杨关旬 卢志伟

摘要： 为了探讨盖驱动腔流场的影响因素和分布规律，本文提出采用气体动理学格式对其流场开展研究。论文结合盖驱动腔的物理模型，采用有限体积法对Boltzmann方程开展了数值过程推导和数值计算。给出了数值计算过程中以虚网格技术实现的绝热无滑移边界条件，计算了不同雷诺数下盖驱动方腔的流场和流线特征，提取了两条正交中心线上的速度分布并分析其衰减规律，得到了方腔流场中的涡量特征和流线变化，分析了方腔的涡量强度变化与流线变化成因。结果表明，采用气体动理学格式计算盖驱动腔流动可以详细地捕捉流场细节和分布规律，雷诺数的不同对流场分布有着显著的影响，气体动理学格式可以作为研究盖驱动方腔的典型计算方法。

Abstract： In order to explore the influencing factors and distribution law of the flow field in the lid-driven cavity， this paper proposes to use the gas kinetic scheme to study its flow field. Based on the physical model of the lid-driven cavity， the paper uses the finite volume method to carry out the numerical process derivation and numerical calculation of the Boltzmann equation. The adiabatic non-slip boundary conditions realized by ghost cell technology in the numerical calculation process are given. The flow field and streamline characteristics of the square cavity lid-driven under different Reynolds numbers are calculated， and the velocities on two orthogonal center lines are extracted. Distribution and analysis of its attenuation law， the vorticity characteristics and streamline changes in the square cavity flow field are obtained， and the causes of the vorticity intensity changes and streamline changes in the square cavity are analyzed. The results show that using the gas kinetic scheme to calculate the flow in the lid-driven cavity can capture the details and distribution of the flow field in detail， and the difference in Reynolds number has a significant impact on the flow field distribution. The gas kinetic scheme can be used as a typical calculation method for studying the lid-driven cavity.

關键词： 气体动理学格式;盖驱动腔;有限体积法;数值模拟

Key words： gas kinetic scheme;lid-driven cavity;finite volume method;numerical simulation

中图分类号：TP271+.4                                       文献标识码：A                                  文章编号：1674-957X（2022）03-0045-03

0  引言

气体动理学格式（Gas Kinetic Scheme，GKS）是20世纪90年代Xu Kun等人提出的以Boltzmann方程及其简化模型方程开展的离散空间直接建模数值方法[1][2]。相比于N-S方程，GKS适用于多尺度，跨流域流动，数值计算量小，能有效模拟高超速飞行器飞行面临的高雷诺数复杂湍流问题[3]。所以，GKS从建立之初就受到了广泛的关注，更多的学者不断地丰富和探讨这一方法。

研究现状表明，气体动理学格式的研究更加深入，适用范围广泛，实用性更强。盖驱动方腔是计算流体力学（CFD）中验证计算方法的一个热门问题。众多的研究人员采用的不同的数值方法对方腔内部的涡旋变化展开研究，Ghia等人[4]采用二维不可压缩Navier-Stokes方程的涡量-流函数来研究耦合强隐式多重网格（CSI-MG）方法以确定高雷诺数下盖驱动方腔解中的有效性，此计算结果常被视为盖驱动方腔计算的基准解。

目前众多的研究者针对盖驱动方腔的研究主要还是以N-S方程为理论基础，采用涡量-流函数法以有限差分的格式对盖驱动腔流动进行数值研究。本文运用气体动理学格式对盖驱动方腔开展数值模拟，探讨GKS数值模拟的数值过程。对比其他学者的计算结果，验证了气体动理学格式的适用性，计算结果的正确性。另外，对盖驱动方腔内的涡旋展开了分析，揭示盖驱动方腔的流动特征规律。

1  盖驱动方腔物理模型

本文研究的盖驱动方腔的几何结构如图1所示，边长L=1.0m的二维方形腔体，方腔顶部有一速度为Ulid=1.0m·s-1的活动平板沿水平方向平移，方腔内密封气体在平板的作用下产生运动，设腔体内的气体密度为？籽=1.0kg·m-3;运动粘度为ν=6.667×10-5m2·s-1。盖驱动腔的雷诺数Re=UlidL/v。

计算网格和边界条件：盖驱动腔的计算过程采用均匀的笛卡尔直角网格来离散计算区域，边界条件是流固边界上的无滑移边界条件，方腔流动的左、右、下边界均采用绝热固壁无滑移边界，上边界采用绝热边界。GKS上不同的边界条件一般采用虚网格技术来实现，一般假设流体边界和固体边界与网格界面重合，A1，A2表示流体区域内的网格中心点，而A-1，A-2表示与A1，A2相对应的虚网格中心点，可以得出A-1，A-2关于固体边界分别与A1，A2对称。为实现绝热无滑移边界条件，使得插值后边界处的流体速度为0，即：

2  流场的数值分析

通过查阅文献盖驱动方腔流场特征分布规律主要考虑雷诺数的变化关注初级涡旋和次级涡旋的变化。分别计算了雷诺数Re=100、400、1000、3200时方腔的流场分布情况。

2.1 正交中心线上速度分布

图2给出了不同雷诺数下，方腔的纵向中心线上U/Ulid和横向中心线上V/Vlid速度分布曲线。当Re=100时，横向中心线上V/Vlid的速度关于方腔纵向中心线反向对称;方腔的纵向中心线上U/Ulid的速度曲线斜率整体变化范围较大，且大致在水平中心线以下位置速度陡降，雷诺数相对较小，流体的运动粘度大，方腔顶盖的平板驱动对方腔底部产生的作用较小，腔内底部的气体流动相对缓慢。结合两条正交中心线的速度相对比分析，可以预测，当Re=100时，方腔底部的的流场流态大致关于纵向中心线对称。当Re=400，1000，3200时，两条正交中心线上的速度曲线斜率在远离壁面的中间位置变化范围很小，当Re=1000时，这种现象尤其明显，斜率几乎不变。这表明在流场的内部，速度恒定，流体呈均匀运动。另外，靠近方腔壁面边界时，速度斜率反生剧烈变化的的先后次序对应的雷诺数依次是Re=100，400，1000，3200，且速度斜率发生剧烈变化与到壁面的距离相关，雷诺数越大，越接近壁面，速度斜率才发生剧烈变化，这表明随着雷诺数的增大，壁面处边界层的厚度减小，方腔中的大多数气体绕初级涡旋做圆周运动。

2.2 涡量分布和流线特征

图3给出了不同的雷诺数下盖驱动腔的涡量等值线。当Re=100时，由涡量的等值线可以得出，方腔的顶盖附近，涡量的强度较大，自上而下，涡量强度依次衰减，腔内的涡量等值线向右偏移。方腔的底部壁面和左侧壁面涡量强度较小，右壁面的涡量强度强于左壁面。

当Re=1000时，方腔内的总体涡量强度与Re=100相比明显增大，方腔的左、右底角涡量明显增强。壁面对腔内气体的剪切力作用，方腔的左右壁面附近涡量强度较大。壁面到腔体内部的过渡位置形成了一条两边涡量强度大，内部涡量强度小的环形涡量等值带，这是壁面剪切力和腔体内部气体做圆周运动共同作用的结果。在方腔的内部，涡量强度差别变化不大，左右底角的涡量强度与方腔内部的涡量强度大致相等。Re=3200时，与Re=1000相比涡量强度除壁面附近外变化不大，左右底角的涡量强度增大，且右底角的涡量强度变化明显强于左底角。涡量等值线在方腔中心形成了完成的涡量流线和恒定的涡量强度。腔体内部作圆周运动形成的涡旋增大，似有向壁面扩大的趋势。这与之前从正交中心线上特征速度分布曲线得到的现象是一致的。

图4出了不同的雷诺数下的流场流线分布，流场的涡量变化是流场流线分布的内部归因，流场流线分布是涡量强度变化的外部具体表现。当Re=100时，顶盖附近流线略微拥挤，在那里出现最大的速度，顶盖的平移带动气体产生了剪切力，因此顶盖附近流场的涡量强度大。右壁面产生剪切力强于左壁面，流场的初级涡旋在顶盖附近且偏右。左右底角的涡量强度并无明显变化，所以在方腔的底部附近流线基本呈对称分布。

随着雷诺数的增大，顶盖驱动产生的初级涡旋流线向方腔的中心附近靠近，初级涡旋流线的左上角向内凹陷。其次，方腔的左右两底角产生了次级涡旋。方腔内流场的流线除左右底角外分布地更加均匀，这表明腔内大部分气体运动趋于平稳。当Re=3200时，流场分布与Re=1000相比方腔的初级涡旋流线并无明显变化。流场的左右底角次级涡旋随着涡量强度增大流线分布更加密集，左右底角流线分布情况与涡量强度变化是一致的。除此之外方腔的左上角也产生了次级涡旋流线。

3  结论

本文采用气体动理学格式以有限体积法的方式对盖驱动方腔进行了数值计算，探讨和研究了盖驱动腔中不同的雷诺数对流场的涡旋变化和流线特征的影响规律。主要结论如下：雷诺数的改变不仅改变了流场的运动粘度，直接影响是雷诺数增大使运动的顶盖产生的壁面剪切力增强，顶盖带动腔内气体运动的对称性遭到了破坏，流场运动的涡量等值线和流线向右倾斜;随着雷诺数的增大，方腔的左右底角产生次级涡旋，并且涡旋的涡量强度是随着雷诺数的增大而增强的。运用气体动理学格式，建立基本的数学模型过程，详细地阐述了虚网格技術边界条件的构造，揭示了GKS在流体数值计算的一般过程。盖驱动方腔可以作为研究气体动理学格式一个很好的切入点，同时气体动理学格式为进一步研究盖驱动腔提供了新的理论指导。

参考文献：

[1]Xu K. Numerical Navier–Stokes solutions from gas-kinetic theory[J]. Comput. Phys.， 1994， 114（1）： 9-17.

[2]Xu K. A gas-kinetic BGK scheme for the Navier–Stokes equations and its connection with artificial dissipation and Godunov method[J]. Comput. Phys.， 2001， 171（1）： 289-335.

[3]李诗一，张潮，谭爽，等.气体动理学格式及其在再入问题中的应用[J].空气动力学学报，2018，36（05）：885-890.

[4]Ghia U，Ghia K N，Shin C T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method[J]. Academic Press，1982，48（3）：387-411.