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数论函数方程mφ(n)=φ2(n)+S(n10)的解

2022-05-06

江西科学 2022年2期
关键词:数论正整数情形

郑 惠

(阿坝师范学院数学学院,623000,四川,汶川)

0 引言

本文将讨论在L=10时,当M=N=1,数论函数方程

mφ(n)=φ2(n)+S(n10)

(1)

的可解性,并利用初等方法给出了方程的全部正整数解。

1 主要引理

引理2[2]:当n≥3时,有φ2(n)=φ(n)/2。

引理3[2]:当n≥3时,有φ(n)为偶数。

引理4[17]:对于素数p和正整数k,有S(pk)≤kp;特别地,当k

2 定理及证明

定理1:方程(1)只有在m=1、2、4、6、8、11、13时有正整数解,且1)当m=1时,方程(1)有正整数解n=1、320、441、882、1 681、3 362;2)当m=2时,方程(1)有正整数解n=81、147、162、196、294;3)当m=4时,方程(1)有正整数解n=27、54;4)当m=6时,方程(1)有正整数解n=16、33、44、66;5)当m=8时,方程(1)有正整数解n=9、18;6)当m=11时,方程(1)有正整数解n=7、14;7)当m=13时,方程(1)有正整数解n=2。

(2m-1)qα-1(q-1)φ(n1)=2S(n10)=2S(q10α)

(2)

下面根据q的不同取值情况,对方程(2)进行分类讨论。

情形1:当q=2时。

若α=4,由式(2)有8(2m-1)φ(n1)=2S(240)=88。根据引理3有2m-1=11且φ(n1)=1,则m=6,n1=1,2,所以n=16、32。经过检验n=16是方程(1)的解。

若α=6,由式(2)有32(2m-1)φ(n1)=2S(260)=128。根据引理3有2m-1=1且φ(n1)=4,则m=1,n1=5,所以n=320。经过检验n=320是方程(1)的解。

若α=9,由式(2)有256(2m-1)φ(n1)=2S(290)=192,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

若α≥10,由式(2)与引理4有2α-1(2m-1)φ(n1)=2S(210α)≤40α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)只有2个解。即:仅当m=6时,n=16;仅当m=1时,n=320。

情形2:当q=3时。

若α=2,由式(2)有6(2m-1)φ(n1)=2S(320)=90。根据引理3有2m-1=15且φ(n1)=1,则m=8,n1=1、2,所以n=9、18。经过检验n=9、18是方程(1)的解。

若α=3,由式(2)有18(2m-1)φ(n1)=2S(330)=126。根据引理3有2m-1=7且φ(n1)=1,则m=4,n1=1、2,所以n=27、54。经过检验n=27、54是方程(1)的解。

若α=4,由式(2)有54(2m-1)φ(n1)=2S(340)=162。根据引理3有2m-1=3且φ(n1)=1,则m=2,n1=1、2,所以n=81、162。经过检验n=81、162是方程(1)的解。

若α≥6,由式(2)与引理4有3α-1(2m-1)φ(n1)=S(310α)≤30α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)只有6个解。即:仅当m=8时,n=9、18;仅当m=4时,n=27、54;仅当m=2时,n=81、162。

情形3:当q=5时。

若α≥4,由式(2)与引理4有4·5α-1(2m-1)φ(n1)=2S(510α)≤100α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)无解。

情形4:当q=7时。

若α=1,由式(2)有6(2m-1)φ(n1)=2S(710)=126。根据引理3有2m-1=21且φ(n1)=1,则m=11,n1=1、2,所以n=7、14。经过检验n=7、14都是方程(1)的解。

若α=2,由式(2)有42(2m-1)φ(n1)=2S(720)=252。根据引理3有2m-1=1且φ(n1)=6,或2m-1=3且φ(n1)=2,则m=1,n1=9、18;或m=2,n1=3、4、6。所以m=1,n=441、882;或m=2,n=147、196、294。经过检验n=147、196、294、441、882都是方程(1)的解。

若α≥4,由式(2)与引理4有6·7α-1(2m-1)φ(n1)=2S(710α)≤140α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)只有7个解。即:仅当m=11时,n=7、14;仅当m=1时,n=441、882;仅当m=2时,n=147、196、294。

情形5:当q=11时。

若α=1,由式(2)有10(2m-1)φ(n1)=2S(1110)=220。根据引理3有2m-1=1且φ(n1)=22,或2m-1=11且φ(n1)=2,则m=1,n1=23、46;或m=6,n1=3、4、6。由于S(1110)

若α≥3,由式(2)有6·11α-1(2m-1)φ(n1)=2S(1110α)≤220α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)只有3个解。即:仅当m=6时,n=33、44、66。

情形6:当q=13、17、19、23、29、31、37时。

当q=13,α≥3时,由式(2)与引理2有12·13α-1(2m-1)φ(n1)=2S(1310α)≤2·13·10α,即12·13α-2(2m-1)φ(n1)≤20α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)无解。

同理可证当q=17、19、23、29、31、37时,方程(1)无解。

情形7:当q=41时。

若α=2,由式(2)有40·41(2m-1)φ(n1)=2S(4120)=1 640。根据引理3有2m-1=1且φ(n1)=1,则m=1,n1=1、2,所以n=1 681、3 362。经过检验n=1 681、3 362是方程(1)的解。

若α≥3,由式(2)与引理4有40·41α-1(2m-1)φ(n1)=2S(4110α)≤820α,即2·41α-2(2m-1)φ(n1)≤α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)只有2个解。即:仅当m=1时,n=1 681、3 362。

情形8:当q≥43时。

若α=1,由式(2)有(q-1)(2m-1)φ(n1)=2S(q10)=20q,即[(2m-1)φ(n1)-20](q-1)=20,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

若α≥2,由式(2)与引理4有(2m-1)(q-1)qα-1φ(n1)=2S(q10α)≤20αq,即(2m-1)(q-1)qα-2φ(n1)≤20α,这是不可能的,故此时方程(1)无解。

综上所述,在该种情形下方程(1)无解。

综合以上8种情形的讨论可得定理1的结论。

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