[摘  要] 笔者于2020年12月1日至12月4日参加了全国第十届高中青年数学教师课例展示活动，课题是“圆锥曲线的统一定义”. 教学中，笔者淡化特殊技巧，回归通性通法，围绕数学本质，设计梯度问题，引发深度思考，引导学生探究. 最后，给出了笔者自己的一些教学思考.

[关键词] 圆锥曲线;统一定义;深度

中国教育学会中学数学教学专业委员会于2020年12月1日至12月4日在福建省厦门市举办了全国第十届高中青年数学教师课例展示活动，笔者代表安徽省参赛，课题是“圆锥曲线的统一定义”，本节课得到了在场的专家评委与观摩教师的较高评价.

教学设计

1. 复习回顾 铺垫新知

师：同学们，我们现在已经学习了三种圆锥曲线，你还记得是怎样绘制它们的吗？我们一起来重温一下.

师生活动：教师动态演示三种圆锥曲线的绘制过程，而后请学生回答三种圆锥曲线的定义（第一定义），提醒学生注意限制条件.

设计意图：一方面，动态演示三种圆锥曲线的绘制过程，让学生亲身体会定义中各要素之间的关系，这样学生就有了对有关定义的直观感受，解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举了. 这种在理解的基础上记住的定义印象更深刻，记忆保持得更持久. 另一方面，为下一步抛物线、椭圆、双曲线的标准方程的推导做好铺垫.

2. 回归教材 二次开发

（1）引导探究.

师：我们来回顾一下圆锥曲线标准方程的推导过程，以抛物线为例：首先建立平面直角坐标系，设动点M（x，y），由抛物线的定义得到MF=d（课件演示），然后将各点的坐标代入上式，得到等式=x--，化简得y2=2px（教师板书），加上限制条件p>0.

师生活动：总结求动点轨迹方程的一般步骤：建—设—限—代—化. 建：建立平面直角坐标系;设：设立动点坐标;限：限制条件;代：代入等量关系式;化：化简.

设计意图：了解求曲线轨迹（方程）的一般步驟，掌握通性通法，同时为后面的问题探究进一步做好铺垫.

（2）自主探究.

师：请大家仔细阅读教材中椭圆标准方程的推导过程（课件展示教材内容），此推导过程出现了一个式子a2-cx=a，与抛物线标准方程的推导过程出现的一个式子=x--很相似，能否将其变形成类似的结构呢？下面我们来探究一下这两个等式的关联.

对等式a2-cx=a进行变形：两边同时除以a，得=a-x①，对①式继续变形得=-x，即=②.

师：若作直线l：x=，式②有什么几何意义呢？

设计意图：利用等式结构的相似性，引导学生观察，等式=1和等式=的左边都是动点到一定点的距离和到一定直线的距离之比，而两个等式的右边均是其离心率，这样引发学生深度思考：这是巧合吗？两次变形的过程给了学生直观感受——在进行解析几何学习时要注意数形结合，认识到式子的几何意义，这对学生在解析几何中解题意识的培养有着重要的作用.

（3）自发探究.

师：类比上述的推导过程，在双曲线中是否也会有类似的结论呢？（课件展示教材内容）根据等式，你是否也能得到与上述等式（=1和=）相同结构的表达式？请尝试一下.

设计意图：在前面两个问题研究的基础上，激发学生自发探究双曲线类似规律的结构式=，让学生自己观察得出：等式的左边仍是动点到一定点的距离和到一定直线的距离之比，而等式的右边是离心率，原来这一切都不是巧合.引导学生发现这一规律，从而归纳总结出圆锥曲线的统一定义，体验到成功的喜悦.同时，让学生自发地写出化简过程，以此培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.

3. 抽象概括 形成概念

师生总结，形成概念：

（1）文字语言.

平面上到一定点F的距离和到一定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线.其中定点F在定直线l外，此时点F是焦点，l是相应的准线，e是离心率（e>1时，轨迹是双曲线;e=1时，轨迹是抛物线;0<e<1时，轨迹是椭圆）.

（2）符号语言.

设动点为M，符号表示为=e，也可以表示为MF=ed.当动点M的轨迹是椭圆时，其焦点为（c，0），相应的准线是x=;焦点为（-c，0），相应的准线是x=-;焦点为（0，c），相应的准线是y=;焦点为（0，-c），相应的准线是y= -. 双曲线的情况类似，这里不再赘述.

设计意图：通过对三种圆锥曲线标准方程推导过程中的一个等式变形，首先让学生意识到，在进行复习时，要回归教材，敢于探究课本表象下隐含的东西.同时，让学生经历上述探究活动的过程，教会学生研究问题的一般思路与方法，有助于进一步加深学生对概念的深度理解，更为重要的是，能够培养他们在实践中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 这种以知识为载体、以探究为主线、以能力为目标的高中数学课堂教学正是我们目前应该追求的.

4. 辨析概念 例题互动

学生板书，教师点评.

设计意图：以方程判断曲线类型时，最常见的方法就是直接法和定义法. 直接法思路清晰，但计算较麻烦，学生通过对比，发现利用定义法解题计算量较小，初步体验定义法的便利性. 通过例题的变式训练，培养学生的发散思维，增强思维的灵活性，由此提升思维能力，使学生获得知识、方法、思维上的最大收益.

例2 椭圆E：+=1的左、右焦点分别是F，F，过点F的直线l交椭圆E于A，B两点，其中点A在x轴的下方，且满足=2，则直线l的方程为______.

教师展示学生的解答过程，师生互评.

设计意图：研究解析几何问题的基本方法之一是坐标法，计算量一般较大. 事实上，在解决此类问题的过程中，如果抓不住问题的本质，就会导致计算量过多. 对于例2，部分学生可能会使用韦达定理进行解决，这样处理的计算量较大. 此时教师应适时提醒学生，可以“小题小做”，从形的角度去思考问题，而后逐步引导学生利用圆锥曲线的统一定义解决问题，学生可以从中体会到这样做能得到简化运算、事半功倍的效果，进一步激发学生从“数”与“形”两个维度去思考问题的意识.

5. 提炼心得 布置作业

师：请你从知识、方法、数学思想等方面谈谈本节课有哪些收获.

学生回答，教师点评.

师：事实上，处理圆锥曲线的很多问题时，可以从“数”与“形”两个角度去思考问题，要重视定义的灵活运用，抓住定义的结构特征，有时可以收到简化运算、事半功倍的效果，这与“双新”背景下所倡导的回归教材、回归概念、回归通性通法相吻合.

作业：已知点F是椭圆E：+=1上的左焦点，点P是椭圆E上一动点，点A（-2，2），求PA+PF的最小值. 你能编制一道与双曲线有关的类似问题吗？

设计意图：培养学生自我总结、反思的习惯，同时作业中让学生主动参与编制试题，激发其参与教学的兴趣，进一步加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.

教学思考

1. 动态生成，促进学生的深度理解

圆锥曲线的应用比较复杂，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等多种数学思想方法. 圆锥曲线的复习往往始于其定义，教学观察发现，多数学生对此内容的学习困境是：抓不住圆锥曲线的结构特征，或者因忽视定义中关键条件的检验而出现错误.实际教学中，教师迫于教学进度的紧张，对圆锥曲线定义的复习，一般是依次呈现定义的文字语言、符号语言、图形语言，再给出几道有针对性的例题，所用课时非常有限.这样的教学安排会导致学生对定义的理解只是停留在表面，缺乏对其内涵的深度挖掘，由此引起学生死记硬背、机械训练，最终导致“记不住或记不准确”的现象产生，进而影响到后续知识点的落实. 针对这一现象，本堂课的伊始，笔者动态演示了三种圆锥曲线的绘制过程，让学生亲身体会定义中各要素之间的关系，解题时回忆再现圆锥曲线的概念就变得轻而易举了;而且实践证明，这种在理解基础上記住的定义印象更深刻，记忆保持得更持久.

2. 挖掘教材，深度剖析数学知识的发现过程

在平时的复习中，无论是教师还是学生，普遍存在的一种问题就是把教材束之高阁，不理不问. 事实上，很多试题恰恰是以教材中的素材为背景编制的，这就更加需要学生回归教材，对其中蕴含的知识与方法进行系统化梳理和归纳，深度理解知识点的内涵，对前后知识进行纵向和横向的比较，加强各知识点之间的联系，从而形成一个完整的知识体系，这也与大单元教学思想相契合.实际上，圆锥曲线的两种定义是等价的，只不过它们是从不同的角度刻画了圆锥曲线的内涵与外延，分别确定了圆锥曲线的本质特征. 这两种定义不仅是推导标准方程的依据之一，也是研究圆锥曲线几何性质、解决相关问题的重要抓手. 因此，笔者在本节课中回归教材，带领学生复习了三种圆锥曲线标准方程的推导过程，一方面复习求解动点轨迹方程的一般步骤，另一方面以此作为铺垫，研究推导过程中的等量关系，通过“问题串”指引学生确定变形的方向，引导学生发现等式中存在相同的结构特征，总结出相应的规律，顺势引出圆锥曲线的统一定义，从而建立起了两种定义的联系，加强了各部分知识的连贯性，使之浑然一体.

3. 运用定义，深入挖掘数学思想

华罗庚教授说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 通过“以形助数”或“以数助形”，将抽象思维与形象思维相结合，有时可使复杂问题简单化.在教师深度教学的过程中，要依据学情，深入挖掘教材中隐含的数学思想，再将挖掘出的数学思想逐步渗透到相应的教学内容之中，以便学生能更好地理解数学知识，有效地提升数学素养.在解析几何的教学中，笔者认为不仅要指导学生学会数形结合的解题方法，更要培养学生养成数形结合的思维习惯. 由于人类对事物的认知呈螺旋上升的趋势，因此，在本节课中笔者对圆锥曲线定义例题的安排是循序渐进的，呈现顺序由易到难，而且配有一定的变式训练，希望学生能够“做一题得一法”“会一类通一片”，以达到掌握数学思想、提高学习兴趣、增强学习信心的目的.

4. 问题引领，开展有深度的探究活动

目前以自主、合作、探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”，学生开展自主探究，以问题为载体、以探究为方式，在此过程中，教师要充分发挥学生的自主性和能动性，让学生经历感悟、体验、反思和矫正的过程，从而实现学生提高自主能力的目标. 课堂教学中，教师可以以问题为导向，但是问题不宜过小过密，要留给学生一些思维的空间和时间，可以在大问题中设立导向性明确的子问题，使学生的思维具有连贯性. 在教学过程中，教师要及时捕捉课堂信息，调控教学方向，扮演好组织者、引导者、合作者等不同的角色. 只有这样，学生才会在“欲罢不能”的参与状态中，主动探索新知、主动实践操作、主动尝试创新. 在教学实践中，笔者十分注重创设有效的问题情境，循循善诱，由浅入深，教学活动总是基于问题引导学生积极开展合作式学习、体验式学习和建构式学习，改变学生固有的思维方式，跳出思维定式. 笔者认为更重要的是要教会学生如何去发现问题，提升其探究问题的能力，促进学生的理性思维逐渐走向成熟. 本节课中笔者通过引导探究、主动探究、自发探究等三步逐步引导学生发现圆锥曲线的统一定义，通过例题探究，让学生掌握如何抓住圆锥曲线定义的结构特征去解决相关问题的基本思路，笔者在作业中尝试让学生参与试题的编制，进一步让学生深度理解概念，提高学生的教学参与度，激发其对学习的兴趣和主动性[1].

参考文献：

[1]  罗风云，张晓阳. 明确问题指向 紧扣探究主题——“平面与平面垂直的判定定理”的观课思考与实践改进[J]. 中国数学教育，2017（10）：27-29.