刘煜琦， 刘凯军， 程昆， 王焱， 郑显明， 周静宜

南方科技大学地球与空间科学系， 深圳 518055

0 引言

无碰撞激波是空间中常见的等离子体物理现象，被认为是空间中高能粒子加速的重要机制(Lembege and Simonet, 2001; Balogh and Treumann, 2013; Burgess and Scholer, 2015; Qu et al., 2021).无碰撞激波对带电粒子的加速是一个多尺度的过程.在大尺度上，粒子被远上游和远下游的波动散射可以多次穿越激波面，从而在激波上下游散射源的速度差中获得能量，这种机制被称为激波扩散加速(Diffusive Shock Acceleration)(Axford, 1981; Bell, 1978a,b; Blandford and Ostriker, 1978).扩散加速的发生要求粒子本身的能量大于一定阈值，这被称为“入射问题”(Kucharek and Scholer, 1995; Zank et al., 2001; Scholer et al., 2002).在微观尺度上，粒子在通过激波面时，会被激波面附近的电场和磁场结构改变轨迹，可以被等离子体中的运动电场(E=-U×B,其中U和B分别为等离子体的流速和背景磁场所)加速，这种被激波内部的微观电场和磁场结构影响而加速的机制往往扮演为扩散激波加速提供预加速的角色，被称为预加速机制.

无碰撞激波的性质和激波角(上游背景磁场方向和激波面法向量方向之间的夹角，θBn)、Alfvén马赫数(在上游等离子体参考系下，激波传播速度与上游阿尔芬速度的比值)及上游等离子体温度等紧密相关(Zhou and Smith, 2015).根据激波角可以将激波分为五类，分别为垂直激波(Perpendicular Shock，θBn=90°)、准垂直激波(Quasi-perpendicular Shock，45°<θBn<90°)、斜激波(Oblique Shock，θBn=45°)、准平行激波(Quasi-parallel Shock，0°<θBn<45°)和平行激波(Parallel Shock，θBn=0°).

本研究关注垂直激波.在垂直激波中，常见的预加速机制是激波漂移加速(Shock Drift Acceleration, SDA)和激波冲浪加速(Shock Surfing Acceleration, SSA)(Hudson and Kahn, 1965; Lee et al., 1996; Lever et al., 2001; Shapiro and Üçer, 2003).激波漂移加速是指粒子穿越激波面时由于磁场梯度的影响而沿运动电场的方向漂移一段距离，从而被运动电场加速；激波冲浪加速是指激波面附近存在一个沿着激波法向量方向的电势，被称为激波横越电势(Cross Shock Potential)，部分粒子可以被该电势反射回上游，然后在上游的电场和磁场作用下再次回到激波面，这个过程中粒子会沿着激波面移动一定的距离，并被运动电场加速.激波漂移加速的效率主要取决于激波本身的磁场压缩比，但是磁场过冲(激波面内磁场强度远高于下游平均磁场的尖峰结构)和磁足(激波面前磁场强度高于上游平均磁场但是远低于下游平均磁场的结构)的存在也会对加速产生一定的影响，这是由于磁场过冲和磁足的演化会影响激波面附近的磁场梯度大小(Lee et al, 2005).与激波漂移加速不同，激波冲浪加速主要与激波横越电势的强弱有关.

本文利用测试粒子模拟的方法探究垂直激波中的离子加速问题，我们首先研究在较为简单的理想激波条件下，离子通过激波结构后的能量增益与其初始参数(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的关系；然后利用自洽的一维混合模拟给出的更接近真实的激波结构计算不同参数的离子获得的加速，并通过与理想激波条件下的结果相对比，评估激波内部的电场和磁场微观结构对离子能量增益的影响.本文的第1节介绍研究使用的模拟方法及模拟参数，第2节讨论离子通过理想激波结构获得的能量和离子初始参数之间的关系，第3节讨论了利用混合模拟得到的自洽激波电场和磁场结构下离子的加速以及激波横越电势和磁过冲的强弱对离子加速的影响，最后一节给出了结论和进一步的讨论.

1 模拟方法及模拟参数

本文使用测试粒子模拟的方法研究离子在通过垂直激波时的能量增益.测试粒子模拟是研究粒子加速中常用的方法,该方法利用数值计算求解粒子在给定的电场和磁场中的运动方程，仅关注场对粒子的作用而忽略粒子运动对场的影响.本文使用四阶龙格-库塔法来求解离子的运动方程(1)：

(1)

这里v,q,m分别是离子的速度、电荷和质量，t是时间，而E和B分别代表离子位置的电场和磁场.模拟区域在空间上被划分为800个网格，在给定了网格点上的电场和磁场的情况下，离子在某个位置的电场和磁场通过线性插值的方法获得，然后被代入运动方程求解下一个时刻离子的位置和速度.

虽然测试粒子模拟方法并非完全自洽，但该方法只需要求解粒子的运动方程而无需求解相对复杂的电磁场和磁流体力学方程，允许我们追踪每一个粒子的速度和位置的变化，便于探究粒子的运动学参数与其在通过激波时获得的能量增益之间的关系.相较于自洽模拟，测试粒子模拟还可以更方便地改变激波的电场和磁场结构，从而更好地区分不同的激波结构对于离子能量增益的影响.

为了便于表述和分析，在本文的模拟中所有的物理量都做了无量纲化处理.其中，磁场和电场的单位分别是激波上游背景磁场B0和B0VA，测试粒子模拟中时间步长ΔtΩci=10-4，模拟区域的长度为400λi.这里VA是上游的Alfvén速度，Ωci为质子回旋频率，λi(=VA/Ωci)为质子惯性长度.模拟在激波静止坐标系下进行，在该坐标系下，激波面被固定在x=300λi，上下游等离子体流体速度沿x轴方向，上游背景磁场方向沿y轴方向.测试粒子模拟中使用的激波磁场和电场首先使用从R-H关系(Rankine-Hugoniot Relations)导出的简单的理想激波结构，然后利用由自洽的一维混合模拟得到的更接近真实的激波结构.

R-H关系通过磁流体力学方程和物质、能量及动量的守恒关系给出了激波上下游的磁场、磁流体速度、温度、密度、压强等宏观物理量的压缩比与激波角、上游Alfvén马赫数和等离子体β(等离子体热压和磁压之比)之间的关系.通过R-H关系，给定激波上游磁场的强度和方向、上游马赫数以及上游的等离子体β就可以得到激波电场和磁场结构.图1a—1c(第一列)展示了本研究中使用的当上游Alfvén马赫数MA=7.42、激波角θBn=90°和上游等离子体β=0.05时R-H关系给出的激波的磁场和电场结构(从上到下分别是磁场的y分量、电场x分量和电场的z分量；电场和磁场的其余分量均为0，所以没有展示).利用R-H关系给出的这一简单的理想激波结构，我们将探索离子通过激波后的能量增益与其初始参数(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的关系.值得注意的是，R-H关系不能给出激波面附近的精细结构，得到的激波结构的激波面厚度为0，也不存在磁过冲和激波横越电势等结构.

为了进一步研究离子通过真实的激波结构获得的能量增益，我们利用自洽的一维混合模拟来获得更接近真实的激波磁场和电场结构.混合模拟是一种常用的自洽等离子体模拟技术，该方法将等离子体中的电子作为磁流体而离子作为粒子处理，适合用于研究离子特征尺度的等离子体物理过程(Winske and Omidi, 1993).而激波的演化主要发生在离子特征尺度，因此使用混合模拟技术生成激波的电场、磁场结构是十分合适的.本文中的一维混合模拟的空间演化沿着x方向，模拟区域的长度为400λi，网格长度为0.5λi，时间步长ΔtΩci=10-2，总模拟时间为tΩci=150.混合模拟中激波角、上游Alfvén马赫数和等离子体β的取值和上述R-H关系给出的激波结构保持一致，而模拟所获得的激波电场和磁场结构也展示于图1d—1o(第二到五列)中，以与R-H关系给出的结果对比.由于R-H关系忽略了离子的动理学效应，R-H关系导出的激波的压缩比和由混合模拟得到的激波压缩比稍有差异，但是十分接近，前者为ηRH=3.46，后者约为ηHS=3.54.

由于无论是R-H关系还是一维混合模拟给出的激波磁场和电场的其他分量都恒为0，图1仅仅展示了激波磁场的y分量(第一行)、电场的x分量(第二行)和z分量(第三行).同时，考虑到激波远上游和远下游的电场和磁场变化较小，图1仅展示了接近激波面的部分以更清晰地显示激波面附近的电场和磁场结构.其中，图1m、1n和1o(第五列)是由一维混合模拟生成的随时间变化的激波的电场和磁场结构，横轴为x方向，纵轴为时间t(图中仅展示了tΩci=40～50的电场和磁场)，而颜色代表磁场和电场的强度.需要说明的是，激波的混合模拟本身是在激波下游等离子体的参考系中进行的，相关结果已经被转换到了本研究中测试粒子模拟所采用的激波静止参考系，激波面的位置(激波面位置被定义为磁场强度从上游到下游增长为上游平均磁场强度和下游平均磁场强度的平均值的位置)固定在x=300λi处.从图1m—1o可以看到激波面附近的磁场和电场强度发生准周期性的改变，这种现场被称为激波重构(Hellinger et al., 2002; Lobzin et al., 2007; Mazelle et al., 2010; Shinohara et al., 2011).

图1 测试粒子模拟中使用的激波结构 图中第1行给出了磁场的y分量，第2行和第3行分别给出了电场的x和z分量.另外，第1列的激波结构由R-H关系得到，而第2至第5列是由自洽一维混合模拟得到的激波结构：第2列到第4列给出了模拟中三个不同时刻的结果，最后一列展示了模拟中激波结构随时间 的连续变化(纵轴为模拟时间).Fig.1 Shock profiles used in our test particle simulations From top to bottom, the panels in the three rows display the y-component of the magnetic field, the x-component and z-component of the electric field, respectively. The panels in the first column are for an ideal shock profile given by the Rankine-Hugoniot relations. The second to fourth columns present the shock profiles at three different simulation times produced by a self-consistent one-dimensional hybrid shock simulation. Finally, the last column shows the evolution of the simulated shock profile during tΩci=40～50.

与此对应，图1d—1l(第二到四列)展示了混合模拟给出的在一个激波重构周期内三个不同时刻的激波结构.这三个时刻分别是激波磁过冲最强的时刻(tΩci=41.7，图1d—1f)，激波横越电势(在本研究中激波横越电势的强度通过对激波面内部电场x分量小于0的部分积分获得)最强的时刻(tΩci=42.6，图1j—1l)和激波横越电势最弱的时刻(tΩci=42.1，图1g—1i).相应的具体数值如表1所示.此外，在tΩci=41.7时，不但激波磁过冲的强度最大，激波面的厚度较窄(激波面的厚度定义为磁足的起始点到磁场最大值之间的距离)，同时x方向的电场也最强，这与Yang等(2009a)通过全粒子模拟获得的激波结构特征一致.由于在x方向电场作用下离子能否反射除了和电场强度相关外，还与作用的时间/距离相关，因此在本文讨论中我们更关注激波横越电势.

表1 同一重构周期内三个不同时刻的激波横越电势和 磁场过冲强度Table 1 Values of shock crossing potential and magnetic overshoot at three different simulation times in a shock reformation cycle

2 理想激波结构下的测试粒子模拟

2.1 能量增益与离子初始回旋相位角的关系

图2 不同上游平均动能(Eku)的离子在理想激波结构作用下的能量增益和离子初始回旋相位角的关系Fig.2 Energy gain from the ideal R-H relation shock profile as a function of ion initial gyro-phase angle for ions of various initial average upstream kinetic energies (Eku)

2.2 能量增益与离子初始位置的关系

图4展示了不同上游平均能量的离子的能量增益随着其初始位置的变化.在某一上游平均能量，我们在100λi

图3 直接穿越离子的轨迹(a)及其能量的变化(c)和SDA离子的轨迹(b)及其能量的变化(d)Fig.3 The trajectories (a,b) and kinetic energy (c,d) of a directly transmitted ion (a,c) and an SDA ion (b,d)

2.3 能量增益与离子上游平均动能的关系

3 激波面内部结构对离子能量增益的影响

3.1 静态激波结构下的模拟

在对理想激波结构下离子的能量增益与其初始参数的关系有了了解之后，我们研究在混合模拟给出的接近真实的激波电场和磁场结构作用之下的离子能量变化.我们在本小节首先选取图1d—1l(第二到四列)所示的在一个激波的重构周期中三个不同时刻的电场和磁场结构开展研究.图5中的红色、黄色、紫色三条实线展示了在三个不同时刻的不同静态激波结构作用下，离子能量增益和其上游平均动能的关系(与理想激波结构下的做法类似，离子的能量增益已经对初始回旋相位角和位置分别在一个周期和五个周期内做了平均).

图5 不同的激波结构下离子的能量增益(对初始回旋相位角和初始位置分别在一个和五个周期内取平均) 与其上游平均动能的关系Fig.5 Ion energy gain (averaged over initial gyro-phase angle and position) as a function of average upstream ion kinetic energy under various shock profiles as labelled

与理想激波结构下的结果(黑线)类似，离子通过混合模拟得到的激波电场和磁场结构的能量增益大体上仍然随离子的上游平均动能增加而增加.而且随着离子上游平均动能的提升，不同激波结构作用下的离子能量增益趋于一致.这是因为当离子能量比较高时，离子的回旋半径显著大于激波横越电势和磁场过冲的空间尺度，这些微观结构对于离子的能量增益的影响变得可以忽略.而当离子上游平均能量相对较低时，混合模拟给出的三个时刻不同的激波结构导致的离子能量增益都显著强于理想激波结构下的结果.这说明激波横越电势和激波磁场过冲等微观结构在离子的上游平均能量较低时，能有效促进离子的能量增益.对比三个时刻的混合模拟激波结构下的结果，tΩci=41.7和tΩci=42.1时刻的磁场过冲较强，离子的能量增益也更强；tΩci=42.6时刻的激波横越电势最强，不过离子的能量增益最弱.这说明离子能量增益主要受到激波磁场过冲的影响.

3.2 时变激波结构下的模拟

图6 (a)在一个激波重构周期中不同时刻的混合模拟激波结构作用下三个上游平均动能离子的能量增益及 相对应的(b)激波磁场过冲强度和横越电势强度Fig.6 (a) Energy gain of ions at three different average upstream kinetic energies under the hybrid simulation-produced shock profiles at different times over a shock reformation period. (b) The corresponding magnetic shock overshoot strength and the cross-shock potential amplitude

3.3 双极电场结构对离子加速的影响

图7 (a) 混合模拟给出的时变激波结构下一个离子的轨迹(黑线)和其在消除激波结构的横越电势后(Ex置零)的轨迹(红线)对比； (b) 两种情形下离子到达激波面时刻磁场y分量的剖面对比； (c) 两种情形下离子到达激波面时刻电场x分量 的剖面对比Fig.7 (a) The comparison of typical ion trajectories under the time-varying shock profile and after zeroing Ex in the time-varying shock profile; (b) The profiles of the y component of the magnetic field when the ion crosses the shock front in the two cases; (c) The profiles of the x component of the electric field when the ion crosses the shock front in the two cases

4 结论

本文使用R-H关系推导出的理想激波结构和自洽的一维混合模拟得到的激波结构进行测试粒子模拟，研究垂直激波的电场和磁场结构对离子能量增益的影响.得出以下结论：

(1)离子的能量增益随着离子上游平均动能的上升而增加.

(2)在理想激波结构中，离子的初始位置和初始回旋相位角对于能量增益的影响都是周期性的.当离子能量较低时，能量增益和初始回旋相位角的关系满足正弦关系；随着离子上游平均动能的升高，将会有部分离子获得明显激波漂移加速从而导致能量增益和初始回旋相位角之间的关系偏离正弦.

(3)当离子能量较大时，激波面内部的小尺度电场和磁场结构对离子的能量增益的影响基本可以忽略.而当离子能量较低时(离子回旋半径小于激波面厚度或者相当)，激波面内部的电场和磁场结构会对离子的能量增益产生促进作用.

(4)离子能量增益主要受到激波磁场过冲强度的控制.当激波的磁过冲较强时离子的能量增益更强，而激波横越电势更强时，能量增益则不一定更强.

(5)在离子加速的过程中，激波面处的电场和磁场结构共同影响离子的能量增益.激波磁过冲和横越电势对离子能量增益的贡献有互相抵消的效应，例如激波法向电场的双极结构对于离子的激波漂移加速机制有抑制作用.当然，更多时候激波横越电势和磁场结构对于离子加速的影响耦合在一起，是无法简单区分的.