王树峰，孟新宇

(沈阳工业大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 引言

分拣机构是芯片分拣机实现芯片分拣的核心机构[1]，而摆臂是分拣机构中最核心的功能零部件，最终需要通过分拣机构摆臂带动吸嘴完成芯片的转移。摆臂在直线电机驱动下快速地启停以及移动，会使摆臂产生较大的惯性振动，将直接影响芯片的拾取精度，因此需对直线电机的轨迹进行优化，以此来提高摆臂的定位精度及拾取精度。本文在建立直线电机的动力学模型之后，根据直线电机的现有参数，利用MATLAB软件求出直线电机在满载条件下的运动仿真曲线，采用五次多项式插值法对直线电机的轨迹进行优化，以达到预期的目标。

1 直线电机力学系统的计算与分析

直线电机可以看作是由旋转电机演变而来，旋转电机的定子部分转化为直线电机的初级，动子部分转为直线电机的次级，它是将电能直接转换成直线运动机械能的电力传动装置[2]。

1.1 直线电机的受力模型

本文采用水平的结构布局设计来安装直线电机[3]，其受力模型如图1所示。

图1 水平布局直线电机进给系统受力模型

水平方向受力平衡方程为：

F=FR+Fad+FC.

(1)

其中：F为直线电机的推力，N；FR为摩擦力，N；Fad为惯性力，N；FC为切削力，N。FC可根据金属切削原理计算，更可靠的还是通过仿真和实验测得。摩擦力FR取决于导轨的摩擦因数、移动部件的总质量及定子与动子间的垂直吸引力。摩擦力FR计算公式为：

FR=μ(Mg+Fat).

(2)

其中：μ为导轨的摩擦因数；Fat为定子与动子间的垂直吸引力，N；M为移动部件的总质量，kg；g为重力加速度，m/s2。

1.2 直线电机的推动力

水平布局结构形式的直线电机，其工作台的速度曲线如图2所示。

图2 工作台运动速度-时间曲线

加速过程中的加速度和减速过程中的加速度的计算公式为：

(3)

其中：am为加速过程中的加速度，m/s2；vm为最大速度，m/s；tm为加速时间，s；dm为减速过程中的加速度，m/s2；td为减速时间，s。

移动部件的总质量可由滑动体及负载质量与线圈绕组质量之和表示：

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M=M1+M2.

(4)

其中：M1为滑动体及负载质量，kg；M2为线圈绕组质量，kg。

匀速运动时的推力计算公式为：

Fr=FC+μ(Mg+Fat).

(5)

其中：Fr为匀速运动时的推力，N。

加速过程中的推力及减速过程中的推力计算公式为：

(6)

其中：Fa为加速过程中的推力，N；Fd1为减速过程中的推力，N。

电机在运行过程中需满足以下技术指标，计算公式为：

(7)

其中：Fmax为电机的实际最大推力，N；Fpeak为电机的理论最大推力，N；Frms为均方根有效推力，N；Fcont为额定连续推力，N。Fmax的大小为加速过程中的推力Fa、减速过程中的推力Fd1及摩擦力FR中的最大值。均方根有效推力Frms计算公式为：

(8)

其中：tr为匀速运动时间，s；tdw为停止时间，s；t′为总时间，s。总时间t′的计算公式为：

t′=tm+tr+tdw+td.

(9)

直线电机在实际运转过程中，电机的推力会随着速度的增大而减小，其中电机的理论最大推力Fpeak、额定连续推力Fcont与速度的关系可用以下计算公式表示：

(10)

其中：v为任意时刻的速度，m/s。

本文在给定滑动体及负载质量M1、线圈绕组质量M2、水平运动距离L以及电机驱动器型号等参数下利用MATLAB软件求出直线电机在满载条件下的运动仿真曲线。

给定的具体参数如表1所示。

表1 给定的具体参数

利用MATLAB软件得到的位移-时间、速度-时间以及加速度-时间曲线如图3所示。

图3 直线电机运动仿真曲线

2 直线电机的轨迹优化

通过以上分析，我们从加速度-时间曲线上可以明显地看到在初始时刻加速度不为零，因此电机会受到一个较大的冲击，而在速度最大处加速度会有一个明显的反向阶跃力，这会对电机驱动的摆臂造成较大的振荡，可能会造成拾取摆臂末端的强烈振荡或拾取的芯片从吸嘴中脱落，因此需要对电机的轨迹进行优化来减少振荡冲击。

轨迹优化领域中常用的方法有多项式插值法以及样条插值法等。在实际工程应用中，为保证摆臂的高速运动和定位精度，减少系统发生振动等情况，优化生成的轨迹必须是光滑连续，其位移、速度、加速度曲线需平滑连续，因此，经常采用五次多项式插值法来保证控制系统计算性能满足要求。本文针对五次多项式插值计算情况进行分析。考虑2个数据点之间插值的情况，五次多项式插值方法的数学表达式为：

q(t)=x0+x1(t-t0)+x2(t-t0)2+x3(t-t0)3+x4(t-t0)4+x5(t-t0)5t0≤t≤t1.

(11)

其中：q(t)为任意时刻t的位置；x0，x1，…，x5为待确定的参数；t0为初始时刻，s；t1为终止时刻，s。

由于有6个待确定参数，所以需要6个约束条件，即起始点t0和终点t1的位置、速度和加速度信息，为此给定如下条件：

(12)

其中：q0为初始位置；q1为终止位置；v0为初始速度，m/s；v1为终止速度，m/s；a0为初始加速度，m/s2；a1为终止加速度，m/s2。

待确定参数x0，…，x5可通过以下计算公式得到：

(13)

其中：h和T为中间变量，其计算公式为：

(14)

对于具有n个数据点的情况，可以对所有相邻的两个点应用式(11)～式(14)得到最终的插值曲线。实验结果如图4所示。

从图4中可以看出，位移、速度、加速度三条曲线都是连续平滑的。至此，通过减小振荡，完成了目标优化。

图4 五次多项式插值结果

3 结束语

从仿真结果看，五次多项式插值法适合对直线电机的轨迹进行优化，优化后的速度和加速度曲线连续平滑，可以减小摆臂在运动过程中的振动并且提高定位精度，为下一步运动轨迹控制策略的优化奠定了基础。