汤亮 朱慧博 王志超 卞利

摘要：为了让应用型本科院校的学生更好地学习离散数学这门重要的专业基础课，针对此门课程内容抽象、知识点繁多以及很难应用到实际等问题，文章以深度学习的诸多要素作为教学的目标与指导方针，对离散数学的教与学方面进行探索与研究，提出以深度学习为指导思想的教学手段与教学方法。实践表明这些方法与手段在实际的教学过程中提高了学生对该课知识点的掌握程度和解决问题的能力。

关键词：离散数学;深度学习;专业课程;教学方法

中图分类号：G642        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）01-0163-02

离散数学是计算机相关专业的一门核心课程，也是众多计算机相关专业的重点专业考试课程之一，在整个计算机本科教学课程体系中起着承上启下的作用。学习离散数学的目的在于培养学生的逻辑思维和归纳构造等能力，提高学生利用数学方法解决问题的技能，以及为后续课程奠定坚实的数学基础。但该课程概念庞杂、理论抽象，鉴于此，一种比较合理有效的教学方法是非常必要的。深度学习作为一种高阶思维，能够主动地进行知识构建、有效地知识迁移及其实际问题的解决方法[1]。教师的教学设计活动对学生的深度学习有着潜移默化的影响[2]。本文提出了将深度学习思想与离散数学的教学相结合，从多个角度将深度学习融入离散数学的教学当中。

1 离散数学教学现状分析

离散数学作为一门计算机专业基础课程已经列到计算机相关专业很多年，有了较为完整的教学大纲与目标设计。但是目前仍然在教学过程中存在一些问题：1）学生在学习过程中看不到本课程与其他课程之间的关联，很多的同学认为这是门课是个“孤岛”;2）很多同学认为不仅在课程体系内好像是独立的，而且就其内部的章节来讲也是“离散”的;3）该课程教学中理论讲解居多，与实际问题相脱节。上述的教学现状存在的问题，导致了离散数学在计算机课程体系中的地位有所触动。就以上问题，本文采用深度学习的要素与离散数学教学相结合，进一步促进离散数学的教与学的良性循环关系。

2 深度学习在离散数学教学方面的具体应用

2.1 明确教学目标

天资聪慧的学生也可能学业上不如能力稍差的学生，这是件很常见的事情。这是以前的只关心学习方法的研究者容易忽视的地方。在20世纪90年代教育心理学家才开始认识到目标在学习中的重要性[3]。由应用型本科院校的定位可知，培养的人才应该有达到一定程度的知识与能力，以达到能够胜任生产、管理、建立等一线工作岗位的要求。所以应用型本科院校应将自己的办学类型定位为教学型、应用型、地方性[4-6]。在学校的类型定位下，对我们的课程的目标具体定位是能够熟练地用数学语言描述元素之间的关系和结构，并能熟练掌握逻辑推理方法，了解群、格和图论的重要定理的证明。由此可以看出此门课程中用于描述的数学知识是关键，重要理论的证明的思想方法是重点，程序具体实现方法为了解。由此突出了该课程的主要目标。

2.2 强调知识之间的联系

1）加强与专业课内容之间的联系

深度学习更强调新知识与原有知识之间的关联，而浅层学习只关注各个零碎的知识点[7]。因为离散数学它是专业课的理论基础，那么只是单纯地讲解理论的原理就会让学生们有种找不到与计算机专业知识的联系。比如在讲解这部分内容时候，要从计算机编程的角度来体现集合的各种运算。首先提出了集合在计算机中的“位串”表示，因为位串就是一个0或1的二进制串，所以集合的各种运算均转化为对位串的各種逻辑非、逻辑或、逻辑异、逻辑与等等。又比如，在讲解树的深度与广度搜索的时候，不能单纯地从数学角度来说明这个思想，可以从深度搜索的伪代码中直接体现该搜索的过程。采用这种方法，不仅在学习离散数学的时候学到了各种搜索的思想方法，而且还为像数据结构、算法设计这类课程中的代码实现提供了更直接的关联。

2）突出重点，让知识点间的关系更清晰

深度学习关注的是课程当中的核心的思想与概念，而浅层学习只关注解决问题所需要的公式和外在线索[5]。由于离散数学课程当中涉及的概念非常多，如果在课程上过多地讲述概念，那么学生自然会感觉到这门的理论性过强、单调乏味。比如在讲到图论方面的内容时可以在讲解这些定理的时候再提及，这样学生就会把他们的注意力集中到该关注的内容。比如在耿素云和屈婉玲所著的第五版的《离散数学》中的“无向图及有向图”这一小节中[8]，主要是让学生理解握手定理及其推论，而这里只提到了顶点的度与边的概念，那么在定理之前的诸如关联、相邻、始点、终点、悬挂顶点、悬挂边等概念就可以直接提及并说出大致的含义即可。由此，学生的关注点就会相对地集中，以便同学能够更容易地建立所学知识点之间的联系。

2.3 从抽象到具体，具体再到抽象，提升理解能力

不仅仅是比格斯，恩物威斯特尔以及瑞典的马顿和萨尔乔都认为深度学习不是为了简单地识记，而是为了获得更深层的理解，以达到真正意义上的知识点的掌握[9]。离散数学与其他的数学学科有所不同，需要对教材中的定义与定理理解的情况下去证明某些结论。这就要求同学们对定理及定义的理解的程度需要更加地深入。对于数学中的概念首先要熟悉它的定义方式，而这种定义通常是比较抽象的数学公式。此时可以通过实例与联系生活加以对概念的理解。比如等价关系的概念：假设R为A中的等价关系，而x为A中的元素，则x的等价类可以用数学公式描述为：[x]R={y|<x，y>∈R}。这种形式对于初学者看起来还是比较抽象的，但是通过朋友圈的例子就会很容易理解。可以把[x]看成x的“朋友圈”，即所有与x为朋友关系的人构成的集合。由这个具体的概念理解后，再回到原来的数学定义那么就更加容易理解这个较为抽象的公式。

2.4 强化建模思想，提升解决实际问题能力

最早定义深度学习的两个中国人是何玲与黎加厚，他们强调深度学习是将已有的知识迁移到全新的情境当中来解决实际的问题[4]。离散数学的学习也不例外，开设离散数学的一个主要的主要目的是能够应用所学的内容使用计算机解决实际的问题。但是实际问题与计算机之间还有个数学建模的过程，所以对学生的建模能力的培养是非常关键的[10]。所以在讲解案例的时候，尽量让同学思考解决问题的方法而不是就事论事。在讲解旋转磁鼓扇区识别问题时[11]，首先应该考虑该问题中的变化因素与不变因素。把不变的因素看成问题的状态，把变化的因素看成状态的转移条件。因为每个状态有三个二进位表示，而一个状态的前两位决定它的下一个状态可以进入哪些状态，所以前两位可以看成相对固定的量，那么总共有4个结点，分别为00、01、10和11。如果当前状态为00，那么下一个状态就为000的前两位00或001的后两位01，这样画出来的状态转换图如图1所示。

其实，除了书上的这种方法之外，更容易想到的是8个状态——从000到111，再按照这些状态转移条件可以得到图2所示的图形。由此可知，不仅要理解书上的内容，更要搞清问题所蕴含的思想方法，方能自如地使用所学的方法解决实际的问题。

3 结束语

通过上述的教学方法与教学手段的改进，学生对所学内容较之前明显有了更加深入地理解，课堂的气氛也更加地活跃，学生的及格率有了普遍的提高;从而对后序课程-数据结构、编译原理、数据库原理等课程有很大的帮助，基本达到了课程教学改革的目标。今后，我们还要一如既往地继续贯彻已有成果，并且需要不断地探索新的思路与方法，以便让同学们更深入地理解计算机专业相关课程。

参考文献：

[1] 陈媛媛.应用型本科高校离散数学教学探索与研究[J].科教导刊，2018（8）：112-113.

[2] 刘玉珍，朱萍，李雄，等.吸引学习兴趣的离散数学教学方法设计[J].教学现代化，2018（31）：177-178.

[3] 尹宝才，王文通，王立春.深度学习研究综述[J].北京工业大学学报，2015（1）：48-59.

[4] 孔令英，王博，盛广栋.基于“深度学习”视角的高校课堂教学效率提升研究[J].教育现代化，2016（4）：117-118.

[5] Heikkilä A，Lonka K.Studying in higher education： students' approaches to learning， self-regulation， and cognitive strategies[J].Studies in Higher Education，2006，31（1）：99-117.

[6] 劉露.应用型本科院校办学定位研究[J].中国农村教育，2018（10）：8.

[7] 张浩，吴秀娟.深度学习的内涵及认知理论基础探析[J].中国电化教育，2012（10）：7-11.

[8] 耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学[M].5版.北京：清华大学出版社，2013.

[9] 吕林海.大学生深层学习的基本特征、影响因素及促进策略[J].中国大学教学，2016（11）：7.

[10] 汪慧玲.数学建模大赛对高职院校学生创新创业能力培养的研究[J].现代职业教育，2017（18）：19-21.

[11] 谢胜利.离散数学基础[M].北京：清华大学出版社，2016.

【通联编辑：王力】

收稿日期：2021-07-20

基金项目：2018年宿迁学院教改项目（项目编号：sqc2018jg19）;江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题“‘MES+SPOC’在面向专业需求的电子技术类课程中的研究与实践”（C-c/2018/01/04）

作者简介：汤亮（1978—），男，江苏宿迁人，讲师，硕士，研究方向为最优化理论、机器学习、嵌入式系统设计;朱慧博（1978—），女，江苏宿迁人，副教授，硕士，研究方向为数字电路设计、机器学习、嵌入式系统设计;王志超（1975—），男，江苏宿迁人，副教授，硕士，研究方向为物联网、网络协议、嵌入式系统设计;卞利（1983—），男，江苏宿迁人，讲师，硕士，研究方向为物联网、智能算法、嵌入式系统设计。

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