李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

解析几何问题主要考查学生的转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，其中尤其对于运算求解能力要求较高，因此怎样计算以及怎样优化解析几何的运算是一个很重要的问题，下面我们谈谈解析几何中非对称问题的处理策略.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同两点P,Q(异于顶点)，记椭圆与y轴的两个交点分别为A1,A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.

结合目标，消去x得：(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)，此表达式中左右结构不对称，想要直接运用韦达定理比较困难.对此问题，我们有以下求解策略：

一、利用韦达定理进行齐次化

进一步将(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，结合韦达定理知2kx1x2=3(x1+x2)，代入前式可得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2=6(x1+x2)+6x1-2x2=4(3x1+x2)，依题意：3x1+x2≠0，否则此时A1P∥A2Q，故得y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注本题的目标很明确，就是要证明交点S的纵坐标为定值，因此首先联立直线A1P和A2Q的方程，消去x，得到(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1,x2不对称，无法直接运用韦达定理.这里的想法是利用韦达定理得到2kx1x2=3(x1+x2)，其本质是将二次表达式x1x2化为一次表达式x1+x2，从而实现齐次化的目的.

二、利用韦达定理进行消元

三、利用椭圆方程实现对称化

下面我们给出这类问题的几个变式题.

(1)求椭圆的方程；

(2)当|AP|=2|PB|，如图1，求直线l的方程.

图1