张 晶，朱欣华，苏 岩

（南京理工大学 机械工程学院，南京 210094）

本文研究的硅微谐振式加速度计（Silicon Resonant Accelerometer, SRA）是通过硅微机械加工工艺制作的一类典型惯性器件，其具有较大的线性量程与较高的标度因数，同时，其敏感信号能够在进入电路前被调制在谐振器的工作频率上，保证信号在传输和处理中不易受到后续电路各环节增益变化的影响。另外，由于导致其漂移的因素相对较少，更容易实现高的零偏稳定性和标度因数稳定性[1,2]，因此被认为是更具前景的高性能小型化MEMS加速度计方案，并逐渐成为研究热点[3]。但研究发现，由于现有的SRA主要采用幅度控制的测控方案，谐振器在振动过程中的大变形产生的非线性效应使得振动频率中耦合了振动幅度[4-6]，继而将电路中幅度噪声转换为频率噪声[7]，严重影响SRA的零偏不稳定性。为保证输出信号的信噪比，降低空气阻尼的影响，SRA的封装真空度在0.1 Pa～1 Pa之间，对应的谐振器Q值在10000以上；SRA使用的硅材料是一种普遍被认为线性度很好的材料，但Q值（品质因数）越高，硅微谐振器的最大振幅越容易被放大，非线性变形越明显，故产生的非线性幅频耦合效应越不可忽视[8]。

为了降低幅频效应的耦合，天津大学韩建鑫等建立了时滞速度反馈系统，可实现系统阻尼系数的调节[9]，进而通过人为降低Q值的方式提高谐振器振动的线性范围。但本文研究的SRA采用圆片级真空封装工艺[10]，空气阻尼是影响Q值的主要因素，而谐振器振动时无法改变其空气阻尼，即难以调节系统阻尼系数。意大利米兰理工大学的Comi等研究学者，为了解决类似的问题，提出T型质量块设计，通过改进面外扭转振动的谐振器与敏感质量块的约束方式，降低谐振器振动时耦合的检测质量，从而提高谐振器线性振动的范围[11]。基于现有研究，本文首先从驱动力控制和谐振器音叉结构的设计两个方面对谐振器非线性振动进行理论分析，指出抑制非线性振动的驱动力控制范围；进一步地，基于特定Q值与SRA结构，通过改变谐振器的边界条件，降低谐振器的非线性刚度，提升线性振动的最大振幅，有效增大驱动力的控制范围；最后，设计实验完成验证。

1 驱动力控制对谐振 器非线性效应的影响

1.1 谐振器非线性振动的等效模型

本文研究的SRA简化结构如图1，整体敏感结构在x方向和y方向对称设计，包含两个谐振器、两对微杠杆、质量块、支撑结构和固定锚点。整体结构在y、z方向的刚度很大，不易产生运动；在x方向上刚度低，容易敏感该方向的加速度输入。当外界加速度作用在x方向上时，质量块沿x轴发生平动，同时产生惯性力作用在微杠杆上；惯性力通过微杠杆得到放大并传递给谐振器，分别在两个对称的谐振器末端产生推力和拉力，使得一个谐振器因受压振动频率降低，另一个谐振器因受拉振动频率增大，最终通过两个谐振器的差分谐振频率测算输入加速度的大小。

图1 SRA简化结构示意图Fig.1 SRA simplified structure diagram

基于SRA结构对称的特点，研究谐振器的非线性振动可取四分之一结构作为研究对象，则对于单个谐振梁而言，其梁中部受到作用于梳齿结构的静电驱动力P，约束可近似为一端固支，另一端在x方向连接刚度为ka的等效弹簧（微杠杆及质量块支撑梁组合的等效刚度），等效力学模型如图2，所谓谐振梁的非线性振动过程如图2中虚线所示，在驱动力P的作用下产生非线性变形。

图2 SRA谐振器等效力学模型Fig.2 Equivalent mechanical model of SRA resonator

在恒定温度环境下，谐振梁振动的幅频关系[12]（达芬方程）为：

其中，ωF为驱动力变化的频率，ωn为谐振梁横向振动的固有频率，Xm为谐振器振动的振幅，K1为梁振动的等效1阶刚度，K3为梁振动的等效3阶刚度（即非线性刚度），Q为谐振器的品质因数，Pm为驱动力的最大幅度。谐振器的振幅最大时，设Xm=Am，此时Am与驱动力频率ωF的关系：

定义驱动力频率与固有频率的比值ωF/ωn为频率比，定义Xm/(Pm/K1)为振动过程中的振幅放大因子，理想情况下ωF=ωn时，谐振梁在驱动力作用下实现共振，达到最大振幅比，但由于非线性刚度K3的存在，导致了式(1)所代表的非线性效应成为SRA普遍存在的问题。

1.2 通过驱动力调节谐振器非线性振动

实际工作过程中，SRA样机选择通用的±12 V电源，为保证偏置电压稳定，选择10 V的电压基准芯片，所以样机使用Vp=10 V的直流偏置电压，改变驱动力幅值Pm主要依靠控制交流驱动电压的幅值|Vac|，以|Vac|=10 mV为例，

其中，Ke为梳齿结构的电容变化量。式(3)代入式(1)可得频率比与振幅放大因子之间的关系，如图3，在品质因数为Q= 20832的高真空封装环境[12]中，振动过程的最大振幅放大了18000倍，但由于该振动系统中的非线性刚度K3＞ 0（谐振器刚度硬化），当ωF=ωn时，谐振器并没有达到最大振幅比，频率曲线向高频的方向偏移，且虚线区域对应的频率范围出现振动幅值的滞回，从而产生不稳定区域（即当频率比由小增大到图3中“Jump-down”对应的位置时，谐振器最大振幅会直接跃降为更大频率比对应的实线位置；反之，当频率比由大减小至“Jump-up”对应的位置时，振幅也会跃升到更小频率比对应的实线位置），从而导致谐振频率的不稳定。

图3 SRA谐振器在10 mV交流驱动电压下的频率比与振幅放大因子之间的关系Fig.3 The relationship between frequency ratio and amplitude amplification factor of SRA resonator under 10 mV AC driving voltage

对于SRA谐振器的非线性幅频关系，Q值取决于器件的真空度，认为保持恒定；K1与K3取决于谐振器结构设计。式(3)可知，不同的交流电压幅值|Vac|对应不同的驱动力幅值Pm，可调节谐振器的非线性振动响应，得到不同的谐振器的最大振幅Am。如图4，列举了不同交流驱动电压幅值|Vac|对应的幅频响应，在结构不变的前提下，|Vac|降低至1.5 mV时，振动响应可以摆脱不稳定滞回的现象；|Vac|降低至0.5 mV时，才能保证在ωF=ωn时产生近似于理想情况的最大振幅比，但此时谐振器最大振动幅度只有0.028 μm，极易混入驱动电路的幅度噪声[13]。因此给设计者提出了要求：在不影响SRA指标的前提下，尽可能从设计角度寻求降低非线性刚度的方法[14]，降低幅度与频率的耦合程度，才能有效提高线性振动对应的最大振幅，减少幅度噪声的对输出信号的影响。

图4 SRA谐振器在不同驱动电压下的幅频响应Fig.4 Amplitude-frequency response of SRA resonator under different driving voltage

2 抑制谐振器非线性效应的结构改进方法

图2所示的SRA谐振器约束条件对应的非线性刚度K3为[12]：

其中，E为单晶硅的杨氏模量，A为谐振梁横截面积，L为谐振梁的梁长，ka为谐振梁一端约束的等效刚度（取决于杠杆结构的输出刚度），具体参数如表1。

由式(4)可知调整谐振梁长、宽等参数可以调节K3，优化杠杆结构的输出刚度，减小ka也可以调节K3；但SRA加速度计结构参数往往需要协调设计，为了降低非线性刚度而降低杠杆的输出刚度，则会影响杠杆的放大倍数及其他力学特性。为了避免二者的矛盾，本节通过改进谐振梁的边界条件：用C形梁式的谐振器代替原有加速度计结构的I形梁，如图5(a)，谐振梁“BC”由长度为a的短梁“AB”以折叠的形式与框架和杠杆系统相连，使得谐振梁终点B、C不再完全约束在框架和杠杆系统上，在驱动力P的作用下，B、C端的转动相对自由。在恒温状态且没有加速度输入的前提下，对该C形梁的受力分析如图5(b)，可得C形梁BC段的弯矩M（x,t）与轴向力F（x,t）分别为：

图5 C形梁与I形梁的对比分析Fig.5 Comparative analysis of C-shaped beam and I-shaped beam

其中，a为“AB”段长度，F为惯性力传递到谐振器端部的轴向力，RC为谐振梁“BC”端的虚拟力。由式(6)可得：

由于C形梁的弹性特性决定C、D点在x方向位移Cδ、δD不一致，所以轴向边界条件为：

运用卡式定理[15]的思想, 若想求得C端沿x方向的位移Cδ，假设C点受到沿x方向的虚力为RC，计算可得Cδ：

为了与I形梁形成对比，可假设C形梁振动的末端同样有等效弹性结构，设其等效刚度为ka*，则

根据非线性刚度计算公式[12]可得C形梁的BC段等效非线性刚度：

其中，w、b分别是谐振梁的梁宽和结构层的厚度。

对于结构参数确定的SRA加速度计，式(11)中谐振梁“AB”段长度a与非线性刚度K3*的关系如图6所示，在10 μm ＜a＜ 100 μm范围内，K3*递减且在前40 μm内减小幅度明显。考虑到谐振梁的压杆稳定，最终设计C形梁的连接梁长a= 30 μm，其他相关参数见表1。如图7比较了相同结构参数下I形梁和C形梁的非线性振动效应，C形梁的幅频耦合效应明显弱于I形梁。对比图4和图7可以看出，确保C形梁谐振器摆脱不稳定滞回现象的交流电压幅值|Vac|，从1.5 mV增大到2.5 mV，相比I形梁提升了66%；与I形梁线性振动对应的0.5 mV相比，C形梁的|Vac|降低至1.3 mV时，在ωF=ωn时即可产生近似于理想情况的最大振幅比，线性振动区域提高为原来的2.6倍，即在同等结构参数条件下，C形梁的非线性效应可以得到较为有效的抑制。

图6 C形梁的“AB”段连接梁长度与非线性刚度的关系Fig.6 The relationship between the length of the "AB" section connecting beam of C-shaped beam and the nonlinear stiffness

图7 C形梁与I形梁谐振器在不同驱动电压下的幅频响应Fig.7 Comparison of amplitude-frequency response for C-beam and I-beam resonator under different driving voltages

表1 I形梁与C形梁的相关结构参数Tab.1 Related structural parameters of I-shaped beams and C-shaped beams

3 非线性实验

分别将I形梁和C形梁谐振器对应的SRA样机置于温度恒定25℃（防止温度变化造成谐振器固有频率的漂移）温箱内的水平面上，设定无加速度输入，电源、万用表、示波器和信号发生器等放置在温箱外，并通过信号线伸入温箱与读出电路板的对应接口相连，如图8所示。

图8 非线性实验设备搭建Fig.8 Non-linear experimental equipment construction

改变交流驱动电压的幅度|Vac|分别为：20、15、12、10、8、6、4、2、1 mV，每次改变驱动电压后进行开环扫频，记录该过程检测电压Vs出现的最大幅值，换算为谐振器的最大振幅Am，并记录Am对应的驱动力频率ωF，每次测试结果记录如图9所示，可见C形梁谐振器的幅频耦合程度明显低于I形梁谐振器。分别将I形梁和C形梁谐振器的每组结果代入式(2)进行多项式拟合，求得非线性刚度实验值，与理论计算值对比，详见表2。可见，两者误差均在15%内，验证了理论建模的可靠性。同时，对比两种谐振器设计的实验结果，I形梁谐振器K3=1.467×1012N/m3，C形梁谐振器K3*=0.496×1012N/m3，非线性刚度降低为原来的41%，较明显地抑制了振动幅度与频率耦合的程度。

图9 两种结构形式的谐振梁非线性刚度的标定实验Fig.9 Calibration experiment of nonlinear stiffness of resonant beams with two types of structures

表2 非线性刚度的实验结果对比Tab.2 Comparison of experimental results of nonlinear stiffness

4 结 论

本文针对SRA高Q值谐振器易受非线性振动影响并恶化SRA的零偏不稳定性的问题，首先从源头分析了谐振器非线性振动产生的原因，然后从驱动力控制的角度对非线性振动产生的幅频耦合效应进行了理论分析，指出了线性振动的驱动力调节范围；进一步地，详细讨论了在结构参数不变的前提下，如何对结构进行改进设计，继而有效降低非线性刚度。本文提出的C形梁谐振器的结构改进设计方案，核心原理是通过改变谐振器与杠杆等部分的边界约束条件，降低等效刚度ka，从而降低非线性刚度K3。借助C形梁的谐振器设计，非线性刚度降低为原来的41%，有效抑制了谐振器振动幅度与频率的耦合，增大了谐振器线性振动的范围。通过对比测试改进前后的谐振器输出，验证了理论分析与设计方案的可行性；同时，证明了谐振器的结构改进使其线性振动的动态范围提升了66%，继而有助于降低幅度噪声对信号的影响。