舒莲莲， 朱建青

(苏州科技大学数学科学学院， 江苏 苏州 215009)

Hilger于1988年提出时间尺度概念. Bohner和Peterson整理并出版了首本时间尺度理论的专著[1]， 以及线性动力学方程[2]， 随后众多学者对时间尺度这一领域深入研究[3-6]. 运用时间尺度上的动力学方程， 可以解决许多在实际问题中的建模问题， 如经济学[7]中， 将成本函数结合时间尺度上的微分方程， 所得结果可最大化提高企业未来的竞争力. 在医学[8]中， 骨重建可表示为Lemaire动力学模型， 简单的模型有助于观察到动力学的定性性质， 例如没有超调和回弹等， 在描述繁杂的数学科技语言中扮演重要角色.

1935年， 丹麦Nielsen教授得到一类运动微分方程-Nielsen方程[9]. 我国分析力学领域先驱者梅凤翔教授提出了Nielsen算子. 在分析力学中， Nielsen方程与Lagrange方程享有同等重要地位. 而在某些情况下， Nielsen方程更方便， 如文献[10]中表明使用Nielsen方程对电路系统进行建模， 运用到的计算方法比使用Lagrange方程建模更容易， 因此研究Nielsen方程的构造、解或约化等很有意义. 1918年， Noether提出Noether对称性[11]. 1979年， Lutzky提出Lie对称性[12]. 2000年， 梅凤翔教授在此基础上， 首次提出一种形式不变性[13]， 并称为Mei对称性. Mei对称性导出动力学系统的守恒量推动了分析力学领域的发展[14-20]. 贾利群等学者利用Mei对称性寻求Nielsen方程的守恒量进行了详细研究[21-22]. 2008年，Bartosiewicz和Torres首次将力学系统的Noether对称性应用于时间尺度上[23]. 随后， 众多学者将目光转向此类研究方向[24-27]， 孔楠给出了时间尺度上Lagrange系统Mei对称性定义和判据方程， 讨论了Mei对称性导致的多个Mei守恒量[28]. 翟相华研究了时间尺度上Birkhoff与Hamilton力学系统的Mei对称性与守恒量[29]. 本文运用Mei对称性寻求时间尺度上Nielsen方程的守恒量， 根据时间尺度上链式法则， 建立单自由度的Nielsen运动微分方程， 给出Nielsen方程的Mei对称性的定义和判据， 从而导出守恒量， 文章的结尾处用例子来说明应用.

1 时间尺度上的Nielsen方程

由文献[30]， 时间尺度上一般完整系统的Lagrange方程是

(1)

为推导简便， 本文主要将单自由度的Nielsen方程作为研究对象.

(2)

则方程(1)可表示为

(3)

因为Lagrange函数对t的Δ导数是

(4)

LΔ对qΔ的偏导数是

(5)

比较(3)与(5)式， 可得到

(6)

综上， 得出时间尺度上一般完整系统的Nielsen方程

(7)

2 时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性和判据

N(L)=Q″.

(8)

时间尺度上的无限小变换

(9)

其中，ε为无限小参数，ξ0和ξ为无限小变换的生成元.在(9)的变换下， 函数L(t，qσ，qΔ)和Q″(t，qσ，qΔ)分别变为L*(t，(qσ)*，(qΔ)*)和Q″(t，(qσ)*，(qΔ)*)．

定义1经过(9)式变换后动力学函数L和Q″分别被L*和Q″*所代替， (8)式的形式未改变， 即

N(L*)=Q″*，

(10)

则这样的不变性称为时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性.

展开L*和Q″*， 有

L*=L*(t，(qσ)*，(qΔ)*)=

L(t，qσ，qΔ)+εX(1)(L)+o(ε2)

Q″*=Q″*(t，(qσ)*，(qΔ)*)=

Q″(t，qσ，qΔ)+εX(1)(Q″)+o(ε2)，

(11)

其中，

(12)

将(11)式代入(10)式， 忽略ε2和更高阶的小量， 并联系 (8)式， 得到

N(X(1)(L))=Q″.

(13)

判据时间尺度上的Nielsen方程， 如若(9)式变换的无限小生成元ξ0和ξ满足 (13)式， 则对应的不变性称为其Mei对称性， (13)式被定为Mei对称性相应的判据方程.

3 时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性与守恒量

定理1如若时间尺度上的Nielsen方程(7)的Mei对称性相应的生成元ξ0和ξ以及规范函数G=G(t，qσ，qΔ)满足以下条件

GΔ=0，

(14)

则Nielsen方程由Mei对称性得出的守恒量是

(15)

证明将式(15)两边对t求Δ-导数， 并利用方程(7)和式(14)， 可得

GΔ=0.

(16)

证毕．

推论1当时间尺度T=， 则σ(t)=t，μ(t)=0， 于是由(15)式得出经典结构方程

(17)

得到经典力学下的Nielsen方程的Mei守恒量[21]

(18)

定理2如若时间尺度上的Nielsen方程(7)的Mei对称性的规范函数G=G(t，qσ，qΔ)和相应的生成元ξ0和ξ满足以下条件

(19)

则Nielsen方程Mei对称性得出的守恒量为

(20)

证明将式(20)两边对t求Δ-导数， 并利用方程(7)和式(14)， 可得

qΔX(1)(Q″)+GΔ=0.

(21)

证毕．

推论2当时间尺度T=， 则σ(t)=t，μ(t)=0， 于是由(19)式得出经典结构方程

(22)

得到经典力学下的Nielsen方程的Mei守恒量

(23)

4 算例

例1在时间尺度T={2m+1：m∈N}上， Langrange函数为

(24)

分析Nielsen方程的Mei对称性相对应(15)式的Mei守恒量.

计算得到

(25)

将(24)式代入方程(7)得到：

2tqΔΔ+qΔ=1，

(26)

计算得到

(27)

取

(28)

则

X(1)(L)=-qσ，X(1)[X(1)(L)]=-1，

X(1)(Q″)=1.

(29)

将(28)式代入结构方程(14)中得到

G=t-tqΔ，

(30)

由(15)式可得Nielsen方程的守恒量

I=t-tqΔ.

(31)

例2在时间尺度Τ={3m+1：m∈N∪{0}}上， Langrange函数为

(32)

分析Nielsen方程的Mei对称性相对于(20)式的Mei守恒量.

计算得到

(33)

将(31)式代入方程(7)得：

2qΔΔ+1=0，

(34)

计算得到

(35)

取

(36)

则

(37)

将(35)式代入结构方程(19)中得到

G=qσ+2qΔ+t，

(38)

由(20)式可得Nielsen方程的守恒量

I=2qΔ+t.

(39)

5 结束语

时间尺度理论为统一连续、离散与量子等多样复杂的系统提供了重要的理论支撑， 为分析力学领域的发展， 越来越多的科研工作者关注并着手研究这一领域. 时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性与守恒量是文章主要研究的问题， 由链式法则推导出时间尺度上Nielsen方程， 再设定Mei对称性的定义及判据， 从而得出来两个Mei守恒量. 当时间尺度退化到实数域时， 该守恒量可退化到经典Nielsen方程的守恒量， 并通过例子说明结果的有效性. 在时间尺度上运用对称性方法寻找动力学微分方程的守恒量， 是个灵活有效且变通性较强的方法， 未来研究可将本文时间尺度上Mei对称性的思想方法应用于不同类型的动力学方程.