王 婷，万志敏，2

(1.南通职业大学 汽车与交通工程学院，江苏 南通 226007；2.华中科技大学 机械科学与工程学院，武汉 430074)

结构动力学中的逆问题分为两类，即第一类逆问题和第二类逆问题，分别对应着参数识别[1-2]和载荷识别[3-4]。参数识别是采用测量响应和结构外载荷来反求结构未知参数，而载荷识别是采用测量响应和结构系统来反求结构外载荷。然而在工程实际中，往往未知的外载荷和不确定性的结构参数同时存在，导致传统的两类逆问题很难适用。近十多年来，采用不确定性的方法进行结构动态载荷及参数联合识别逐渐受到越来越多的学者关注。

从已有文献可知，主要包括四类方法，分别为EKF-UI[5-6](extended Kalman filter-unknown input)、DKF(dual Kalman filter)[7-10]、A-DEKF(augmented discrete extended Kalman filter)[11]以及EGDF类法[12-13]。EKF-UI法首先是由Yang等提出的，核心思想是将结构状态(速度和位移)及未知参数看成增广状态向量，并基于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)法和最小二乘法来连续识别结构的未知载荷和参数。DKF法首先是由Azam等提出的，核心思想是采用两步法来连续识别状态/载荷/参数：第一步将未知载荷和状态看成增广状态向量，构造出增广状态传递方程，结合测量观测方程，采用卡尔曼滤波法(Kalman filter，KF)识别出状态/载荷；第二步将未知参数和状态看成新的增广状态向量，重新构造出增广状态传递方程，并基于EKF法(或者Unscented KF法)进行增广状态识别，从而得到未知参数。A-DEKF法是Naets等提出的，其主要思想是将结构状态、未知载荷及参数三者一并组成一个新的增广状态，基于该增广状态构造出状态的传递及观测方程，再应用EKF法来识别增广状态。从算法结构上来看，该方法流程简单，但识别的成功性大大依赖于一个数量级合适的未知载荷方差估计值。EGDF(extended Gillijns-De Moor filter)法是作者在GDF(Gillijns-De Moor filter)法的基础上提出的。GDF法是由Gillijns等针对线性系统，并基于KF和加权最小二乘算法提出的载荷/状态连续最小方差无偏估计滤波法。EGDF法采用EKF的一阶泰勒线性近似思想解决了弱非线性系统的载荷/状态识别问题，该状态可以是以结构状态和未知参数组成的增广状态。然而，EGDF法中仅采用部分加速度响应作为测量信号参与滤波识别，极易导致识别的载荷和位移产生所谓的低频漂移现象，这是因为加速度信号对于输入载荷的转静态分量不够灵敏，易导致系统的低频动态信号丢失。为了缓解低频漂移问题，Wan等和万志敏等采用位移或者应变与加速度测量信号一并作为测量响应来进行识别。

因EKF法仅有1阶精度，故EGDF法中的算法也仅有1阶精度。为了提高非线性系统的识别精度，考虑到无迹变换(unscented transformation)方法的精度至少为2阶(对于高斯分布可达到3阶精度)，本文基于UT算法对GDF进行拓展，并基于应变-加速度测量信号融合策略，形成GDF-UT法。另外，模态缩减法的应用可以提高计算效率，更加适用于工程实际问题。数值算例采用桁架为对象验证了本文方法的有效性。

1 模态GDF法的非线性形式

对于含黏性阻尼的n个自由度结构动态系统，其运动微分方程可以表达为

(1)

引入模态坐标变换

p(t)=Φq(t)

(2)

式中，Φ、q(t)分别为模态振型矩阵和模态位移向量。将式(2)代入运动微分方程式(1)可得

(3)

式中，Mn=ΦTMΦ=I，Cn=ΦTCΦ=Γ，Kn=ΦTKΦ=Λ，并且存在

(4)

(5)

式中，ωi、ζi分别为第i阶系统无阻尼自然频率和模态阻尼率。那么，式(3)可写成

(6)

(7)

系统观测方程可以表达成

Du(t)

(8)

考虑过程噪声，系统的模态状态传递方程式(7)以及观测方程式(8)可以分别写成如下的非线性时间离散形式

zk+1=fk(zk,uk)+wk，k=1,2，…，T

(9)

yk=hk(zk)+Dkuk+vk,k=1,2,…,T

(10)

式中：下标k为第k个采样时刻；y为加速度测量响应，wk为系统噪声，其均值和方差分别假定为0和Gk；vk为观测噪声，其均值和方差分别假定为0和Rk。

因为式(9)和式(10)为非线性方程，传统GDF法无法适用，本文下面将推导GDF法的非线性形式，其实质为最小方差无偏估计，共包含三步识别：时间更新步、载荷识别步、测量更新步。

1.1 时间更新步

(11)

(12)

1.2 载荷识别步

(13)

其中

ek=h(zk)-E[h(zk|k-1)]+vk

(14)

(15)

E[h(zk|k-1)])(h(zk)-E[h(zk|k-1)])T]+

Rk≠cI

(16)

可知，式(13)不满足方差一致性，即ek不是一致的方差值，根据Gauss-Markov理论[14]，式(15)不可能达成最小方差无偏估计。

(17)

那么存在

(18)

(19)

由式(19)可得，式(15)优化为

(20)

由式(13)和式(19)可得载荷的无偏估计误差为

(21)

(22)

1.3 测量更新步

基于上述的状态估计值，定义下式

(23)

式中：Lk为假定的增益，需要后解来满足状态的最小方差无偏估计。状态估计误差为

(24)

LkDk=0

(25)

基于式(25)存在，那么可得

(26)

其中

(27)

最小化Pz,k|k并考虑到式(25)，得出优化的结果，参考Dertimanis等的研究

Lk=Kk(I-DkJk)

(28)

式中：Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1。将式(28)代入式(23)得到

(29)

另外，根据Dertimanis等的研究可推导出

(30)

(31)

综上所述，式(14)、式(16)、式(19)、式(20)、式(22)为载荷估计步，式(27)～式(31)为测量更新步，式(11)～式(12)为时间更新步，结合上述三步即为模态GDF的非线性形式。

2 基于无迹变换的模态GDF方法

EGDF法是基于EKF的GDF法，其中不可避免保留了EKF法的缺陷，即：对非线性系统方程及观测方程进行泰勒展开并保留其1阶近似项，存在线性化误差。本文采用无迹变换来处理系统的非线性传递问题。

2.1 无迹变换

无迹卡尔曼滤波是Julier等[15-16]提出的一种非线性滤波方法。与EKF不同的是，它并不对非线性方程f和h在估计点处做线性化逼近，而是利用无迹变化在估计点附近确定采样点，用这些样本点表示的高斯密度近似状态的概率密度函数。

UT实现方法为：在原状态分布中按某一规则选取一些采样点，使这些采样点的均值和协方差等于原状态分布的均值和协方差；将这些点代入非线性函数中，相应得到非线性函数值点集，通过这些点集求取变换后的均值和协方差。这样得到的非线性变换后的均值和协方差精度最少具有2阶精度(Taylor序列展开)。对于高斯分布，可达到3阶精度。其采样点的选择是基于先验均值和先验协方差矩阵的平方根的相关列实现的。

(1)计算2L+1个Sigma点，即采样点，L指的是状态的维数。

(32)

(2)计算这些采样点相应的权值为

(33)

式中，下标i为第几个采样点，m为均值，c为协方差。待选参数β≥0是一个非负的权系数，它可以合并方程中高阶项的动差，这样就可以把高阶项的影响包括在内，一般对于高斯分布时，取β=2。

2.2 基于UT的模态GDF方法

基于UT，可以将GDF法拓展到非线性结构系统中，并能够实现状态/参数/载荷联合识别。下面将依据第2章推导出基于UT的模态GDF算法。

初始化

(35)

2.2.1 载荷估计步

(36)

πi,k|k-1=h(zi,k|k-1)

(37)

(38)

ek=h(zk|k-1)-E[h(zk|k-1)]+vk

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

2.2.2 测量更新步

(44)

Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1

(45)

Lk=Kk(I-DkJk)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

2.2.3 时间更新步

(51)

(52)

(53)

3 应变及加速度响应融合下的EGDF法

加速度传感器因其体积小、易安装，且对结构系统特性影响很小，因而广泛应用于工程实际中来测量结构的振动响应。然而，仅采用加速度测量信号来识别结构系统的GDF算法具有本征的不稳定性，识别出的位移及载荷值会产生明显的虚假低频漂移现象。究其原因是因为加速度信号对于输入载荷的准静态分量不够灵敏。研究表明在部分加速度响应信号的基础上融合个别位移响应信号作为测量信号来联合识别结构的未知外载荷/状态/参数能够极大地缓解虚假低频漂移问题，原因是加速度信号和位移信号中分别包含了高、低频振动特性。然而，位移传感器一般来说体积较大，安装测量时容易造成结构系统的动态特性改变，影响实际测量结果，而且价格也相对较贵。考虑到应变计体积小巧，易于安装，价格便宜，测量响应还包含位移信息，本文将同时应用应变响应和加速度响应来识别未知载荷和结构参数。

应变和位移的数学关系[17]可以表示成

ε=Hεp=HεΦq

(54)

式中，Hε为应变-位移传递矩阵。将式(54)应用于EGDF算法中，则观测方程式(10)变换成

(55)

式中，vεk为应变观测噪声向量，并假设均值为零，方差为Rεk。那么，式(55)中的载荷影响矩阵Dk变换为

(56)

式中，下标s、udof分别为测量应变以及未知载荷的数量。考虑到应变测量与加速度测量响应的数据融合，式(47)变换为

(57)

综上所述，本文提出的改进算法仍然包括三步：载荷识别步、测量更新步、时间更新步，如2.2节所示。不同的是载荷影响矩阵Dk如式(56)所示。式(47)变换为式(57)。为了满足工程中实时识别的要求，可以仅选取结构的前r阶主导模态参与计算即可达到工程精度，而其余的n-r阶非主导模态可以不考虑。

4 数值算例

u1=40 sin(10πt)+30 sin(20πt)

(58)

而载荷u2采用随机激励形式。图1中的黑方格代表加速度传感器布置的位置。

(a)平面桁架结构

本例中6个杆单元5、7、10、14、15和17的刚度值是不确定的需要与外载荷进行联合识别，假设其初始值分别为759.5 N/m、633.0 N/m、1 342.5 N/m、1 163.5 N/m、759.5 N/m、633.0 N/m。通常而言，模态缩减法在满足工程精度的同时，能够有效地减小整个计算量有利于整个计算量。本算例采用前7阶主导模态来进行结构的载荷/状态/参数识别。选取7个加速度测量信号以及2个应变来参与识别计算，分别为节点2、3、5、7、8、10的竖直加速度响应信号、节点9的水平加速度响应信号以及单元6、17的竖直应变响应。5%的环境噪声加在了所有测量响应中。两个外载荷的识别结果分别如图2、图3所示。从图可知，载荷识别值曲线与真实值接近。所有节点的状态值(位移及速度响应)也被识别出。节点6的竖直位移及速度的理论值与识别值对比图，如图4所示。从图4可知，位移、速度识别值的结果很好，相对误差较小，没有出现仅采用加速度测量响应来识别时导致载荷和位移出现的虚假低频漂移现象。另外，GDF-UT(含应变测量)、GDF-UT(不含应变测量)如表1所示。EGDF(含应变测量)3种方法的相对误差值(relative error, RE)，其计算方法为

图2 载荷u1的准确值和估计值

(a)载荷u2的准确值和估计值

(a)节点6竖直位移的理论值及识别值

(59)

式中：s为识别的物理量，如载荷、位移、参数等。从表1可知：① 不含应变的GDF-UT法产生低频漂移现象，载荷和位移识别值的误差值很大；② 含应变测量的GDF-UT法避免了低频漂移现象，识别精度高；③ 相对于EGDF法，GDF-UT法的精度较高。

表1 3种方法的识别相对误差

5 结 论

本文针对非线性识别系统，引入UT方法处理识别系统中的非线性传递问题，提出了传统GDF法的改进形式，即GDF-UT算法，能够很好地进行增广状态/未知载荷的联合识别，从而得到结构未知外载荷以及不确定性结构参数。核心创新点是融入的UT变换对 于非线性系统具有至少2阶识别精度的优势，为后续强非线性结构系统的载荷/参数联合识别打下坚实的基础。