四川外国语大学附属外国语学校 (400000) 郭海峰

关于圆锥曲线离心率运算的理论基础在于，圆锥曲线的三个参数满足“勾股定理”的关系式，故只需再发现一个关于三个参数的方程即可计算出圆锥曲线的离心率.又因为圆锥曲线具有丰富的几何性质，通过选择恰当地参数也可快速地构建方程，进行求解.本文从五个角度探讨了一道椭圆的离心率问题，并在求解的过程发掘其几何本质.

一、题目

图1

二、解法呈现

该问题的本质即是在椭圆内有两条特殊直线垂直时，计算椭圆的离心率.因为出现的直线较为特殊，即可通过三个参数表示出所有的点，再通过垂直关系建立方程.

思路一：根据点的坐标构建方程

根据点A∈直线BF2以及F1C⊥AB两个条件，利用三个参数表述出点A或点C的坐标，再结合其在椭圆上，构建出方程.

评注：在该解法中，F1C⊥AB的转化策略是利用直线的斜率求解，同理也可通过向量构建方程；本题也可通过椭圆的参数方程设出点A或点C的坐标，再利用垂直关系，及点A∈直线BF2构建方程，即逆向使用上述解法.但利用参数求解，又引进了新的变量，在后续的化简过程中运算量太大，不建议大家使用.

思路二：利用几何性质计算点的坐标

根据椭圆的对称性以及题干中的垂直关系，本题中出现的多个三角形具有相似的关系，利用相似三角形的线段之比也可求得点A或点C的坐标，进而构建方程进行求解.

图2

评注：该解法的本质是以线段长为基本参数，利用几何性质构建方程.与上解法相比，该解法对图形的要求较高，思维量也较大.

思路三：以角度为基本量，配合正、余弦定理构建方程

在图形中出现了多个直角三角形，如果选择恰当地角度，即可根据该角度表示出相应的线段，再配合正、余弦定理构建出方程求解.

图3

评注：本题可使用的角度很多，不同地选择决定了运算量的大小.该解法选择△CF1F2构建方程，读者可以尝试根据△CAF2来构建方程.

思路四：利用垂心的几何性质构建方程

考虑△ACF1可知，点F2为该三角形的“垂心”，根据垂心的向量形式[1]即可快速建立方程.

解法4：如图4，因为点F2为△ACF1的“垂心”，可得

图4

思路五：利用焦点三角形计算线段长构建方程

根据解法3可知，若能够计算出∠OBF2=θ的三角函数值，即可直接求解出该圆锥曲线的离心率.所以我们可以考虑其所在三角形进行求解.

图5

评注：上述五种方法进行对比可知，解法五的运算量最小，且揭示了该问题的本质.