李录苹,孔丽丽

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

传染病伴随着人类文明进程而来，并对人类文明产生深刻和全面的影响，甚至比战争、革命、暴动的影响还要更猛烈。因此传染病的研究吸引了众多数学工作者的目光，成为了一个热门的研究课题。近年来，随着社会网络媒体对传染病的传播途径和防治手段的宣传使得人们对疾病的传播方式有了进一步认识，从而有效地控制了疾病的发展。因此，在传染病的研究过程中考虑媒体报道对传染病的影响是非常必要的。目前，已经有一些研究媒体报道对传染病模型影响的文章出现[1-6]。考虑在媒体正面报道和负面报道同时影响下的SEIQR传染病模型。

1 建立模型

建立如下具有媒体报道影响和饱和恢复率的SEIQR传染病模型

这里S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分别为t时刻易感者，潜伏者，染病者，隔离者，恢复者的数量。用N(t)表示时刻总人口数，则N(t)=S(t) +E(t) +I(t) +Q(t) +R(t)。Λ 为易感者的常数输入率，μ为各类人群的自然死亡率，βe(m2-m1)I为媒体报道对传染病传播的影响(其中em2I表示媒体负面报道使传染病基本传播率增加，e-m1I表示媒体正面报道使传染病基本传播率减少)。为传染病的平均潜伏期，r为染病者的隔离率，为染病者的因病死亡率，为隔离者的因病死亡率，k为传染病的饱和恢复率，为隔离者的康复率。

2 基本再生数和无病平衡点的存在性

将系统(1)中的微分方程相加得总人口N(t)的微分方程。容易证明闭集D1=为系统(1)的正向不变集。

令x=(E,I,Q,R,S)T，则系统(1)可表示为

因此，A(x)，B(x)在E0处的雅可比矩阵分别为

3 无病平衡点的稳定性

定理1若R0＜1，系统(1)的无病平衡点E0局部渐近稳定；若R0＞1，则E0不稳定。

证明系统(1)在E0处的雅可比矩阵为

由此得系统(1)在E0处的特征方程为

如果方程(2)的所有特征根均具有负实部，则E0局部渐近稳定。显然，方程(2)恒有三个负实根λ1=λ2=-μ＜0,λ3=-(μ+r1+k) ＜0。

其它特征根由下面方程确定

整理得

其中

当R0＜1 时，有p＞0，q＞0,则由Hurwitz 判据知方程(3)的根具有负实部。综上所述当R0＜1 时，E0局部渐近稳定;当R0＞1 时，这里p＞0，q＜0，方程(3)存在一个正特征根，所以E0是不稳定的。

定理2若R0＜1 且m2＜m1，则系统(1)的无病平衡点E0在D0内全局渐近稳定。

证明构造Lyapunov 函数V=E，计算V沿系统(1)的导数为

当m2-m1时，有

从而，当R0＜1时，有≤0；而0当且仅当I=0。由Lyapunov-Lasalle 不变集原理知，当0 时，D1中所有轨线均趋于最大正向不变集M={I=0}，并且当I=0时，有E=0。因此

当t→+∞，则,Q→0,R→0。因此，D1中所有轨线均趋于E0。所以当R0＜1时，E0全局吸引。

再结合定理1的结论知，当R0＜1且m2＜m1时，E0在D1内全局渐近稳定。