混凝土内硫酸根离子传输过程的元胞自动机模型

2022-04-26马俊军蔺鹏臻刘应龙何志刚颜维毅

兰州交通大学学报 2022年2期

马俊军，蔺鹏臻*，刘应龙，何志刚，颜维毅

(1. 兰州交通大学土木工程学院，兰州 730070；2. 兰州交通大学建筑与城市规划学院，兰州 730070)

对于硫酸盐侵蚀环境下的混凝土结构而言，硫酸根离子侵蚀是导致混凝土结构发生耐久性失效的主要原因[1-3].因此，准确模拟硫酸根离子在混凝土中的传输路径和分布规律，对硫酸盐侵蚀环境下混凝土结构耐久性分析与设计具有重要的意义[4].

目前，国内外学者对硫酸盐腐蚀环境下混凝土内硫酸根离子扩散效应进行了大量研究，并取得了很多研究成果.文献[5]在Fick第二定律的基础上，考虑时间对硫酸根离子扩散效应的影响，建立了混凝土内硫酸根离子扩散方程.Marchand等[6]根据质量守恒定律和各侵蚀产物之间的化学平衡关系，利用 Nernst-Planck方程建立了用于分析混凝土内硫酸根离子扩散作用的数学模型，并利用模型对各计算参数的影响进行了讨论.赵顺波等[7]通过Fick第二定律，考虑混凝土浸泡龄期对硫酸根离子扩散效应的影响，建立了用于预测混凝土内硫酸根离子浓度的新模型.文献[8-9]考虑荷载作用对混凝土内硫酸根离子扩散作用的影响，利用Fick第二定律和化学动力学理论，建立了荷载与环境耦合作用下混凝土内硫酸根离子非稳态扩散反应微分方程.文献[10]考虑骨料曲折性对硫酸根离子扩散效应的影响，建立了混凝土中硫酸根离子扩散的多因素模型.虽然上述研究者考虑不同的影响因素，各自建立了相应的硫酸根离子传输模型，但模型往往含有高阶微分方程，求解困难，限制了模型在工程中的应用范围.

近年来，元胞自动机作为一种新的数值计算方法，已在混凝土结构耐久性分析方面得到了广泛应用[11-14].但主要集中在对混凝土中氯离子扩散扩散过程的模拟与分析[15-17]，对于硫酸根离子在混凝土内侵蚀过程的研究还相对较少.为此，本文利用元胞自动机原理，根据硫酸根离子在混凝土中的扩散特点和混凝土损伤演变规律，建立了用于模拟硫酸根离子在混凝土中扩散和劣化的元胞自动机模型，并利用混凝土硫酸盐侵蚀试验对模型的准确性进行了验证.

1 元胞自动机概述

元胞自动机(cellular automata，CA)是一种数值计算方法.通过引入离散的坐标、变量以及时间步长，由于不需要求解复杂的高阶偏微分方程就能实现线性和非线性流动问题，因此，用元胞自动机来求解硫酸根离子在混凝土中的扩散问题最为合适.一个完整的元胞自动机模型主要由元胞、元胞空间、元胞状态、进化规则等构成[14].其中，元胞自动机局部进化规则可以描述为

S(x0,t)=f[S(x0,t),…,S(xi,t),…,S(xn,t)].

(1)

式中：S为元胞的元胞状态；f为状态转移函数，主要由中心元胞及周围领域元胞的状态共同决定.因此，在指定元胞自动机进化规则之前，必须定义一定的邻域类型.在二维元胞领域类型中，常采用如图1所示的Von Neuman型元胞邻域类型[15].

图1 Von Neumen型元胞邻域类型Fig.1 The type of Von Neumen type cellular neighborhood

2 硫酸根离子传输过程的元胞自动机模型

2.1 扩散方程

根据质量守恒定律，硫酸根离子在混凝土中的传输过程可以用Fick第二定律来描述，其表达式为

(2)

式中：C=C(x,t)为在t时刻，位于点x=(x,y)处的硫酸根离子浓度，kg/m3；d=d(x,t)为在t时刻，位于点x=(x,y)处的硫酸根离子扩散系数，m2/s；t为侵蚀时间，s.

假定硫酸根离子扩散系数d(x,t)为常数D的情况下，方程(2)可简化为

(3)

简化后硫酸根离子传输方程解析解只适用于求解少数具有简单、经典边界的硫酸根离子扩散问题.而无法对于复杂边界条件的硫酸根离子扩散问题进行求解.因此，本文尝试采用一种特殊的数值计算方法(元胞自动机)来求解硫酸根离子在混凝土中的扩散问题.

2.2 硫酸根离子扩散方程的元胞自动机解答

根据质量守恒定律，t+Δt时刻元胞(x,y)中硫酸根离子含量M(x,t+Δt)与t时刻元胞(x,y)中硫酸根离子含量M(x,t)之间的关系可用公式(4)来表示.

(4)

式中：Δt为时间步长，s；Ji,out为从t时刻到t+Δt时刻，沿i方向从元胞(x,y)流出的硫酸根离子扩散通量；Ji,in为从t时刻到t+Δt时刻，沿i方向从元胞(x,y)流入的硫酸根离子扩散通量，方向如图2所示.

图2 元胞(x,y)各表面硫酸根离子扩散通量示意图Fig.2 Schematic diagram of sulfate ion diffusion flux on each surface of cell (x,y)

根据Fick第一定律，在单位时间内通过垂直于扩散方向的硫酸根离子扩散通量与该截面处的硫酸根离子浓度成正比，即：

(5)

式中：D为硫酸根离子扩散系数，m2/s；C(x,t)为在t时刻，位于点x=(x,y)处的硫酸根离子浓度，kg/m3；Li为两相邻元胞之间的中心距离，m.

利用元胞自动机进行硫酸根离子模拟时所涉及的元胞组合如图3所示.

结合式(5)，式(4)可简化为

(6)

根据扩散定律，在元胞面积不变的情况下，元胞内硫酸根离子含量与浓度成正比，即:

M(x,t)=C(x,t)Ai,

(7)

式中：Ai为元胞面积，m.

结合式(6)和(7)，可得：

(8)

在采用正方形元胞的情况下，根据式(8)可得硫酸根离子在混凝土扩散时的元胞自动机动力学方程为

(9)

式中：φa为t时刻，中心元胞C(x,t)对t+Δt时刻中心元胞C(x,t)硫酸根离子扩散的进化系数；φb为t时刻，邻域元胞C(xi,t)对t+Δt时刻中心元胞C(x,t)硫酸根离子扩散的进化系数，其与硫酸根离子扩散系数的关系如式(10)所示.

(10)

从式(10)可知：在硫酸根离子扩散系数已知的情况下，进化系数不仅与时间步长Δt有关，还随元胞尺寸δ的变化而变化.因此，为保证计算精度和效率，必须合理选择时间步长与网格尺寸的大小.

图3 元胞组合示意图Fig.3 Schematic diagram of cell combination

2.3 硫酸根离子扩散系数的确定

根据CA模型的定义，在利用元胞自动机求解混凝土内硫酸根离子浓度之前，需先确定进化系数φa和φb.Biondini等[14]认为进化系数φa和φb分别取0.5和0.125，可使模型具有较高的精度.然而，对于实际混凝土结构，由于混凝土内水泥水化作用的进行以及结构孔隙和微裂缝的发展，导致混凝土内硫酸根离子扩散系数不是一个常量，而是一个随时间和孔隙率变化的变量，其随侵蚀时间和结构孔隙率的变化关系可以用公式(11)来表示[7-8]：

(11)

式中：Deff(t)为在t时刻，混凝土内硫酸根离子的有效扩散系数，m2/s；k为被吸收的硫酸根离子对扩散系数的影响系数；t0为硫酸根离子开始扩散时间，s；m为时间依赖性参数；D0为溶液中硫酸根离子的扩散系数，m2/s；P(t)为在t时刻，混凝土的孔隙率，可表示为

(12)

式中：fc为混凝土内水泥的体积分数，%；w/c为材料水灰比；hc为水泥水化程度，根据文献[9]的研究结果，水泥水化程度随时间的变化关系可用式(13)所示的非线性函数来表示.

hc=1-0.5[(1+1.67t)-0.6+(1+0.29)-0.48].

(13)

式中：t为水泥水化时间，d.

2.4 混凝土损伤函数的确定

随着侵蚀时间的推移，硫酸根离子逐渐从混凝土表面向内扩散，并与混凝土组成成分发生化学反应，生成膨胀性产物，导致混凝土基体内裂缝的萌生，引起混凝土的损伤，从而加速硫酸根离子在混凝土内的扩散，同时也会造成混凝土结构力学性能的退化，使结构无法满足结构原设计要求.

根据Biondini等[14]的研究，混凝土损伤(硫酸根离子侵蚀损伤)对结构力学性能的影响可通过混凝土基体有效面积的退化来表征.若令混凝土未损伤和达到完全损伤时的损伤度分别为0和1，则损伤后混凝土基体有效面积与损伤度之间的关系可用式(14)来表示.

Ace(x,t)=(1-β(x,t))Ac0(x,t0).

(14)

式中：Ace(x,t)为在t时刻，位于点x=(x,y)处的元胞内混凝土基体的有效面积，m2；Ac0(x,t0)为初始t0时刻，位于点x=(x,y)处的元胞内混凝土基体的初始面积，m2；β(x,t)为在t时刻，位于点x=(x,y)处混凝土损伤程度，其与混凝土内硫酸根离子浓度之间的关系为[18]

(15)

式中：tu为混凝土完全损伤时所需的最少时间，s；qc为混凝土损伤速率.

利用式(9)所示的局部进化规则，结合式(10)所示的进化系数φa和φb、式(11)所示的有效硫酸根离子扩散系数以及式(15)所示的损伤度计算公式，建立了模拟混凝土内硫酸根离子传输过程和损伤演变的元胞自动机模型，简称CA模型.

3 模型求解步骤

根据上述理论公式的推导，利用MATLAB软件编写了模型的计算程序，相应的流程图如图4所示.

图4 流程图Fig.4 Flow chart

4 模型验证

4.1 硫酸根离子浓度

为对上述提出的元胞自动机模型的准确性进行验证，利用CA模型对文献[7]中的硫酸根离子侵蚀过程进行了模拟，并将CA模型的预测值与试验值和Fick第二定律(FSL)的计算值进行了比较.混凝土试件尺寸和硫酸根离子扩散方向如图5所示.混凝土强度等级为C50，材料配比为∶水泥∶砂∶石∶水=1∶1.29∶2.63∶0.44.模拟时只保留顶面作为扩散面，其余5个面用环氧树脂密封.因此，硫酸根离子在混凝土中的扩散过程可用平面元胞自动机来模拟.

图5 混凝土试件尺寸和硫酸根离子扩散方向示意图 (单位：mm)Fig.5 Schematic diagram of concrete specimen size and sulfate ion diffusion direction (unit：mm)

利用CA方法对两种不同侵蚀环境下混凝土内硫酸根离子扩散过程模拟时，元胞自动机网格取δ=0.2 mm；时间步长Δt=0.5 d；硫酸根离子浓度影响系数取k=0.95；初始硫酸根离子浓度取C0=0.78%；其余参数如表1所列.不同侵蚀时间下CA模型预测结果与试验实测结果和FSL计算结果的比较，结果如图6所示.

表1 模型计算参数取值表

图6 模型预测结果与试验结果及FSL计算结果的比较Fig.6 Comparison of model prediction results with test results and FSL calculation results

从图6中的试验结果和CA模型模拟结果可知，硫酸根离子浓度随侵蚀深度的增加而减小，硫酸根离子浓度随深度的变化大致可以分为两个阶段，分别为距离混凝土表面5 mm范围内的快速减小阶段(Ⅰ阶段)和大于5 mm范围内的稳定阶段(Ⅱ阶段).在Ⅰ阶段，硫酸根离子浓度减小速率最快，从混凝土表面侵蚀进入混凝土内的硫酸根离子浓度基本都分布在该阶段.在Ⅱ阶段，硫酸根离子浓度基本保持不变，等于混凝土初始硫酸根离子浓度.可见，硫酸根离子腐蚀环境下，距混凝土表面5 mm范围内硫酸根离子侵蚀最为严重.因此，对于耐久性要求较高的工程，除采用防侵蚀性能好的混凝土外，还可通过适当增加保护层厚度(d>5 mm)的方式来减小硫酸根离子对结构的侵蚀破坏.

此外，由图6还可知，按CA方法预测的混凝土截面内硫酸根离子浓度比按FSL方法计算的浓度在数值和变化规律上更接近试验结果，说明元胞自动机可以用来模拟硫酸根离子在混凝土中的扩散过程，且精度较高.造成上述偏差的主要原因是在利用FSL方法计算混凝土内硫酸根离子浓度时高估了硫酸根离子在混凝土内的扩散效应，直接采用了孔隙溶液中硫酸根离子扩散系数D0，而没有考虑侵蚀时间和结构孔隙率对其变化的影响.

利用模型给出了混凝土在溶液A和B中浸泡180 d、270 d和360 d后截面(Ⅰ-Ⅰ截面)内硫酸根离子浓度的分布情况，结果如图7～8所示.

由图7和图8可知，随着侵蚀时间的增加，硫酸根离子逐渐从混凝土表面向内扩散，且表面硫酸根离子浓度越大，硫酸根离子扩散到混凝土内部的速率越快；时间越长，混凝土截面内硫酸根离子浓度越大.

图7 溶液A中混凝土截面内硫酸根离子浓度分布结果Fig.7 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution A

图8 溶液B中混凝土截面内硫酸根离子浓度分布结果Fig.8 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution B

4.2 混凝土损伤度

当硫酸根离子扩散进入混凝土内部后，会与混凝土组成成分发生化学反应，生成钙矾石等膨胀性产物，导致混凝土基体的开裂和剥落，引起混凝土损伤.为便于描述硫酸盐侵蚀环境下混凝土损伤发展规律，利用CA模型对上述硫酸盐浸泡环境下混凝土损伤历程进行了模拟，并给出了混凝土损伤度随深度的变化规律，结果如图9所示.

图9 混凝土损伤度随侵蚀深度的变化Fig.9 Variation of concrete damage degree with erosion depth

由图9可知，随着侵蚀时间的增加，混凝土损伤层厚度逐渐增加.在同一侵蚀时间下，混凝土损伤度沿侵蚀深度的变化可分为三个阶段，分别为完全损伤阶段(Ⅰ阶段)、损伤阶段(Ⅱ阶段)和未损伤阶段(Ⅲ阶段).在Ⅰ阶段，混凝土损伤度等于1，表示混凝土已完全发生损伤.在Ⅱ阶段，混凝土损伤度介于0到1之间，表示该部位混凝土发生了部分损伤，且随着侵蚀深度的增加，混凝土损伤度逐渐减小.在Ⅲ阶段，混凝土损伤度等于0，表示混凝土未发生损伤.

根据CA模型获得的硫酸盐侵蚀环境下混凝土损伤演变过程如图10所示.介于篇幅，图10仅显示了溶液B中混凝土损伤程度随侵蚀时间的变化，但对于溶液A中混凝土的损伤演变规律也同样适用.

由图10可知，随着侵蚀时间的增加，混凝土损伤层厚度逐渐增大.由于全截面采用了相同的损伤速率，所以混凝土损伤度沿宽度方向(x方向)保持不变，仅在深度方向(y方向)发生变化，这与图8所示的混凝土内硫酸根离子扩散规律一致.