文／韩卫华

我们在学习时要不断小结，在小结中继续前行。学习了二次函数的图像和性质后，我们不妨停下来回头看看，是如何确定二次函数的表达式的，或者说是如何根据题目的条件特征，更方便地确定二次函数表达式的。我们先看下面这个对比表，再通过例题解读。

常见形式一般式顶点式交点式适用条件已知抛物线上任意三点的坐标。已知抛物线的顶点的坐标（或抛物线的对称轴、最值）和另一条件。已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和另一条件。对称式主要内容_______________________________________________y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且a≠0），关系式的右边是二次三__________项式。y=a（x-h）2+k（a、h、k 为常数，且a≠0），由表达式知抛物线的顶点坐标为（h，k）。y=a（x-x1）（x-x2）（a、x1、x2为常数，且a≠0），其中x1、x2为抛物线与__________x轴的两个交点的横坐标。y=a（x-x1）（x-x2）+m（a、x1、x2、m 为常数，且a≠0），其中x1、x2为对称点的横坐标（即两点的纵坐标相________________________________________________________________________________________________同，为m）。已知抛物线上两个点的纵坐标相同，为m。具体方法________设出一般式后，将三点的坐标代入，解这个三元一次方程组。_______________设出顶点式后，再借助另一条件得到关于a 的一元一次方程。_______________设出交点式后，再借助另一条件得到关于a 的一元一次方程。_______________设出对称式后，再借助另一条件得到关于a 的一元一次方程。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（1，5），B（-1，9），C（0，8）。求这个二次函数的表达式、开口方向、对称轴和顶点坐标。

【解析】设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，

所以二次函数表达式为y=-x2-2x+8，

因为y=-x2-2x+8=-（x+1）2+9，

所以抛物线开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，9）。

【点评】题目给出的点不是顶点，也不是与x轴的交点，而是任意三点的坐标，因此，我们设一般式，将三个点的坐标代入，解这个三元一次方程组得出结果。待定系数法是求二次函数表达式最基本的方法，需熟练掌握。

例2 已知抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最小值是-1，且图像经过点（3，1），求此抛物线的函数表达式。

【解析】根据题意知函数图像的顶点坐标为（1，-1），所以设此函数表达式为y=a（x-1）2-1。

又因为图像经过点（3，1），

【点评】在已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最值）和另一条件的情况下，通常选择设顶点式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

例3 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

x____y……___-3 0___-2-3__-1-4__0-3___1 0___……_

求这个二次函数的表达式。

【解析】观察表格中的数据，知道二次函数的图像与x轴交于（-3，0）、（1，0）两点，所以设y=a（x+3）（x-1），将（0，-3）代入，得-3=a×3×（-1），解得a=1，所以这个二次函数的表达式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3。

【点评】在已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标和另一条件时，通常选择设交点式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

例4 已知一个二次函数的图像经过点A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）。求这个二次函数的表达式。

【解析】观察给出的三点，发现B（0，3）、C（2，3）两点的纵坐标相同，它们关于直线x=1 对称，所以设y=ax（x-2）+3，将（-1，0）代入，得0=a×（-1）×（-3）+3，解得a=-1，所以这个二次函数的表达式为y=-x（x-2）+3，即y=-x2+2x+3。

【点评】当已知二次函数图像上两点的纵坐标相同，为m时，通常选择设对称式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

【总评】二次函数是中考必考内容，压轴题中常常有它的身影，求二次函数表达式通常是压轴题的解题起点，直接影响后续的解题，因此，掌握求二次函数的表达式的方法有着非常重要的意义。教材5.3用待定系数法确定二次函数表达式，是通过确定二次函数中待定系数的值，进而确定二次函数表达式的一种方法。对此我们要善于根据题目条件选择恰当的表达式，其选择原则是：尽可能使表达式中待定系数的个数最少，方便易求。

（作者单位：江苏省江南大学附属实验中学）

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有一条抛物线，三名学生分别说出了它的一些性质。甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9。请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的表达式________。