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二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用

2022-04-25李鸿昌

数理化解题研究·高中版 2022年3期
关键词:圆锥曲线

摘要:常规方法处理圆锥曲线中的四点共圆问题,运算量比较大,若能巧妙运用二次曲线系来处理,可大大简化运算.

关键词:圆锥曲线;四点共圆;二次曲线系

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0092-03

收稿日期:2021-12-05

作者简介:李鸿昌,从事高中数学教学研究.[FQ)]

1 预备知识

1.1 二次曲线系

两个二次曲线通常有四个交点(这些交点中可能有重合的,也可能有虚的).如果这两个二次曲线的方程分别为f1(x,y)=0和f2(x,y)=0(fi(x,y)=0是x,y的二次式),那么过它们交点的二次曲线束可写成λf1(x,y)+μf2(x,y)=0,其中λ,μ为实数且不全为0.

当二次曲线退化为直线时,即得到直线束方程.

1.2 直线系方程

设直线l1:m1x+n1y+c1=0与直线l2:m2x+n2y+c2=0相交于点P,则过点P的直线束方程可写成λ(m1x+n1y+c1)+μ(m2x+n2y+c2)=0,其中λ,μ为实数且不全为0.

特别地,过点P的曲线束方程为(m1x+n1y+c1)(m2x+n2y+c2)=0.

1.3 圆系方程

过两条直线f1=0,f2=0与一条二次曲线f(x,y)=0的4个交点的二次曲线束方程为f(x,y)+λf1f2=0(λ为参数),仅当此方程中x2与y2的系数相同时表示圆.

2 典例分析

例1(2021年新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足MF1-MF2=2. 记M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点T在直线x=12上,过点T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且TA·TB=TP·TQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析(1)因为MF1-MF2=2,所以M的轨迹C为双曲线的右支,且

c2=17,2a=2,c2=a2+b2,

解得a=1,b=4.

故C的方程为x2-y216=1(x≥1).

(2)由TA·TB=TP·TQ,得

TATP=TQTB,且∠ATQ=∠PTB.

所以△ATQ∽△PTB.

从而∠ABP=∠AQP.

因此A,B,Q,P四点共圆.

由题意知,直线AB和PQ的斜率均存在且不等于0,则直线AB的方程为

y-n=k1(x-12).

即k1x-y+n-12k1=0.

同理直线PQ的方程为

k2x-y+n-12k2=0.

则过A,B,Q,P四点的二次曲线系方程为

x2-y216-1+λ(k1x-y+n-12k1)(k2x-y+n-12k2)=0.

即(1+λk1k2)x2+(-116+λ)y2-λ(k1+k2)xy+λ[(k1+k2)n-k1k2]x

-λ(2n-k1+k22)y+(n-k12)(n-k22)=0.(*)

因为A,B,Q,P四点共圆,所以该圆也是曲线(*)中的一条曲线.

方程(*)为圆的充要条件是

1+λk1k2=-116+λ,且λ(k1+k2)=0.

因為λ≠0,

所以k1+k2=0.

因此直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和等于0.

点评根据双曲线方程及直线AB和PQ的方程,可写出过A,B,Q,P四点的二次曲线系方程. 再由条件“TA·TB=TP·TQ”得到A,B,Q,P四点共圆,所以二次曲线系方程中x2与y2的系数相同,从而得到k1+k2=0.

例2(2014年大纲卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点F,直线y=4与y轴的交点为点P,与C的交点为点Q,且QF=54PQ.

(1)求C的方程;

(2)过点F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.

解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px,得

x0=8p.

所以PQ=p8,

QF=p2+x0=p2+8p.

由题意,得p2+8p=54×8p,

解得p=2.

所以C的方程为y2=4x.

(2)由题意知直线l与x轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1.

故可设AB的垂直平分线l′的方程为

x=-1my+c.

于是过A,M,B,N四点的二次曲线系方程为

y2-4x+λ(x-my-1)(x+1my-c)=0.

即(1-λ)y2+λx2+λ(1m-m)xy-[4+λ(c+1)]x+λ(mc-1m)y+λc=0.

因为A,M,B,N四点共圆,

所以有1-λ=λ,且λ(1m-m)=0.

即λ=12,m=±1.

故直线l的方程为

x-y-1=0或x+y-1=0.

点评由题意可设出l和l′的方程,然后写出过A,M,B,N四点的二次曲线系方程,根据A,M,B,N四点共圆,知方程中x2与y2的系数相同且xy的系数为0,从而得到l的方程.

3 应用

题1(2002年江苏卷)设A,B是双曲线x2-y22=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.

(1)求直线AB的方程;

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆,为什么?

解析(1)由中点弦公式,kON·kAB=b2a2,得

2kAB=21,即kAB=1.

所以直线AB的方程为y-x-1=0.

(2)易知直线CD的方程为y+x-3=0.

所以过A,B,C,D四点的二次曲线系方程为

x2-y22-1+λ(y-x-1)(y+x-3)=0.

即(1-λ)x2+(λ-12)y2+2λx-4λy+3λ-1=0.

该曲线方程表示圆的充要条件是

1-λ=λ-12,即λ=34.

此时圆的方程为x2+y2+6x-12y+5=0.

因此A,B,C,D四点在圆x2+y2+6x-12y+5=0上,即A,B,C,D四点共圆.

题2(2005年湖北卷)设A,B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.

(1)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;

(2)试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D四点共圆?并说明理由.

解析(1)由于点N(1,3)是线段AB的中点,

所以N(1,3)在椭圆3x2+y2=λ内.

故3×12+32<λ,

即λ>12.

因此λ的取值范围是λ∈(12,+

SymboleB@

).

由中点弦公式,kON·kAB=-b2a2,得

3kAB=-3,即kAB=-1.

所以直線AB的方程x+y-4=0.

(2)易知直线CD的方程为x-y+2=0.

所以过A,B,C,D四点的二次曲线系方程为

3x2+y2-λ+μ(x+y-4)(x-y+2)=0.

即(3+μ)x2+(1-μ)y2-2μx+6μy-8μ-λ=0.

该曲线方程表示圆的充要条件是

3+μ=1-μ,即μ=-1.

此时圆的方程为

x2+y2+x-3y+4-λ2=0.

即(x+12)2+(y-32)2=λ-32.

由(1)知,当且仅当λ>12时,A,B,C,D四点在圆(x+12)2+(y-32)2=λ-32上,即A,B,C,D四点共圆.

参考文献:

[1] 单墫.解析几何的技巧[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2009.

[2] 孔令辉,匡莹萍.利用曲线系方程证明圆锥曲线上四点共圆[J].数理化解题研究,2013(06):27.

[责任编辑:李璟]

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