孙志成

[摘  要] 数学被人们称为“思维的体操”，而“体操”的“口令”就是数学语言，数学语言体现了数学学科特有的简洁美. 文章以“向量的坐标表示及运算”为例，尝试进行积极教学实践，以帮助学生形成数学语言，培养学生的核心素养.

[关键词] 数学语言;核心素养;向量;坐标

数学思维离不开数学语言，数学语言体现了数学学科特有的简洁美. 一道没有多少文字的数学题，往往可演绎出洋洋千言的答案. 数学语言本质是科学的描述，从某种意义而言，是完全剥离所描述的物体具有的非本质属性，而聚焦内隐逻辑关系的语言，它影响甚至决定掌握这类语言的人们的思维方法[1]. 基于此，數学教学首先要教会学生数学语言，向量的坐标表示及运算是基于几何语言解析化的合理演绎. 以下是“向量的坐标表示及运算”教学实录片段，旨在帮助学生形成数学语言，培养学生核心素养，以期能引起同仁的大讨论.

课堂实录片段

1. 提出问题，引发思考

师：同学们，我们上节课学习了向量. 假设你现在画了一个向量，该怎样描述才能让电话另一头的伙伴准确地知道你画了一个什么样的向量？

生：画出来，告诉他模长及方向. 因为一个向量的方向和模长确定了，这个向量就确定了.

师：模长好处理，那方向你该怎么和他说清楚呢？

生：用量角器量出来告诉他.

师：我们知道平面内可以画无数个向量. 假如你那天画了一万个向量呢？如果都通过这种方法操作，那么效率太低了，工作量太大了.

生：那怎么办？老师，你还有其他办法吗？

2. 回顾旧知，解决问题

师：上节课，我们学习了平面向量基本定理. 哪位同学可以给大家复述一下，用自己的语言.

生：平面内的任何一个向量均可以通过两个不共线的向量唯一表示.

师：很好，通过定理发现，只要我们向对方描述清楚了两个不共线的向量，也就是基底向量，其余向量都可以由基底唯一表示，唯一体现在哪里？

生：只要基底确定，表示系数就唯一.

师：那这个表示系数是如何确定的？

（学生这时候回答不上来，也许心里有一些想法，只是不知道该如何描述？这时，笔者通过几何画板演示向量在基底向量方向上的分解，让学生充分感知对应基底向量前的系数不仅和相应分解向量的模长有关，并且和基底向量的模长有关. ）

师：现在若取两基底向量的单位向量，这里有两个问题请大家思考.

（1）这两个单位向量能否作为一组新的基底？（2）这两个单位向量如何取？

生：可以作为新的基底，只需把该基底向量乘上该向量模长的倒数即可.

师：那如果选这两个单位向量作为新的一组基底，这时表示系数是多少呢？（几何画板演示）

生：系数为相应分解向量的模长，符号看该分解向量和单位向量是同向还是反向，同向取正，反向取负.

师：表示系数唯一吗？

生：唯一.

师：进行到这里，我们完成了一件工作量巨大的工作. 现在只需告诉我们的伙伴两个单位基底向量，再告诉他们相对应的表示系数（有序），这个向量就唯一确定了. 换句话而言，这对有序数对（表示系数）就可以看作是这个向量的ID，类似于我们的身份证号，专属于向量自己.

这时，学生们纷纷点头，表示赞同.

3. 师生再探，建构新知

师：现在我们的工作就是向伙伴描述这一组单位向量的基本信息. 从某种意义上看，基底的选择是任意的，何不选择一组特殊的基底向量呢？现取x，y轴方向的单位向量作为一组基底向量，用它们来表示一个起点为原点O、终点为B的向量. 假设终点B的坐标为（x，y），此时向量的ID是多少？它们之间有什么关系？这个结论具有一般性吗？

生：只要向量起点为原点O、终点为B，向量的ID就是终点B的坐标.

师：很好. 数学上把通过这样取的基底向量得到的向量ID称为向量的直角坐标，简称坐标. 到这里，我们的工作基本完成，现在只须告诉我们的伙伴这个向量的坐标，他就可以在电话另一头准确地将其画出来了.

生：老师，如果一个向量起点不在原点呢？那这个向量的坐标还会是该向量的终点坐标吗？

师：很好. 这位同学发现了一个非常重要的问题. 确实，向量的起点不是固定的，若起点不在原点，那该向量的坐标还会是终点坐标吗？先请同学们分组讨论，再给大家汇报一下你们组的研究成果.

生：可以通过平移使得该向量的起点在原点上，就和我们之前研究的一样了.

师：很好，那这时平移后的向量终点坐标是什么呢？

学生基本能够发现这一事实，但是还无法很好地表述出来. 先通过具体实例说明，再得到一般结论.

师：假设原向量的起点A（x，y），终点是B（x，y），那这时向量的坐标是什么？

生：（x-x，y-y）

师：通过上式我们发现：向量的坐标是终点坐标减去起点坐标. 现在我们完全解决了刚才那个棘手的问题，简单来说，若把一个向量在一个平面直角坐标系中标出来，知道向量起点、终点坐标，该向量便唯一确定. 反之，若知道一个向量，则这个向量的坐标也唯一确定. 上述内容称为平面向量的直角坐标表示，简称坐标表示.

师：我们之前学了平面向量的线性运算，那么可以把向量的坐标表示用在平面向量的线性运算上吗？平面向量的线性运算包括加法、减法、数乘，请同学们分组研究平面向量的坐标运算.

通过之前的铺垫，学生基本都能独立发现平面向量的坐标运算规律.

一点教学感悟

数学家莱布尼茨曾经设想创造一种方法：几何证明可以像代数那样通过计算来解决. 解析几何的飞速发展表明：传统几何问题的向量化，向量的坐标化不失为利用数学语言推开一扇新文明之窗的有力佐证[2].

数学的理性往往体现在“大处着眼，小处着手”. 首先，利用抽象的方法让该问题具有普遍性，为了不受思维惯性的影响，数学家一般有意将实际问题抽象得面目全非，再通过变换，对应转化到更大、更复杂的空间中去分析，在获得了“可操作、结构性”的普遍结论以后，最后应用到具体的问题之中. 当然，在应用时，需要注意个体特质，即该问题的条件是否适用，不适用又该如何克服. 他们认为：单个现象或实验几乎没有什么价值，价值在于把它们联系起来的结论. 数学家对解决数学难题过程中出现的新的数学方法及思想的兴趣远远大于解决问题本身，而这一过程往往是理想化、标准化、简单化及高度抽象化的[3].

中学数学教学，虽然无法与数学家的数学发现相提并论，但也应体现数学发现的过程. 教师应该引导学生从旧知出发，积极探究，用演绎方法研究抽象问题，思考抽象事物，从而形成数学语言，掌握数学的本质[4].

数学被人们称为“思维的体操”，而“体操”的“口令”就是数学语言，正如数学核心素养提到的，要让学生学会用数学的语言去描述世界. 但仅仅认为数学是一种描述世界的工具还是远远不够的，甚至可以说是肤浅的. 它只是数学的外延，其自身内隐的前瞻性、创造性以及演绎功能才是数学的核心价值，它所追求的终极目的是引导人——用数学的思想去思考问题. 而这才是培养创新思维之根源所在.

参考文献：

[1]  徐德均. 基于类比的延伸——“空间向量的坐标表示”教学实录与反思[J].中学数学月刊，2020（12）：1-4.

[2]  徐伟东. 数学深度学习“深”在哪？——以“平面向量的坐标表示”一课为例[J]. 中学教研（数学），2020（06）：9-11.

[3]  李国艳，吴定业. “空间向量的坐标表示”教学设计与反思[J]. 上海中学数学，2018（Z1）：64-65+74.

[4]  谷红霞. 由问题引领思考 借活动积累经验——“平面向量基本定理及坐标表示（第1课时）”教学设计[J]. 中小学数学（高中版），2020（Z1）：76-80.

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