◎孙京京 （扬州大学，江苏 扬州 225000）

数学教材是根据数学课程标准编制的教学用书，直接影响学生的认知过程，国际教材的比较研究为我们的教材编写提供了国际视野，同时给一线教师的教学实践提供了理论和技术上的帮助和指导.运算律作为贯串学生整个数学学习的运算法则，是一种具有普遍意义的数学定律.在小学阶段，从自然数到小数、分数，运算律体现为一种“通则通法”，由此看来，整数运算律学习带有筑基性质.

基于此，本文选用时下中美两国使用较广泛的两种教材：国内江苏凤凰教育出版社2014年出版的《义务教育教科书·数学》（以下简称“苏教版”）和美国加州Macmillan McGraw-Hill 2008年出版的《California Mathematics 》（以下简称“加州版”），以“乘法分配律”这一课程内容作为研究对象进行比较，以为小学数学教材的编写及教学实践提供一些启示.

一、研究设计

本研究主要采用内容分析法和比较法，对运算律的导入和表征方式进行定性分析，对问题的类型进行定量比较.本研究中的“问题”指教材中出现的例题和习题，下面将对各比较维度进行简要说明.

（一）导入方式

乘法分配律的导入方式指教材通过呈现怎样的探索性素材，设置哪些思考问题，如何引导学生探索规律.

（二）表征方式

本研究中“表征”指数学概念或关系的客观呈现形式，即外在表征.结合前人研究，将表征方式分为言语表征与视觉表征两类，言语表征——运用言语对知识点的特征或属性进行抽象描述，例如，文字表征、口语描述、符号表征等；视觉表征——用图示对知识点进行直观呈现，例如，实物模型、图形、图表等.

（三）问题类型

在定量分析前，我们首先对两版教材的问题进行编码统计.考虑到下文问题类型比较时对各类型题量的统计，两版教材统一以小题计数.问题类型指问题在应用知识时的具体变化类型，结合一线教师的研究成果，现将两版教材的问题分为“乘法分配律的变式题”和“其他问题”两大类，其中，“乘法分配律的变式题”根据运算律的运用情况又可细分为顺展型、逆拼型、应用拓展型、拆分型以及多种运算律综合应用型.

二、比较分析

根据上文所设计的比较框架，我们对两版教材进行了定性分析和定量比较.

（一）运算律的导入

1.苏教版创设问题情境，加州版贴近“数学现实”

苏教版通过创设与生活紧密相关的问题情境导入新知，不仅让学生感受到规律无处不在，也锻炼了学生发现问题、解决问题的能力.随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法就成了学生的“数学现实”，也是学生进一步学习的素材，加州版脱离了现实的情境，与先前学习的知识相联系，让学生在利用已有数学知识解决问题的过程中动手、动脑，进而发现规律，更加关注数学活动经验的积累，注重知识间的联系，有利于学生构建完整的数学认知结构.

2.苏教版比加州版更加注重对乘法分配律内在合理性的理解

苏教版的导入过程采用了“不完全归纳法”，强调学生的亲身经历、自主探索，教材中设置的问题环环相扣，逻辑联系紧密，按照合情推理的一般步骤，学生在足够多的例子中发现、猜想、归纳规律，初步感悟数学归纳的思想和方法，培养推理能力.加州版教材则是将重点放在理解乘法分配律的成立原因上，将数学图形贯串整个导入过程，利用几何模型帮助学生理解算理，体现了数形结合的思想方法.

（二）运算律的表征方式

苏教版乘法分配律采用了文字表征和符号表征，渗透代数思想，为五年级学习代数知识做铺垫.加州版在“KEYCONCEPT（主要概念）”模块同样选取了这两种方式，同时列举了数字实例与之对应，降低了学生的理解难度.比较可得：苏教版对运算律的表述局限于两个数的和与一个数相乘，加州版的表述对象范围更广（要将总和乘以一个数，请将总和的每个加数乘以括号外的数字），可以拓展至若干个数的和与一个数相乘，更能体现加州版对知识点的命名“分配律”.

值得一提的是，加州版十分重视图形表征在乘法分配律教学中的应用，“Hands-OnMiniLab（mini 动手实验室）”栏目利用矩形面积模型来探索规律，之后更让学生尝试画出给定体现乘法分配律等式的模型，将数学运算与直观图形结合，帮助学生在头脑中形成直观的算法模型，体现了几何直观思想在计算教学中的应用.

（三）问题类型

现将两版教材的问题类型整理如表1所示.

表1 苏教版和加州版乘法分配律的问题类型统计

由表1可知，苏教版和加州版教材中的问题都以乘法分配律的变式题为主，均占到了90%左右，下面对两版教材的问题类型进行详细分析.

1.苏教版提供了更多类型的乘法分配律的变式题

苏教版对乘法分配律的运用主要是最基础的“顺展型”（27.1%）和“逆拼型”（31.3%），加州版“顺展型”也占有一定比例（30%）.顺展型指乘法分配律的标准形式，形如(a＋b)×c＝a×c＋b×c，逆拼型，即逆向拼合，指乘法分配律的逆向应用，形如a×c＋b×c＝(a＋b)×c，这两种类型是应用乘法分配律时最基础的形式，在学习之初，“原型”因其标准性和典型性，可以充分揭示规则本质，以此帮助学生恰当地建立规则正确、典型的“表象”.

随着学习的深入，“原型”也会阻碍学生数学规则的运用，容易使其形成定式、僵化的认识，苏教版教材设计了“应用拓展型”——将乘法分配律的应用范围进行拓展至多个数与一个数相乘、乘法对减法的分配律以及代数范围的应用；“拆分型”——将题目中的一个数据拆分成两个数据，之后再应用乘法分配律，根据不同的拆分方法又可以分为“加法拆分型”“减法拆分型”和“乘法拆分型”；“综合运用多种运算律”——运用两种及以上的运算律进行计算等八种乘法分配律的变式类型，为学生提供多样化的简便计算策略，形成必要的计算技能.加州版教材以“加法拆分型”为主（42.5%），教材设置了一定数量的题目来锻炼学生的数据拆分能力，同时重视应用乘法分配律直接口算出答案，但是所呈现的简便计算方法过于单一.多样化的变式一方面可以培养学生的类比迁移能力，让学生大胆猜想并检验求证；另一方面，变式建立在学生对乘法分配律内涵有深入理解的基础之上，能够突出运算律的本质特征，帮助学生更准确、更深刻地理解乘法分配律.

2.加州版注重联系代数知识

苏教版和加州版教材在乘法分配律的应用拓展上有着较大的差别.对于这部分的教学，苏教版将其安排在整数四则运算学习后，使得现阶段乘法分配律的适用对象局限于整数；加州版则是将其安排在代数内容的基础上，将其应用推广到代数中.笔者认为，加州版的内容编排顺序有它的优点所在，教师在第一次正式教学乘法分配律时，让学生体会到这一运算律运用范围之广泛.但现行小学数学课程中运算律内容的安排是否合理，教学程度的把握是否适当，需要有国际视野和我国基础教育实践的进一步检验.

三、启 示

通过对苏教版和加州版教材的对比，笔者对乘法分配律课程内容的教材编写和小学数学教学实践得到以下几点启示：

（一）沟通已有知识经验，贴近学生“数学现实”

对于新知的学习需要有与此知识相关联的信息的支撑，而不能独立进行与其他知识无关联的学习，否则，知识点的掌握不会牢固和有意义.当下教师过多强调“创造情境”，有时甚至忽略了知识的内在联系，造成了情境的“泛滥”.运算律教学与运算的定义密不可分，在正式学习乘法分配律之前，学生已经多次接触到了这一运算律，积累了比较丰富的感性认识.在运算律的导入素材的选择上，笔者建议教材在构造现实情境前，借鉴加州版教材，充分联系学生的“数学现实”，如长方形的周长公式、多位数的乘法竖式计算等，上述知识本质上都采用了乘法分配律，如此一来，不仅能够唤起学生已有的知识经验，让学生感受到规律的存在，更能揭示数学知识之间的内在联系，有利于学生数学知识体系的构建.

（二）多样变式应用，重视内涵理解

学生对规则的深层次理解与例题的引导和规则多样化的变式应用关系密切，这一点两版教材都给予了很好的启示.教师在短时间内将焦点仅仅置于乘法分配律规则的获得上，有两种危险：第一，没有帮助学生思考关于运算律的意义，即为何这个规则会成立；第二，这种规则的获得将很快就会失去，不同的运算律规则将变得相似和混淆.因此，相关人员在教材编写以及教学实践中需要重视学生对规则的理解.笔者建议借鉴加州版教材，首先让学生尝试用自己的方式来解释说明乘法分配律成立的原因，发挥其主体能动性；教材在学生充分思考的基础上加以引导，从结合现实背景体会乘法分配律的合理性，到借助几何图形理解算理，再到联系乘法的意义，层层推进，从生活实际逐渐抽象到数学知识，实现乘法分配律的有意义构建，为学生今后的数学学习以及数学逻辑思维的形成打下良好的基础.

瑞典教育家Marton 提出的变异理论表明：认识的发生需要在同一时间审辨和注意事物的相关属性，而如果没有经验，这些不同维度属性的变异是不可能审辨出相关属性的，同时强调了变异理论的迁移观，由此可见，规则学习时的“原型”和“变式”不可分离，“原型”可以揭示本质特征，“变式”应用可以加深对规则内涵的理解，两种形式相互作用，共同促进规则的学习与运用.因此，教材应该关注乘法分配律的变式应用，加深学生对其内涵本质的理解.

（三）关注图形语言，呈现多种表征

“一个重要的数学思想不可能在单一的表征系统中获得充分和透彻的理解”，多元外在表征能够提供学习者互补的信息和支持互补的过程，具体的表征帮助解释较为抽象的表征，帮助学习者从多元具体形式中抽象知识或问题的内在结构，提供不同表征间的相互联系、沟通与作用，联结不同表征成为网络结构，建构深度理解.笔者建议教材将图形表征贯串所有运算律的教学之中，并将其与文字、符号等多种表征方式相互沟通转化，对于相对简单的加法交换律、加法结合律，学生十分容易联想到画线段组图来表示；当学习乘法运算律时，学生在类比迁移的过程中形成认知冲突，进而表征方式实现从一维的线（线段组图）到二维的面（长方形面积）的转变.学生不仅能够借助直观几何实现算法与算理的深层沟通，加深对乘法分配律内涵的理解，同时学习运用类比迁移的策略解决新问题.