含量由低向高偏移，峰值处的谐振频率逐渐减小。在输出电能峰值附近10%～20%压电纤维体积含量的MFC俘能器都有较高的输出能量，且谐振频率都处于轨道振动能量较高的卓越频带(65～75 Hz);这是因为MFC俘能器的发电性能在很大程度上取决于其激励频率与谐振频率的一致性。当激励频率接近于其谐振频率时，输出能量可以显著提高。

由图9、图10可知，梁的谐振频率随厚度比的增加而降低。对于基板弹性模量不同的MFC俘能器来说，均存在一个最佳厚度比，使得其输出电能达到最大值，且最佳厚度比α的值随着弹性模量比β的增大而升高。当1.5≤β≤2.5时，随基板弹性模量的增大，输出电能峰值增大，峰值处谐振频率升高；当β>2.5时，随基板弹性模量的增大，最优厚度比、峰值输出电能及峰值处的谐振频率基本不变，分别为0.75 mJ、0.84 mJ及68 Hz左右。因此在选用基板时，要综合考虑基板弹性模量对输出电能的影响。

3.2 端部质量的影响

研究端部质量的影响时，假设端部质量块的质量大小按整个悬臂梁质量比例选取，即Mt=K×m×L，比例系数K取0～0.5。取压电纤维体积含量为50%(压电纤维体积总不变)，基板厚度分别取0.35～0.60 mm的6种MFC压电悬臂梁，梁长为70 mm,其他参数取值见表2。其输出电能及谐振频率随质量比例系数K如图11、图12所示。

图11 不同基板厚度下输出电能随端部质量变化

由图11、图12可知，梁的谐振频率随着端部质量的增加降低。随着端部质量的增加，输出电能先增大后减小。峰值处的俘能器的谐振频率保持68 Hz附近，接近轨道振动能量的峰值频率(71.2 Hz)。且在峰值谐振频率较宽的频带内都有较好的输出电能。增加端部质量后MFC俘能器最大电能输出相较于无端部质量的MFC俘能器分别提高升82%、161%、193%、185%、188 %和237%。这表明可以通过适当地增加端部质量块的质量降低其的谐振频率来匹配环境的激励频率，提高压电能量采集装置电能输出能力。

图12 不同基板厚度下谐振频率随端部质量变化

3.3 负载电阻的影响

取压电纤维体积含量从15%到90%、压电层厚度比从0.15到0.40、端部质量比从0到0.5变化的6种MFC俘能器，得到不同负载下输出能量变化如图13～图15所示。

图13 不同纤维压电纤维含量下输出电能随电阻变化

图14 不同压电层厚度下输出电能随电阻变化

图15 不同端部质量比下输出电能随电阻变化

由图13～图15可知，输出电能随负载变化的趋势为先增后减，不同压电纤维含量、厚度及端部质量的MFC俘能器均存在一个最优电阻值，使其输出电能达到极大值；随着纤维体积含量、厚度增加，最优处的电阻逐渐减小，由高负载向低负载移动。当压电纤维体积含量为定值时，端部质量改变时，峰值电阻均为35 kΩ，即增加端部质量只会改变其峰值电能，不会改变其峰值电阻。

3.4 列车载质量及车速的影响

由于地铁车辆的载质量与车速会影响钢轨竖向振动的时程与频谱特性。从而影响MFC的俘能效果。保持压电材料总体积不变(即纤维含量、长、宽及厚度不变)，取不同的厚度铝基板使得梁谐振频率在60～80 Hz变化的5种MFC俘能器，其他参数取值见表2。研究载质量影响时，列车车速保持65 km/h不变，载质量分别为分别处于空载(MC=22 t)到超载(MC=42 t)之间变化[22]。研究车速影响时，列车载质量为32 t不变，车速为50～80 km/h变化时，5种MFC俘能器在不同载质量、车速下输出电能如图16、图17所示。

图16 不同谐振频率MFC俘能器下载质量对输出电能的影响

由图16、图17可以看出，输出电能随着载质量增加而增加，这是由于载质量增加导致钢轨竖向加速度幅值增大，导致输出电压幅值增大，从而影响输出能量。但车速增加不一定会增加MFC俘能器的输出电能，随着车速的改变，钢轨竖向振动的频带会偏移及拓宽。而钢轨振动的频带改变会降低MFC俘能器输出电能，这是因为基于MFC压电悬臂的俘能器带宽较为固定，无法有效地完全覆盖地铁轨道的峰值频带。同时，当动能在一系列具有不同频率的振动中分散时使得任何单频振动中的能量都较小。因此，俘能器的输出电能不一定随车速的增加而增加。

图17 不同谐振频率MFC俘能器下车速对输出电能的影响

4 俘能电路设计

采用表2所示的结构及材料参数，建立MFC俘能器的模型得到地铁列车经过时，MFC俘能器的输出电压时程及均方根输出电压如图18所示。

图18 输出电压时程图

由图18可知，地铁列车车轮经过安装有MFC俘能器的钢轨时，带动MFC俘能器产生非连续、非稳态、高电压的交流电，其电压大小与列车载质量和车速相关，且只有当列车经过的较短的时间内才有电能。需要设计俘能电路将其整流、滤波、稳压成直流电进行存储及输出控制，才能给例如传感器等用电设备供电。

4.1 等效电路模型

MFC俘能器的等效电路参数可以通过力学量和电学量的类比关系[23]得到(如表3所示)，等效电路模型可以看作代表前r阶模态的r个电路分支组成。能量收集器的主要贡献频率为一阶共振频率。因此，取前几个阶甚至一阶模态即可较为准确地预测能量收集器的能量收集性能。本文仅考虑前三种模态的影响。外部电路和电子设备简化为负载电阻，等效电路模型如图19所示。

表3 机电参数的类比关系

图19 等效电路模型

4.2 试验验证

为了验证MFC俘能器理论模型及等效电路模型的准确性，分别在MATLAB中计算理论值和在LTspice建立等效电路模型然后与扫频试验的结果做对比,试验试件基板尺寸为65.0 mm×10.0 mm×0.5 mm，MFC薄片的尺寸为65.0 mm×10.0 mm×0.3 mm，压电材料为PZT-5H，聚合物为环氧树脂，含量各占50%，端部质量块质量为1.8 g。试验平台如图20所示，主要由MFC悬臂梁结构、台式万用表、激光位移传感器、加速度传感器、振动台及数据采集端等组成，扫频试验的加速度为固定为10 m/s2，其试验结果与理论值和仿真值对比如图21所示。

1.激光位移传感器；2.MFC压电俘能器；3.加速度传感器；4.端部质量块；5.振动台；6.数据采集端；7.台式万用表。

由图21可知，理论计算和等效电路仿真计算得到的MFC俘能器输出电压随频率的变化结果一致。理论值及仿真值的输出电压随频率变化趋势与实测值基本一致，而实测值在一阶谐振频率和输出电压峰值上略小于理论及仿真结果，误差分别为3.6%和20.4%。误差产生的原因主要与MFC的制作工艺有关，例如加工过程中填充的聚合物含量过高，导致其内部阻抗变大、上下叉指电极没有对齐或者与压电纤维接触不充分等，这些都会导致实测值和理论值有一定的误差。

图21 扫频下电压输出实测值与理论值和仿真值对比

4.3 俘能电路设计与仿真

相比于分立元器件，集成电路芯片其体积小、功能多、线路组合标准化，能够极大程度的避免电路损耗。Linear公司推出LTC3588-1是集整流桥、DC-DC降压转换器等功能一体的专为微能量收集和电流降压设计的能量管理芯片[24]。以LTC3588-1芯片为基础，进行俘能电路设计，并在LTspice软件中进行仿真，仿真模型如图22所示。

注：互感(K)语句“K L4 L5 L6 L7 1”表示为L4 L5 L6 L7变压器绘制一个电感器，并对其实施耦合，“1”表示没有漏电感。

以武汉地区的地铁线路为例，高峰时间段的行车间隔约为4 min，随机取不同车速在55～75 km/h，载质量在28～36 t的15趟车。将LTC3588-1的输出电压设置为1.8 V，模拟1 h内列车经过时电容的充电曲线如图23所示。

(a)单趟列车

由图23可知，0.5 mF的电容两端的电压在1个小时15趟列车经过后上升为8.07 V，因此储存在电容中的能量为16.28 mJ。无线加速度传感器的功耗最低为0.35 mW，追踪1趟列车经过时所需时间为10 s，15趟车所需能量为52.5 mJ。考虑实际电容能量并不能全部利用，电容放电至1.8 V时，电能输出为9.83 mJ，当无线传感器网络节点间歇工作时，6个并联的MFC俘能器即可满足无线传感功能。

5 结 论

本文基于d33型的MFC材料，设计了一款适用于地铁低频振动能量收集的悬臂式俘能装置，通过分析MFC结构、材料和车辆荷载等参数对俘能器输出电能的影响规律，并基于LTC3588-1芯片进行了能量收集-存储模拟，探究MFC俘能器所收集的地铁轨道振动能量用于无线传感器供能的可行性，得到以下结论：

(1)压电纤维体积尺寸、基板材料属性及端部质量大小均对MFC俘能器电能输出有影响，存在最佳压电纤维体积含量、压电层厚度比及端部质量比使其输出电能最大。且在地铁轨道振动卓越频带的带宽内都有较好的能量输出。压电活性层越长，输出电能峰值处压电纤维含量由低向高偏移，峰值处的谐振频率逐渐减小。基板的弹性模量越大，输出电能峰值处压电层厚度比越大，当β>2.5时，随基板弹性模量的增大，最优厚度比、峰值输出电能及峰值处的谐振频率基本不变。适当增加端部质量可以降低MFC俘能器谐振频率来匹配环境的激励频率，对其电能输出能力有较大提升。

(2)MFC俘能器在负载阻抗匹配的情况下才能实现最佳电能输出，随着压电纤维体积含量、厚度增加峰值电阻逐渐减小，由高负载向低负载移动，当压电纤维体积固定时，峰值处电阻不受端部质量的改变影响。

(3)列车载质量和车速对能量的俘获有明显影响，在针对地铁轨道振动能量收集时，MFC压电俘能器设计时要考虑钢轨低频振动时车速及载质量影响的引起加速度幅值及频率分布，俘能器的谐振频率要与钢轨振动的卓越频带相匹配。

(4)本文设计的单个MFC俘能器在地铁运行情况下一个小时可收集能量为16.28 mJ，6个并联的MFC俘能器即可满足无线传感器的最小供能需求。