佟丽馨

[摘 要]恰当合理地使用格子图，可以解决很多抽象的问题。借助格子图的几何直观作用，许多抽象的数学问题就可以与几何图形巧妙融合， 化难为易，化繁为简，不仅使问题变得更有趣味，而且能够在解决问题时培养学生的空间观念。

[关键词]几何直观;格子图;平行四边形的面积

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0026-03

纵观人教版教材，随处可见格子图的身影，只要教师能对格子图善加运用，不但可以促进学生几何直观能力的形成和发展，而且有助于学生建立初步二维空间的观念，学会用几何方式分析数量问题。

一、现象思考

“平行四边形的面积”是一节几何常规课，但教师对于该课中格子图的使用存在较大分歧。意见一：格子图非用不可。课本中既然出现了，就不能违背编者意图和教材宗旨;面积单位的定义和面积度量的理论基础都是对面积单位的累计，这是根本。意见二：可以弃用格子图。格子图太过刻板，学生不容易想到，与其勉强使用教材，不如直接弃用;即使弃用格子图，照样可以推导出平行四边形的面积公式。

格子图用或不用取决于执教者的教学观念，如果执教者想要进一步发展学生的空间观念，培养学生数形结合的思想，那么在推导平行四边形的面积公式时，是可以用格子图的，这与用割补法推导平行四边形的面积公式其实并不冲突。在使用割补法之前可以将平行四边形划分成一个个方格（每个方格恰好为一个面积单位），然后引导学生发现这种数方格的直观方法存在很大的缺陷，因为图形中存在很多不规则的“半格”“大半格”等，无法计数，从而促使学生寻找新的途径，想办法让这些“残缺”的方格尽量拼凑成整格，便于计数。最后渗透转化思想，将平行四边形割补成长方形，因为长方形是可以彻底分割成很多整块的方格的，所以在整个割补的过程中，依然可以保留格子图背景。学生在割补之后发现，所有的半格都合并成整格，可以通过数方格数出其面积，也可以通过“行×列”计算出方格数，暗合了“长×宽”的公式。这样，在格子图的帮助下，割补法中抽象的元素转化变得直观生动。

二、编排情况

人教版教材紧扣知识发展线索，为了符合学生的知识基础和认知发展规律，才系统而渐进地推出格子图，使学生的空间观念得到持续、稳健而长足的发展。在课程标准划定的四大板块中，图形与几何、数与代数两大板块中格子图使用最为频繁。以2013年审定的人教版教材“图形与几何、数与代数”模块为例，渗透了格子图内容的有以下章节：

格子图几乎贯穿于整套教材中，这是格子图的强大功能所致。首先，格子图最显著的特征就是直观，体现在方向感强——纵横交错的网格线使上下左右的方位十分清晰，学生只需看一眼就能辨识。其次，格子图自带准确的刻度标志。在测绘图形的过程中，由于刻度尺度量、读数等环节都容易存在误差，再加上被一些细枝末节分散注意力，学生会在分析时感到困难。而格子图则从源头上堵住这个漏洞。因此，格子图与生俱来的对距离和方向的记录功能，能促使教学直达知识核心。

格子图在教材中具有如此强大的生命力，是有原因的。从心理学角度出发，学生在整个小学阶段的认知离不开形象思维，即使到了高年级，对于一些几何问题，尤其是抽象的面积问题，学生刚刚形成的抽象思维还是不够用的。到了四、五年级后，学生的抽象思维只能解决代数部分的问题，也就是四则混合运算（包括简易方程），但是这个阶段的几何问题难度明显增大，需要计算一些面积，甚至是体积，包括最后圆形的面积和圆柱体的体积，如果离开了形象思维和几何直观，学生是很难抽象地理解和运用相关公式的。如果此时重新建立直观模型，不但会与低年级建立的直观割裂，而且还缺乏经验的支撑，前期形成的空间观念也会受到冲击。因此，最好的办法就是继续运用格子图，保证学生的空间观念得到持续性发展，还可以继续促进学生抽象思维的发展，如面积就是以方格为基本单位，体积也可以理解为三维空间上的方格，“行数×列数×层数”就可看作是长、宽、高上的方格数相乘。

三、有效使用格子图的策略

格子图被编入教材，就意味著承担促进学生数学思维发展、发展学生空间观念、突显几何直观等重要使命。作为教师，应深刻领会格子图的巨大潜在价值，做到物尽其用。

1.“格”来铺垫，顺势推导

格子图的第一用途就是铺垫。在小学阶段，学生主要靠观察来学习基本几何概念，而格子图则为学生学习抽象的几何性质建立缓冲区。有了格子图，学生就能循序渐进地理解和接受一些几何概念，消除一些不必要的误会。以第九册的“平行四边形的面积”教学为例，学生很难凭空想到割补法。此时，引入格子图，并以格子图为参照，学生就能发挥想象力，进行切割和拼贴。有了格子图的铺垫，将平行四边形割补成长方形不再难以理解，而是顺理成章。

面积定义的本源就是含有面积单位的数量，格子图正好可以解释这一定义。例如，图1中的平行四边形的面积是16平方厘米，一个方格面积按1平方厘米计算，移多补少后正好覆盖16个格子。学生先后在三年级和五年级学习过面积，时隔两年，如何使知识紧密衔接不脱节呢？格子图就充当了黏合剂和双面胶。

2.“格”来辅助，帮助思考

格子图能为学生带来明确的方向和距离的参考。学生在测绘时，如果在白纸上绘图，不但会出现误差，还会忽略图形的主要几何特征，而有了格子图，“距离方位”显而易见。格子图释放了更多自由思考和理性分析的空间。如在第七册“平行四边形和梯形”单元中，“平行”与“垂直”概念被正式提出。受生活情境负迁移的影响，学生已经形成“水平竖直交叉才是垂直”的思维定式，一旦互相垂直的两条直线不在水平竖直方向，学生就无法理智判断。此时，格子图“出马”，学生就能迅速厘清头绪。

（1）图2中的两条直线是什么几何位置关系？（学生都能自信答道：“平行！”）

（2）图3的三幅图中分别画了一对线段，它们还互相平行吗？（帮助学生在判断平行时摆脱“长度”和“方向”的干扰，直击概念的本质要素）

（3）请试着画出与图4中的线段平行的其他线段。

学生的作品：

可见，学生能够参考方格上的位置画出倾斜的线段的平行线。这时格子图的位置指示作用不再是直接映衬，而是间接推理，促进了学生对概念本质的理解。

（4）请判断图6中的三组线段是否相互平行？

有了之前的经验积累，学生对格子图的方位感理解得更为透彻和全面，此时再判断自然是手到擒来。

格子图的价值可以说是无限巨大，不怕做不到就怕想不到，除了数方格算面积，还可以充分挖掘方格本身具有的几何特性：方格里含有平行线、直角;每个方格本身就是一个特殊的四边形——正方形，在正方形内画出对角线后，还可以将正方形分成两个等腰直角三角形……可以说格子图具有很强的可塑性，在教学因倍数时可以借助“用方块拼搭矩形”的操作活动来揭示倍数和因数的概念和依存关系;教学比例时，可以利用方格自动记录长度的特性来按比例缩放图形;教学平移与旋转时，可以方便地记录图形变换的角度和距离……这些都与格子图自身“计数”与“显形”的双重功能有关。

3.数“格”结合，诠释内涵

“数”与“形”是几何的两大主线，华罗庚说过：“数缺形时少直观 ，形缺数时难入微。”格子图就是一种天然的带有数感的几何图形，可以变抽象为具体，转抽象为形象，直击数学概念内核。纵向比较格子图出现的时间节点后，再横向比较格子图出现的不同版本，发现各版本教材都出现的百数图，可以视为一个10×10的格子图，当把1～100各数填入其中后，这些数字在特定的几何位置上就会呈现一定的排列规律，研究这些数字的排列规律时，可以直接借用几何特征来揭示。一数一格，直观与抽象交织在一起，教师可提问：

（1）补完百数图后试着寻找其中的规律。（从横、竖、斜三个维度去研究）

（2）不看图，如何根据规律预测某个数附近的数？如对于27，左侧的数字比它小1，右侧的数字比它多1;上面的数比它少10，下面的数比它多10。27这个数字所在的行和列存在什么关系？

（3）用一些“俄罗斯方块”去遮盖百数图，露出一个数，让学生推出其他遮挡数字。

这些猜数字游戏把格子图数形结合的特征展露无遗，既带有强烈的逻辑性，又带有明显的几何特性，数字规律与几何特性水乳交融，密不可分，既发展了学生的空间观念，又训练了学生的形象思维。

4.“格”来创新，尽显直观魅力

在“圖形与几何”的教学中，即使没有格子图，也可以根据具体教学内容，灵活选择点格与方格，将格子图的作用发挥到极致：如果要强调长短，适用点格;如果要强调面积，适用方格。

例如，某教师执教“多边形面积的复习课”时，整堂课就解决一个问题：要在长方形（10米×5米）的土地上种植一块草皮，每平方米造价60元，现在只有2400元预算，最大可以种植多大面积的草皮？这块草皮可能是什么形状？

由题可知，预算只够种40平方米的草坪，在10米×5米的土地上如何设计这40平方米的草坪呢？这是一道开放性很强的题目，需要学生调动所有学过的几何图形的面积公式来构思和推算。让学生在白纸上设计，学生基本上是信手涂鸦，但以格子图作背景，问题就会简单很多。绘图操作有了依据，学生就会自动参考网格线指示的方位和长度，画出符合要求的图形，思路一下子就打开了。

综上，正是这种整齐划一的格子图，不仅使学生可以专注于不同几何图形的面积公式验证与应用，而且还能训练学生的思维，促进学生几何直观能力的形成。

（责编 童 夏）