余瀚 孔令军 王志伟 李琦

摘要：《离散数学》是计算机相关学科的核心基础课程，对培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和理论结合实际的能力等有着不可或缺的作用。针对智能应用日益增长的需求，立足于国际工程教育改革发展前沿，该文用实例探讨离散数学和人工智能时代相关应用之间的紧密联系。通过教学改革，可以激发学生学习理论课程的兴趣，以解决问题为导向提高学生的动手能力，客观提升教学双方的参与度，强化相关知识点的应用能力。在大数据和深度学习日益飞速发展的今天，强化面向智能应用的离散数学教学，可以更好地构建具有中国特色的计算机专业人才培养模式。

关键词：大学教育;离散数学;智能应用;实践教学

中图分类号：G642      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）31-0235-02

目前，我国大学的教学科研处在“十四五”开局和“二零三五远景规划”的关键时期，国家最近出台的相关教学指导方案对高校的教育工作有十分重要的指导作用。离散数学作为计算机相关专业的核心基础课程，在整个计算机教育环节中有着承上启下、承前启后的作用[1]。在当今智能化无处不在的时代，离散数学的教学和训练将为我国的计算机人才打下坚实的数理基础[2-3]，教学质量的好坏将直接影响后继课程的学习效果，如：数据结构、编译原理、数据库、最优化理论与算法、信息论与编码、大数据与机器学习、并行计算等。因此，从第三次信息技术革命的角度上看，离散数学教学质量的提升，将在战略上对我国此轮技术革命的成功有积极影响。本文将从实例角度出发，探讨离散数学教学质量和人工智能时代相关应用之间的紧密联系。

1 面向智能应用的核心教学内容设计

在机器学习[4]深入生活的今天，面向应用的理念是当今智能时代一个不可避免的主题，几乎所有的工科教学或科研都会涉及人工智能的话题，而计算机专业正是这个最迅猛发展的领域排头兵。因此，面向智能化应用的离散数学教学[5-6]势在必行，也符合开设离散数学课程的计算机教育的初衷。从笔者约七年的离散数学教学经历上看， 将应用实例提炼出来，从而对核心章节的教学知识点进行重新设计，是离散数学教学改革的第一步。所以，我们在设计教案的时候，将离散数学最核心的部分知识点及其相关的应用实例列出，如表1所示。

以核心知识点为基础构建智能应用实例的出发点是面向大工程时代需要，对于正在或已经毕业的若干届学生，我们分析得出有必要开展教学内容改革的几点原因：

（1）本科生在四年学习中，往往感觉实践偏少。究其根本原因，在于计算机教育的考试和考查形式相对单一。如果说闭卷考试能在客观上督促学生学习的话，那么考查性的上机实验多半只能让学生运行一下现成的软件，而现在的资讯时代，学生反而变得惰性较大，不愿意一行一行读写代码，甚至系统学习某个应用软件的能力也有所下降。假如以应用问题为导向，则可以解决这样的问题，这可以调动学生主动思考的能力和培养他们的实践能力，教师只需要抛砖引玉相关知识即可。

（2）本科学生常感觉理论知识点的掌握不够扎实。原因在于没有针对性的实践，由于离散数学概念化的特殊符号众多，并且描述对象比较抽象，给学生较为清晰地講述每个符号传递的基本事实和原理是比较困难的工作。而面向工程应用的实例则可以弥补和改进这方面的不足，以欧拉图和哈密尔顿图为例，我们可以用机械硬盘的寻道设计问题、快递路线设计问题、旅游问题等为应用对象，给学生讲述清楚用这些工具抽象化具体应用的原因，让学生不仅了解，并且自己设计出相应的软件。只有通过软件设计、程序调试中的试错、具体的模块编写等实践，才能让学生从顶层到细节上对所学知识都能较好得掌握。

（3）学生的工程应用和团队配合等综合素质缺乏。对于一个具体的工程问题，需要多名学生配合完成，而一般的理论课是无法达到这种目的，实践课往往也流于形式，和理论脱节较大，所以开展面向应用的离散数学教学改革很有必要。一般来说，团队中的各个成员从上游建模到下游实现都要照顾到，这就牵涉到各个方面协调的问题，只有在实践磨合中，这种综合素质才能得到锻炼。因为理论很美好但是现实不允许，或实际工具强大但需要更强理论支撑的例子很多，所以往往实践中的成果是各方妥协的产物。

（4）用人单位对于学生动手能力要求常不满意。在智能应用时代，用人单位不再满足于学生的动手能力，而对他们的理论知识提出了更高的要求，比如深度学习方向的基本数学工具等。而学生在校学习期间这两方面能力往往隔离较深，所以面向工程应用的知识点强化培养势在必行。在实践过程中，往往可能所谓的“答案”并不具备理论课本上的唯一性，每个学生认识世界的角度不一样，所以就造成了建模的多样性，在教学过程中应该鼓励这种差异化，培养学生解决问题的灵活性，也对后续工作中解决问题起到比较积极的推动作用。

需要说明的是，以上我们列出的核心知识点也涵盖了基本的离散数学基本知识点，如命题逻辑中的真值表、范式等内容，一定是建立在逻辑运算符号的基础之上的，并不是说其他知识点不重要。而面向核心知识的工程问题，主要是为了更加扎实得打好运用知识的能力，比如逻辑电路设计一定会用到命题逻辑的各方面知识，并且需要学生有较强的动手能力配合才能完成，至于命题逻辑中的一些技巧性较强的推导，我们认为教学中点到即可，并不一味强调，因其面过于狭窄，且应用场景比较有限，这方面能力本科学生经过高考已经掌握，无需重复训练。

2 知识映射与建模实践教学

选择合适的智能应用场景，对于离散数学知识点的综合应用能力的训练至关重要。我们将每一章的核心知识点对照的应用列出是为了提供一个参考，实际上离散数学有不少很有趣味性的应用实例。教学中我们发现，学生对于理论知识的掌握，经过努力一般都能有所收获，而最难的环节之一，是针对实际问题抽象出能用理论工具解决的模型，所以知识映射和建模实践是面向工程应用教学的一大难点和重点。以下举出几个例子说明上述问题并提出相应改进方法。

例1：集合计数的容斥原理与机器学习的多标记问题。当今人工智能中的多标记和多视角问题经常涉及容斥原理[]，这也是后续基于注意力的多视角分类的关键点之一。离散数学中的容斥原理比较形象地表达了多重属性集合元素之间的属性相容相斥问题，正对应着分类问题或者聚类问题中的多视角分类，因为很多时候数据属于某一类并不意味着不属于其他类，很自然地我们在教学中需要拓宽学生在解决实际问题中的思路，而工具就在很多经典知识点中。

例2：图的矩阵计算与旅行路线设计问题。图的矩阵计算涉及到了连通、通路、多跳等问题。是图当中比较少有但是又很典型的有关计算的问题，常常也是考察的重点和难点。以春运旅行路线设计问题为应用切入点，可以让学生更为形象地进行知识抽象和数学建模。不仅如此，实际问题当中考虑的时间、费用等问题往往比书本上地知识复杂得多，而面对全国飞机和铁路等线路的复杂性往往也不是现在的相关网站能够提供的解决方案的，所以這类问题不仅可以将图论应用到实际过程之中，也可以锻炼学生的思维灵活性。需要注意的是，可以引导学生先从一个省的公路和铁路入手，先解决局部的旅行路线设计，再在学有余力的基础之上深入解决全局问题。

例3：等价类与登录界面设计。所谓等价类本质上是指输入域的某个互不相交的子集合，所有等价类的并集便是整个登录输入域。我们教学中设计这一有关等价类的应用实例，其目的在于测试用例的无冗余性。首先需要划分等价类（valid/invalid）的两种情况：有效等价类，检验程序是否实现了规格说明预先规定的功能和性能;无效等价类，检查软件功能和性能的实现是否有不符合规格说明要求的地方。然后我们给出常用的等价类划分原则：（1）按区间划分;（2）按数值划分;（3）按数值集合划分;（4）按限制条件或规则划分;（5）细分等价类。最后，我们设计一些测试用例，如表2和3所示。综合来看，教学中严格的自反、对称、传递关系构成的等价类在现实中有了更加灵活的表达方式，所以在实际中拓展离散数学教学更能体现面向智能应用时代工科教育的宗旨。

综上，更加精准的建模和实践教学内容设计，需要的师资力量强大，教师的课程教学经验比较丰富，且有较好的科研功底，绝非易事，也需要配合当代学生的兴趣爱好和实际技能。

3 结语

工科计算机相关专业的教学需要强化对应用问题的建模和实现，同时也需要正确的引导和授课方法，两者相辅相成，不仅可以促进学生学好离散数学这门核心基础课，更为他们在后续的科研和工作中打下扎实的基础，培养勤于逻辑思考和动手的能力和习惯。

参考文献：

[1] 仇晨晔.面向人工智能时代的离散数学教学方法研究[J].软件导刊，2019，18（12）：192-194.

[2] 耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学题解[M].5版.北京：清华大学出版社，2013.

[3] 方世昌.离散数学[M].西安：西安电子科技大学出版社，2009.

[4] 周志华.机器学习[M].北京：清华大学出版社，2016.

[5] 吴向阳.离散数学教学模式创新研究[J].当代教育实践与教学研究，2020（12）：88-89.

[6] 董美霞.人工智能背景下的离散数学教学模式探究[J].数字通信世界，2020（2）：231.

【通联编辑：李雅琪】

收稿日期：2021-05-22

基金项目：中国博士后基金特别资助项目（2018T110531）

作者简介：余瀚（1984—），男，副教授，南京邮电大学计算机学院、软件学院，研究方向：反问题计算、图像处理等。