许芝卉，李建华

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

1 问题的提出

考察如下二维热传导方程初边值问题

其中a为系数，且a为正常数。

定义域为：

网格可用平行于x轴、y轴和t轴的直线进行剖分，形成的网覆盖区域，结点为网格结点。

(1)式的网格可取为

其中τ和hx，hy分别是时间步长和空间步长。为方便起见，取x轴方向和y轴方向的网格步长相等。即hx=hy=h[1]。

2 几种差分格式的应用

2.1 显式差分格式和隐式差分格式

方程(1)的显式差分格式为

其中

(2)的差分格式可写为

由Taylor展开知(3)的局部截断误差阶是

方程(1)的古典隐式差分格式为：

2.2 Peaceman-Rachford差分格式(简称P-R格式)

依照P-R 格式可以将一个时间步长分为两个小的步长来计算，其中每个小的时间步长为τ/2，首先在第一小步建立一个趋近(1)的在方向显式而在方向隐式的两层格式（从第n层到第(n+1)/2 层），如(6)，而在第二小步则建立一个趋近（1）的在方向隐式而在方向显式的两层格式（从第(n+1)/2 层到第n+1层[1]）。即

其局部截断误差阶是

又可写成：

对(7)差分方程两端分别同时作用差分算子

展开两端，上式变为

2.3 Douglas-Rachford格式（简称D-R格式）

D-R 格式是一种能够保持无条件稳定，并被加以推广运用到三维情形的差分格式。逼近(1)的D-R格式为：

可写为：

由(10)第二个方程中解出，并代入(10)中的第1个方程，得：

3 差分格式的比较

D-R 格式(10)的截断误差阶是O(τ++)，比P-R 格式(7)在时间方向低一阶。应用傅立叶方法可计算出D-R格式(10)的增长因子是：

显然，对于任意的r＞0，均成立GDR=(βx,βy,τ)≤1，所以D-R格式(10)是无条件稳定的[1]。

4 边界条件离散

Dirichlet边值问题

对于矩阵区域

方程(1)可以直接离散为：

对于二维热传导方程(1)的D-R 格式（11）展开后得：

将上面四个式子代入(13)得

则（14）和边界条件（12）可以构成一个逼近边值问题（1）的离散型Dirichlet 问题，它可转化为等价的线性方程组的求解问题[2]。

定义向量

向量实际上是给定了个M2未知量Tj,k(1≤j,k≤M)就，的一种排列次序，这里采用的是网格结点的自然次序，即从左往右（j↑），由下而上（k↑）。后面都将采用这种自然次序排列网格结点上的未知函数值,问题(11)和(14)可以写成如下矩阵形式[2]。

其中

5 结语

文中选取的模型较简单，用均匀网格实现，对反映现象问题均匀网格不够好，在以后的研究中需要选取适应性比较好的网格，模型也需选用有实际应用的几何体模型。关于求解线性方程组(15)可采用超松驰迭代法，并用算法设计来实现。