崔立营 杨英歌

摘 要 CVOFLS方法（Coupled Volume of Fluid and Level Set method）继承了VOF和Level Set两种方法的优点，以VOF函数为主体模拟流体运动界面，通过Level Set函数校正界面法向，从而有效克服两种方法的不足。多涡剪切流场数值模拟算例表明，该方法能保证较好的运动界面模拟精度以及较高的计算效率。

关键词 运动界面 CVOFLS 模拟精度

中图分类号：O24 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2022）01-0001-03

现实生活中很多现象与运动界面密切相关，如水滴下落、气体爆炸等问题[1]，因此，研究运动界面的数值模拟具有深远意义。在欧拉方法中，Level Set方法[2]和VOF方法[3]因其内存占用小，易解决结构复杂的流体运动界面问题以及实现简单等优点而被广泛采用。基于此，有学者提出了耦合两类方法优点的CLSVOF方法。

孙东亮等[4]于2010年给出了一种新的CLSVOF方法，该方法虽然简化了原始的CLSVOF方法，但其方法理论以及重构界面的过程比较复杂。李强等[5]于2011年创造了一种全新的CLSVOF方法。该方法自带质量校正公式，并且计算自由运动界面精度很好，但其计算效率不高。

Level Set方法在模拟运动界面方面会计算得到更为准确界面法向和曲率，又考虑到VOF方法具有计算效率高以及质量守恒性好的优点和界面法向与曲率较差的缺点;因此，若将Level Set方法耦合到VOF方法中，便可克服其缺陷。本文采用了耦合Level Set与VOF的新方法─CVOFLS方法[6]，并通过对多涡剪切流场问题的模拟，验证了CVOFLS方法效率更高，界面守恒性更好。

1 输运方程

CVOFLS方法是一种新的耦合VOF与Level Set方法。运动介质的速度场为u（u，v），Level Set函数φ（X，t）以及VOF函数F（X，t）所满足的输运方程表达式分别如下：

CVOFLS方法中采用周文等[7]的数值方法对方程（1）和（2）进行离散。

Level Set函数的运算过程中需对函数φ（X，t）进行重新初始化，进而获得新的点X到界面的符号距离函数;该方法可以保证Level Set函数的数值稳定性，并使得其在求解域内具有优良的光滑性。

对方程（3）进行离散得到的稳态解来重新初始化符号距离函数。其中是伪时间，使用近似计算sign（φ0），、为离散坐标下的x轴与y轴的空间步长。

2 数值方法

2.1 VOF输运方程的离散

为了计算方便，方程（2）可写为守恒形式：

Sussman和Puckett[8]提出用通量分裂算法来求解方程（4），其离散形式如下：

其中：

2.2 Level Set输运及重新初始化方程的离散

2.2.1 空间离散

方程（1）和方程（3）同属于Hamilton-Jacobi型方程。

其中Level Set函数方程（1）可写为：

其在Hamilton-Jacobi型方程中：

对应的通量为：

其中，

。

其中，方程（3）可写为：

其Hamilton-Jacobi型方程中：

对应的通量为：

其中：

Jiang和Peng[9]专门针对Hamilton-Jacobi型方程求解，给出了经典的五阶WENO（Weighted Essentially Non-Os cillatory）格式。故本文空间离散采用该格式，进而可得该方程的离散形式[10]：

其中文献[8]给出了，，，的表达式及详细推导过程，文献[9]提供了详细的方程（3）的离散形式。

2.2.2 时间项离散

采用三阶TVD-R-K（Total Variation Diminishing Ru-nge-Kutta）格式对方程（1）、（3）进行离散，可以有效避免数值振荡，其表达式为：

其中，。对于Level Set方程（1），;对于重新初始化方程（3）， 。

3 数值算例

为了验证本文提出的CVOFLS方法的有效性，下面以模拟多涡剪切流场的界面运动为例，检验CVOFLS方法的模拟效果，即考察圆心在（0.5，0.5）、半径为0.15的圆在速度场中的运动情况，整个流场计算区域为[0，1]×[0，1]，时间步长为0.002s。

其中t为模拟时间，T为多涡剪切流场的周期。

图1、图2分别给出了周期T=1s和T=2s时采用CVOFLS方法模拟多涡剪切流场的数值结果。由图可知，CVOFLS方法在T=1s时模拟的数值结果与初始时刻的结果基本重合，表明其具有很好的穩定性及守恒性。而在T=2s时模拟的数值结果效果良好，具有较好的守恒性。

4 结论

数值结果表明：CVOFLS方法对多涡剪切流场的数值模拟效果良好，其数值结果验证了CVOFLS方法的准确性，同时表明该方法在数值界面模拟方面，具有更高的计算效率以及更好的界面模拟精度。

参考文献：

[1] 刘儒勋，王志峰.运动界面追踪与数值方法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2001.

[2] Osher S.，Sethian J.A. Fronts propagating with curv ature dependent speed： algorithms based on Hamilton-Jacobi formulat- ion[J].Journal of Computational Physics，1988，79（01）：12-49.

[3] Sethian J.A. Fast marching methods[J].SIAM Rev iew，1999，41（02）：199-235.

[4] D.L. Sun， W.Q. Tao. A coupled volume-of-fluid and level set （VOSET） method for computing incompressible two-phase flows[J].International Journal of Heat and Mass Transfer， 2010，53（04）：645-655.

[5] Li Qiang， Ouyang J，Yang Bingxin， et al. Numerical simulation of gas-assisted injection molding using CLSVOF method[J].Applied Mathematical Modelling， 2011，35（01）：257–275.

[6] 周文，歐阳洁，崔立营.运动界面追踪的CVOFLS方法[J].工程数学学报，2015，32（05）：697-708.

[7] 同[6].

[8] G.Son， N.Hur.A Coupled Level Set and Volume-of-Fluid Method for Buoyancy-Driven Motion of Fluid Praticles[J].Numerical Heat Transfer Part B-Fundamentals，2002，42（06）：523-542.

[9] Jiang G S， Peng D.WENO Schemes for Hamilton-Jacobi Equations[J].Society for Industrial and Applied Mathematics，2000，21（06）：2126-2143.

[10] G.Son， N. Hur.A Coupled Level Set and Volume-of-Fluid Method for Buoyancy-Driven Motion of Fluid Praticles[J].Numerical Heat Transfer Part B-Fundamentals，2002，42（06）：523-542.