音乐中的数学学问

2022-05-08湖北省襄阳市第一中学441000赵静芳

中学数学研究(江西) 2022年5期

湖北省襄阳市第一中学 (441000) 赵静芳王勇

音乐的要素——音高、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等都与数学密切相关.在高考试卷和全国各地高考模拟试卷中，以音乐为背景的考题频频“闪亮登场”，它们构思精巧、韵味十足、魅力四射，堪称践行“五育并举”方针的范例，既可以让学生更加理性地理解音乐、鉴赏音乐的美，又能提升学生的数学学科素养和关键能力.本文精选五类并配例加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、音乐+数列

点评：本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景考查等比数列的通项公式及前n项和公式，考查考生的运算求解能力.

图1

A.d1B.f1C.e1D.#d1

点评：本题是以《律学新说》中的“十二平均律”为背景创设的等比数列问题，考查了等比数列的通项公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，体现了等比数列在实际生活中的应用.

图2

A.814 B.900 C.914 D.1000

点评：本题阅读量较大，在弄懂题意的基础上考查数列中错位相减法求和.

二、音乐+三角函数

图4

点评：本题以《欢乐颂》在五线谱中的音符为背景考查三角函数的图象和性质，考查考生的数形结合思想和运算求解能力.

例6 (2021·潍坊市模拟题)音乐是用组织音构成的听觉意象，是用来表达人们的思想感情与社会现实生活的一种艺术形式.1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如y=Asinωx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中最小频率的整数倍.比如如图5所示的某音叉的声音函数是图象分别为如图6，图7，图8所示的三个函数的和，则该音叉的声音函数可以为( ).

图5

图6

图7

图8

A.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin1500πt+0.01sin3000πt

B.f(t)=0.06sin500πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt

C.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt

D.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin2500πt+0.01sin3000πt

点评：本题考查复合音模型函数的图象和性质，紧扣数学家傅里叶的发现并结合排除法即可顺利求解.

三、音乐+排列组合

例7 (2021·深圳市质检题)中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排战一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成这样的不同音序的种数为( ).

A.120 B.90 C.80 D.60

点评：本题以音乐学科中的“音阶”为载体考查排列组合应用问题，破解此类题的关键：一是有限制条件的元素需优先考虑，如本题，需对限制条件“宫、羽两音阶在角音阶的同侧”优先考虑，分类的“度”就很明确，只需对“角音阶”的位置进行分类；二是会利用排列组合的应用情况进行求解，有序用排列，无序用组合.

四、音乐+概率

例8 (2021·襄阳市模拟题)琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编种一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为( ).

点评：本题以中国民族乐器为背景，考查计数原理和古典概型的概率求解公式，考查逻辑思维能力、运算求解能力，体现了理性思维、数学应用、数学文化等学科素养.

例9 (2021·镇江市模拟题)中国古典乐器一般按“八音”分类.“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春宫》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音.其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为( ).