秦楠，叶飞，韩兴博，梁兴，苏恩杰

(长安大学公路学院，陕西西安，710064)

盾构隧道施工工序主要包括盾构掘进、管片拼装、壁后注浆等[1]，其中开挖期间，由于刀盘开挖半径比管片外径大，这部分土体损失若不及时注浆填充将会造成地表沉降过大[2−3]，这也是壁后注浆的主要目的，除此之外，壁后注浆还有防止管片上浮、优化管片受力等作用[4−5]。在对壁后注浆过程进行分析时，一般将其划分为充填注浆、渗透注浆、压密注浆和劈裂注浆[6]4 个过程，对不同的注浆过程研究方法也不同，充填注浆主要从浆液单元体的受力分析出发，利用力学平衡原理进行分析[7−9]；渗透注浆则是利用Darcy定律或广义Darcy 定律进行分析[10−12]；压密注浆以扩孔理论为依据进行分析[13]。目前，对于壁后注浆压滤模型研究较少。

MANDELBROT提出了“分形(fractal)”一词，随后提出分形理论[14−15]。分形理论可以用来描述极不规则的形状[16]，在岩土工程领域可以用来研究岩石破裂[17]、岩体节理[18−19]、岩土体孔隙[20]等，本文作者据此，考虑土体孔隙存在的分形关系，将分形理论应用于壁后注浆的理论研究中。

在注浆过程中，如果浆液颗粒粒径比土体孔隙大，浆液颗粒会逐渐在渗透边界上沉积，最后堵塞渗透通道，但浆液中的水体依然能透过土体，这时简化的模型称为压滤扩散模型(图1)，此时作用在管片上的总应力可分为Ⅰ区浆液泡的挤压应力和Ⅱ区体土体的挤压应力及浆液渗流压力。本文作者通过引用分形理论描述土体孔隙，并考虑孔隙率减小等因素推导壁后注浆压滤扩散模型。从以往研究中可以看出壁后注浆的理论研究落后于工程实践，注浆参数往往依据工程经验选取[22−23]，然而不同工程地质环境存在巨大差异，使经验取值不具普适性，存在一定的风险。因此，有必要对壁后注浆进行深入研究，将研究成果应用于实际工程。

图1 压滤扩散模型Fig.1 Model of pressure filtration diffusion

1 压滤模型推导

1.1 模型假定

在推导压滤模型前，本文进行如下假设：1) 由于管片半径R远比浆液扩散半径R(t)大，即R>>R(t)，因此，忽略管片曲率的影响；2)浆液按照半球形的模式进行扩散；3)浆液颗粒堵塞渗透的通道后，浆液内的水体依然可以渗入土体内部；4)在浆液中水体发生渗流后，忽略浆液泡的体积变化。模型推导示意图如图2所示。

图2 壁后注浆压滤模型推导示意图Fig.2 Schematic diagram of derivation of back-filled grouting filtration diffusion model

壁后注浆对于管片的作用力包括2个部分：浆液堵塞土体空隙造成周围土体压缩的挤压应力和滤出渗流浆液的孔隙压力(不考虑原土体对于管片的荷载)。基于此，采用TERZAGHI提出的有效应力进行计算[24]：

式中：σ为土体所承受的总应力；σe为土体结构(土体颗粒)所承受的有效应力；p孔隙流体压力。式(1)可表达为[25]

ϕ为孔隙率，对于岩土体而言，岩土体孔隙分形可通过分形模型Sierpinski三角形来模拟[26](图4)。边长为L的等边三角形是一个岩土体空腔，迭代中不断去掉小三角形的过程可看作土体颗粒不断地填充岩土体空腔的过程。这样经过n步后，空间仅由边长为r(r=L/2n)的正三角形组成，可得孔隙率的计算式[27]为

图4 Sierpinski三角形Fig.4 Sierpinski triangle

式中：C为常数；Vp为土中孔隙体积；V为土的体积；N为迭代次数；L为孔隙尺寸的上限值；r为孔隙半径的下限值，即L=rmax，r=rmin。式(3)即为岩土体孔隙介质数学分形模型，表明了岩土体分形孔隙的平均统计特征，孔隙率分形维数D的取值范围为2～3。相比于经典孔隙模型，分形孔隙模型更复杂，但考虑更多细节，更符合岩土体的实际结构。在近似求解时可取C=1，即

当浆液泡压缩土体时，土体结构会发生变化，土体孔隙率会随之减小，基于此效应使用等效孔隙率的概念对初始孔隙率进行修正。土体颗粒压缩变形可分为2种变形姿态：一种是土体颗粒位置产生错位，称滑移变形(图5(a))，此种变形为塑性变形，主要是孔隙结构的变化；另一种是土体骨架颗粒受力压缩变形而导致的变形，称压缩变形(图5(b))，此种变形为弹性变形，即可恢复的变形。考虑土体颗粒压缩模量较大，因此，仅认为土体压缩存在滑移变形。根据本文作者提出的等效孔隙率，将其参数定义如下：

图5 土体变形示意图Fig.5 Schematic diagrams of soil deformation

式中：VPS为注浆影响体积，对应半径为mR(t)；m为比例系数，在参数分析中取m=3；VG为注入浆液的体积。式(5)中，将土体压缩变形所减少的孔隙体积均匀等效于注浆影响范围内土体的体积减去浆液体积。

1.2 土体的有效应力计算

有效应力主要考虑浆液泡对于土体的挤压应力，在浆液泡膨胀过程中可看作球对称问题进行分析，其对应的平衡力学方程为[28]

式中：σr和σθ分别为径向与环向应力分量，

εr和εθ分别为径向与环向应变分量，μ为泊松比，E为弹性模量，几何方程为

ur为径向位移，边界条件为

R(t)为浆液泡半径；rw为已知地下水压力处半径，p0为扩散边界处的浆液压力，联立式(6)～(9)解得

1.3 土体的孔隙应力计算

土体被浆液泡压密，土体结构较致密，渗流的浆液对于土体颗粒的拖曳作用可忽略不计，仅考虑土体中浆液渗流对于周围土体的附加应力。无源不可压缩流体连续性方程可化简为Laplace方程[29]：

式中：p为流体压力。在球坐标系中式(11)可改写为

式中：r为球半径；φ和θ分别为球半径与坐标系夹角。忽略土体的各向异性，对于牛顿流体半球形渗透扩散方程可简化为

根据式(9)解得

1.4 作用在管片上的应力

根据有效应力原理，将式(10)及式(14)代入式(2)得

如图3所示，作用在管片上的应力为总应力σ，管片受力可通过以下积分进行求解：

式中：Fs为管片所受浆液压力。

2 参数分析

在分析中取地下水在rw=5m 处的压力为0.06 MPa，分别分析注浆初始压力p0、注浆体积VG、孔隙率分形维数D对浆液压力分布及管片压力的影响。浆液泡半径可用下式计算：

2.1 注浆压力的影响

在进行参数分析时，注浆体积VG取0.5 m3，其余参数取值分别为rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.7。考虑注浆压力p0分别为0.15，0.20，0.25，0.30，0.35 和0.40 MPa 时，渗流浆液压力分布及浆液对管片应力的影响，计算结果如图6和图7所示。

图6 不同注浆压力下浆液压降曲线Fig.6 Grout hydraulic pressure drop curves with different grouting pressures

由图6可知：浆液压力随浆液扩散半径增加逐渐减小，且土体与浆液的交界面处压力(图中曲线起点位置)并非浆液的初始注浆压力，由于交界面前后的介质发生了较大改变，因此，浆液压力在此界面后明显减小。

由图7可以看出：不同注浆压力下对应的管片压力分别为564，672，780，888，996和1 105 kN，管片压力随注浆压力增大大致呈线性增大，通过线性拟合可得管片压力与注浆压力满足线性关系：

图7 不同注浆压力下的管片所受注浆压力Fig.7 Pressure of grout on segment with different grouting pressures

在实际工程应用中可考虑使用式(19)进行简化计算。

2.2 注浆体积的影响

考虑注浆体积影响时注浆压力p0=0.3MPa，其余参数取值与2.1节中的相同，分别考虑浆液注浆体积为0.3，0.4，0.5，0.6 和0.7 m3时浆液压力分布及管片压力的变化，结果如图8和图9所示。

图8 不同注浆体积下浆液压降曲线Fig.8 Grouting hydraulic pressure drop curves with different grouting amounts

由图8可知：根据假设土体为各向同性(土体各项参数不随扩散半径变化)，随注浆体积VG的增加，浆液压降曲线在扩散半径上发生了平移，各曲线变化规律相同，但是对于管片应力而言，在相同扩散半径内，随注浆体积增大，管片所受压力也随之增大(图9)。通过线性拟合可以得到管片压力与注浆量亦满足线性关系：

图9 不同注浆体积下管片所受注浆压力Fig.9 Pressure of grout on segment with different grouting amounts

2.3 孔隙率分形维数的影响

计算参数与3.1节相同，孔隙率分形维数取值范围为2～3，分别取D为2.65，2.70 和2.75 进行分析，计算结果如图10和图11所示。

图10 不同孔隙率分形维数下浆液压降曲线Fig.10 Grouting hydraulic pressure drop curve with different porosity fractal dimensions

由图10可以看出：随D增大，浆液压力随之增大，曲线发生了明显的上移；D增大会引起孔隙率ϕ增大，体现在计算公式σ=ϕp+(1-ϕ)σθ中，则是孔隙水压力的比例增大，同时，孔隙水压力(初始压力为注浆压力)明显比有效应力大，因此，随D增大，浆液压力也随之增大。由图11可以看出：管片压力随孔隙率分形维数增大而增大，孔隙率分形维数为2.65，2.70和2.75时对应的管片压力分别为944，968 和1 000 kN，孔隙分形维数D对于管片压力影响显著，在实际工程中应根据地层特性，进行具体分析。同样，通过拟合可以得到管片压力与孔隙率分形维数满足二次函数关系：

图11 不同孔隙率分形维数下浆液管片压力Fig.11 Pressure of grout on segment with different porosity fractal dimensions

3 模型对比

选取未考虑浆液中水体渗流的管片压力模型，即未考虑渗流的模型，对比不同注浆压力p0时的压降曲线和管片所受压力。注浆体积VG取0.5 m³；rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.70，计算结果如图12和图13所示。

由图12可知：随浆液扩散范围增大，2种模型管片所受压力的变化量均缓慢减小，且趋于同一值，考虑渗透的模型浆液压力总是比未考虑渗透的模型的浆液压力大。即在考虑渗透的模型下，管片所受压力更大，计算结果更保守。由图13可知：考虑渗透模型(本文模型)下管片压力在不同注浆压力下均比未考虑渗透模型的压力大，注浆压力越大，两模型差值越大(图13)，当注浆压力较大时，应考虑浆液的渗流效应。

图12 压降曲线对比Fig.12 Comparison of pressure drop curves

图13 浆液对管片压力对比Fig.13 Comparison of grout pressure on segments

4 结论

1)基于有效应力原理，浆液泡周围土体的压力主要包括浆液泡挤压周围土体的有效应力和浆液渗流的孔隙水压力2部分。

2)浆液压力随扩散半径增大逐渐减小，且在土体与浆液的交界面处浆液压力发生突变，浆液压力比初始的注浆压力小。管片压力随注浆压力呈线性增大，在实际工程应用中可考虑采用拟合公式简化计算。

3)孔隙率分形维数的增大将会引起孔隙率ϕ增大，而体现在计算公式σ=ϕp+(1-ϕ)σθ中，则是总应力中孔隙水压力比例的上升，孔隙水压力(初始压力为注浆压力)明显比有效应力大，管片压力随孔隙率分形维数增大而增大，孔隙分形维数对于管片压力影响显著，在实际工程中应根据地层条件进行具体分析。

4)考虑渗透模型(本文模型)和未考虑渗透模型中浆液压力均逐渐趋于平缓，考虑渗透的模型浆液压力总是比未考虑渗透的模型的浆液压力大，因此，考虑渗透的模型对于管片的压力更大，计算结果更保守。管片压力对比结果也与浆液压力相类似，且注浆压力越大，两模型差值越大，因此，在注浆压力较大时，浆液的渗流效应越不可忽略。