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合情推理能力的培养措施

2022-03-21曲薇薇

数学教学通讯·高中版 2022年1期
关键词:合情推理猜想类比

曲薇薇

[摘  要] 合情推理能赋予人类更多的联想与创造,它是培养学生形成良好创造力的重要途径之一. 文章以一道高三年级的解析几何题为主线,引导学生在归纳与类比中探究圆锥曲线的性质,形成合情推理能力,主要从四方面展开阐述:观察试题,找出问题本质;拓展纵深,提炼一般规律;横向延伸,类比异同性质;及时反思,形成新的猜想.

[关键词] 合情推理;类比;猜想;反思;解析几何

新课标提出:“学生要在学习中亲历实验、观察、猜想与证明等活动过程,获得良好的推理的能力.”这里所提到的推理能力主要指合情推理与演绎推理两种,合情推理指学生从自己已有的认知经验出发,以某个特殊情境推导出一些具有一定可能性的结论;演绎推理则是指以一般性的前提为出发点,通过推导、证明,获得个别结论或具体陈述.

波利亚提出:“证明某个定理之前,需先经历猜想、推测证明等过程,此过程需要更多的合情推理而非演绎推理”,由此可见合情推理的重要性. 笔者以一道解析几何题的教学为例,着重谈一谈培养学生合情推理能力的具体措施,与各位同仁共享.

[⇩] 观察试题,找出问题本质

新课标认为:“教师应关注学生对问题本质的认识程度,绝不可让生动的数学思维淹没于形式主义中.”当我们拿到一道试题时,绝不可贸然下笔,而应认真审题,挖掘问题本质,只有弄清问题内涵,才能以不变应万变. 波利亚提出:“数学的发现与创造源自合情推理.”第一步的观察,不仅能让学生明晰解题思路,还能为发现与创造提供条件,为合情推理能力的形成奠定基础.

例题 已知坐标原点为椭圆C的中心,该椭圆的焦点位于x轴上,F,F分别为左、右两个焦点,短轴长度为2. 点P位于椭圆上,且△PFF周长为6.

问题:(1)写出椭圆C的方程.

(2)若椭圆C与过点(-1,0)的直线相交于点A,B,x轴上是否有定点M,可使·恒为定值?如果存在,请找出點M的坐标以及该定值;如果不存在,请说明理由.

分析:(1)该问比较简单,可快速求得椭圆C的方程为+=1.

(2)这是一个开放性的问题,具有较强的探究价值. 于学生而言,此问对他们的思维能力以及运算能力都具有一定的挑战性,同时也给他们提供了更为广阔的思考空间. 观察此题的条件,发现要获得具体的结论,不能仅仅依赖于椭圆的常数,还需要从求解圆锥曲线与直线位置关系的通法的角度去思考与探析.

如果我们仅仅满足于这两问的解决,难以真正打开学生的思维与视野. 就题论题的教学方式,只会将学生的思维禁锢到一个狭小的空间内,无法从真正意义上揭示问题的本质. 而揭露问题的本质才是教学的主要目标,目标一旦实现,就能有效地拓展学生的思维,让学生形成以一通百的解题能力.

本题涉及的问题是特殊椭圆的定点与定值的性质,我们可沿着这些性质,将问题辐射到一般性的椭圆问题中,也可辐射到其他圆锥曲线类问题中. 这就需要教师进行科学的引导,鼓励学生深度挖掘与探究问题的本质,达到追根溯源、举一反三的能力. 为此,笔者针对本题进行了纵深的拓展,以便于学生更好地归纳总结.

[⇩] 拓展纵深,归纳一般规律

合情推理是通过个别特殊事物提炼出一般性规律的工具,它所呈现的思维形式以观察、猜想与探究为主. 为了开拓学生的视野,让学生的思维更具弹性,我们可将试题进行纵深拓展,由特殊情况推广到一般的椭圆.

观察本题,根据问题的已知条件(-1,0)是椭圆的左焦点,若将焦点和椭圆方程一般化,我们可做如下猜想.

猜想一:如果椭圆+=1(a>b>0)与过点D(m,0)的动直线相交于A,B两点,那么在x轴上有定点M(x,0)能使得·为常数.

证明:设过点D(m,0)的直线为x=ky+m,设点A(x,y),B(x,y),

可得·=(x-x,-y)·(x-x,-y)=x+(a2m2-a2b2k2+m2b2-a2b2-2ma2x),

当x=时,则·=x-a2为定值.

根据对称性,可得推论一:如果椭圆+=1(b>a>0)与过点D(0,m)的动直线相交于A,B两点,那么在y轴上有定点M(0,y)能使得·是定值y-b2.

一个问题引发学生产生思考,到猜想的提出与验证,此过程有效地实现了知识由特殊到一般的演变过程,这里实现了从椭圆的定点与定值等特殊情况到一般性情况的突破. 学生的思维及解题策略在知识的发生发展过程中,以探究的形式逐渐暴露. 随着对知识纵深的理解,学生不仅彻底领悟了知识形成与发展的来龙去脉,还有效地培养了学生的运算能力、求知精神以及发散性思维,感受推理带来的无限乐趣.

[⇩] 横向延伸,类比异同性质

类比推理是指将具有某些相似特征的对象进行比较,由某一对象的已知特征推导出另一对象的类似特征的过程. 在解题中应用类比法,具有修路筑桥、启发思维等作用,这也是系统性地解决一些复杂问题的有效方法之一. 迄今为止,数学中很多著名的规律、结论等的发现,都是通过类比推理而来.

波利亚提出:“类比的伟大之处在于具有较强的引导性[1].”椭圆作为圆锥曲线中的一种特殊类型,与双曲线相比,它们在概念、几何特征以及方程结构上,都存在着一些共性特征. 本题经过对猜想一的探究以及验证,学生已然很好地将椭圆的定点与定值的性质纳入了认知结构,此时,学生已经具备了类比迁移的基本条件. 因此,教师可紧扣学生的最近发展区,带领学生从椭圆的性质出发,通过类比思想的应用,将思维横向发展到双曲线的相关知识.

猜想二:如果双曲线-=1(a>0,b>0)与过点D(m,0)的动直线相交于A,B两点,那么在x轴上有定点M(x,0)能使得·为常数.

证明:设过点D(m,0)的直线为x=ky+m,设点A(x,y),B(x,y),

可得·=(x-x,-y)·(x-x,-y)=x+(2ma2x+m2b2-a2m2-a2b2k2-a2b2)

当x=时,则·=x-a2为定值.

推论二:如果双曲线-=1(a>0,b>0)与过点D(0,m)的动直线相交于A,B两点,那么在y轴上有定点M(0,y)能使得·为定值y-a2.

将两个猜想与两个推论进行比较,会发现椭圆与双曲线的结构对称且呼应,这不仅彰显了数学独特的魅力,还有效地开发了学生的思维. 此时有学生脑洞大开,提出:抛物线的定义描述与椭圆也有相似之处,它们之间是否存在一定的共性特征呢?围绕这个想法,师生又进入新一轮的探索中.

猜想三:如果抛物线y2=2px(p>0)与过点D(m,0)的动直线交于A,B两点,那么在x轴上有定点M(x,0)能使得·为常数.

经证明可得·为定值m(m-2p)(过程略).

从以上猜想与论证过程来看,类比除了能帮助学生发现新的命题之外,还能有效地打开学生的解题思路,促使学生在知识的概括、解释与迁移中形成良好的数学思想与方法,从而推导出更多的数学事实与一般性的规律,实现解题能力的提升.

[⇩] 及时反思,形成新的猜想

弗赖登塔尔认为:“反思是促进思维活动发展的核心.”反思作为学习不可或缺的一部分,对培养学生的推理能力具有直接影响. 数学不仅仅是知识的学习,还是各类数学思想、观念的学习. 只有建立在思考基础上的能力,才是真正属于自己的能力,反思就是促进学生在认知过程中,不断地进行自我调控、自我监督的重要形式[2].

解题过程中及时反思,不仅能理清整个知识体系,还能促使学生形成新的猜想. 牛顿认为:“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现.”如本题,教师可引导学生顺应以上的猜想、论证与推理过程,反思以上所有的推论与命题是否合情合理,是否成立等.

纵观以上教学过程,笔者以一道解析几何题为出发点,将归纳与类比两大利器灵活地應用到合情推理中,与学生共同探讨椭圆、双曲线以及抛物线等圆锥曲线的相关性质,诠释了从解一题到通一类题的飞跃,学生所收获的不仅仅是与本题相关的知识,更是一种解题技巧与方法的掌握.

综上,可见合情推理的应用,不仅能优化学生原有的认知结构,还能整合学生的认知体系,促进思维及数学思想方法的有效发展,将学生带到一个更新颖的、更宽广的研究领域,体会数学探究的妙趣. 因此,教师应将合情推理应用到教学的各个环节,鼓励学生充分发挥想象,勇于猜想,善于总结、归纳、类比,实现合情推理能力与核心素养的双提升.

参考文献:

[1]  波利亚. 数学与猜想数学中的归纳与类比[M]. 李心灿,王日爽,李志尧,译. 北京:科学出版社,2001.

[2]  张奇. 学习理论[M]. 武汉:湖北教育出版社,1999.

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