【摘 要】 有效的数学活动是实现课堂教学目标、突破教学难点的载体，设计高效的数学活动应当在充分理解数学、理解学生、理解教学的基础上完成.理解数学以准确地确定本节课的教学目标及教学重点，理解学生为确定教学难点提供保障，利用学生的最近发展区设计问题，而理解教学则是在前两者的基础上设计高效的数学活动，实现教学预设，从而实现高效的课堂.

【关键词】 数学理解;数学活动;教学设计

1 引言

随着课改的不断更新与完善，教师对教材的理解、对新课程理念的认识也逐渐深入，对数学教育的最终目的也有深刻的认识，即发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于发现问题、解决问题的人才.要实现数学“学科育人”的最终目的，关键还是要提升教师的学科理解能力，即章建跃老师的“四个理解”.

实际上，教师充分把握数学知识的整体结构，深入理解数学知识的发生发展过程，围绕促进学生数学知识理解的教学主线进行教学，同时，善于提出具有启发性和挑战性的问题，形成有针对性、有目的性、有阶梯性的高效课堂.“四个理解”对教学的指导作用如图1所示.

下面以浙教版“2.5有理数的乘方”为例，谈谈数学理解能力对数学活动设计的支撑.

2 理解

2.1 理解数学——明确教材编写意图，确定适切的教学目标及教学重点

理解数学，首先是要理解教材，如何正确理解教材编者的意图和教学目标，教材的编排体系和知识结构及教材内部联系和规律是怎样的，如何根据学生实际情况灵活处理教材等.

乘方运算是一种特殊的乘法运算，是几个相同数字相乘的一种特殊乘法，内容在七年级上册第二章，本节主要内容是有理数乘方的基本概念，包括底数、指数、幂的基本概念，乘方与幂的运算表示方法;理解幂的符号法则，会进行有理数的乘方运算，在此基础上会进行一些简单的混合运算.基于以上分析，本节内容的重点为幂的概念及幂的运算.

2.2 理解学生——理解学生原有的知识结构，准确分析教学难点

理解学生，就是理解学生的知识基础、认知特点、学习方式和习惯等，教师只有弄清这些才能做到有的放矢，充分发挥学生在课堂中的主体地位，这就要求教师既要理解数学知识与学生已有数学经验的联系，又要理解当前知识与学生已有认知结构的距离.

小学时，学生已经学习了正数的乘方，如正方形的面积表示为a2，正方形的体积表示为为a3，也能够进行一些简单的乘方运算;进入初中阶段学生学习了有理数的乘法运算，学生掌握了乘法运算的运算法则，也学习了多个有理数的乘法，特别是多个有理数相乘的符号确定法则，这些为学生学习有理数的乘方运算奠定了基础.但是学生对于（-a）n与-an的辨析仍然是难点，也是学生在计算过程中的易错点，基于以上分析，本节课的难点是底数的辨析与相关运算.

2.3 理解教学——设计有效的数学活动，培养学生思维能力

理解教学，是指遵循教学的规律，灵活选择教学活动的组织方式，选择好的内容、合适的内容呈现给学生，设计有效的数学活动来实现教学目标，突破难点.

本节课的教学难点就是底数的辨析与幂的运算，特别是（-a）n与-an的辨析，在运算中也是易错点，那么教师应该设计怎样的数学活动来突破难点，如何让学生在理解的基础上运算，达到不犯错或者少犯错的目的呢？这需要层层递进逐步提出问题，精心设计难度合理的问题串，引导学生思考.

3 设计

3.1 创设情境，引入课题

问题1 假设一张厚度为0.1 mm的纸连续对折始终是可能的，将其对折20次，一共有多少层？对折多少次后，所得的厚度将超过你的身高？

师生活动 师生共同探究，从特殊到一般，从对折1次，2次，……，20次，罗列所得的结果，进而发现这些结果是表示多个2相乘.

设计意图 通过实际问题引入，激发学生探究兴趣，引入本节课要研究的内容，同时也体现了乘方运算是一种特殊的乘法运算，突出算理.

3.2 交流对话，理解概念

问题2 像上面那样表示多个相同的数相乘，有没有简洁一点的表达形式呢？

师生活动 师生共同完成底数、指数、幂的相关概念的介绍，并完成一些针对性的练习，特别是底数为负数或分数时，底数需要加括号，对于类似于“（-7）3与-73”这样易错的问题，教师做针对性的讲解辨析.

设计意图 本节课的难点在于底数的辨析，计算题的易错点也在这，所以课堂教学中应重点强调.

追问 读读下列各数，它们的意义一样吗？

（1）64;  （2）（-6）4;  （3）-64.

師生活动 学生独立思考并完成，若出现错误，教师和同学纠正，重点在于底数及幂的运算的理解.

设计意图 通过设计两个有关（-a）n与-an的辨析，突破本节的难点.

3.3 应用新知，体验成功

问题3 计算：（1）（-3）2; （2）1.53;（3）（-4/3））4;（4）（-1）11.

师生活动 教师和学生共同完成，在运算的过程中注意：（1）计算时提醒学生先把要求的式子写成几个相同因式相乘的形式，把问题转化为多个有理数乘法的计算;（2）底数是小数的可以转化为分数，底数是带分数的要化成假分数;（3）在运算的过程中要先定符号，再用绝对值相乘.

设计意图 理解了幂的意义，进行幂的运算，理解幂既是运算的符号，也可以表示运算的结果.

追问 我们知道有理数的运算首先是确定结果的符号，从上面的计算中你能归纳得出幂的运算结果的符号吗？

师生活动 与学生一起归纳出幂的符号规律.

设计意图 一以贯之地体会有理数的运算法则，体会分类讨论的数学思想.

问题4 1.计算：（1）-32;（2）3×23;（3）（3÷2）3;（4）8÷（-2）3.

2.解决问题情境中的折纸问题.

师生活动 教师和学生一起运算，规范运算步骤，要先让学生分清每一题中有哪几种运算，然后按照运算顺序逐步进行计算.计算时要注意运算顺序：先算乘方，后算乘除;如果遇到括号，就先进行括号里的运算.

设计意图 进一步巩固幂的运算，特别是遇到混合运算时应首先确定运算顺序，将幂的运算纳入到原有的知识体系.对于折纸问题的解决，有效地提升了学生学习兴趣.

3.4 课堂小结，颗粒归仓

问题5 谈谈你对乘方的认识.

师生活动 学生独立完成自己对幂的认识，重点可以从幂的意义、幂的表示、幂的运算等方面来讲，同时从幂中底数的确定，含有幂的混合运算的运算顺序确定等方面来思考本节课的重点、难点、易错点.

设计意图 回顾本节课的所得，对本节知识的重点、难点和易错点做进一步的梳理.

4 思考

4.1 基于理解数学的角度思考课堂引入

本节课的教学中教师采用了教学设计中的课堂引入方案，通过一个看似不可能完成的任务提升学生质疑的能力，提升学生的学习兴趣，也能够让学生感知到乘方运算是一种特殊的乘法运算.让我们再看看下面这种课堂引入方案.

问题1 前面我们一起研究了有理数的乘法运算，请同学们一起回顾乘法运算的运算法则.

追问 我们还学习了多个有理数的乘法运算，那么它的运算符号如何确定呢？

师生活动 师生共同回顾学习有理数乘法法则，特别是运算符号的确定.

设计意图 有理数的乘方是乘法的特殊运算，本节课的学习上位知识是有理数的乘法及多个有理数乘法，有理数的运算与小学的运算最大的区别是符号的确定，一旦学会了确定有理数的运算符号，就将有理数的运算转化为小学的运算，所以运算的关键之处在于确定运算结果的符号，所以回顾运算符号的确定对于本节课非常重要.

问题2 如图2，一正方形的边长为5 cm，则它的面积为________cm2.一正方体的棱长为5 cm，则它的体积为________cm3.

追问 一正方形的边长为a cm，则它的面积为________cm2.一正方体的棱长为a cm，则它的体积为________cm3.

师生活动 学生独立思考，回答以上问题，并得出以上运算实质是一种特殊的乘法运算，并顺势介绍乘方的相关概念.

设计意图 乘方运算是一种特殊的乘法运算，通过熟悉的实际问题引入，让学生感受到特殊的乘法运算的算理.

比较两种引入新课方式，笔者更推崇后一种引入方式，为方便阅读，不妨将前一种引入方式称为“折纸引入”，后一种引入方式称为“复习引入”.“折纸引入”最大的优点就是提出一个悬疑的问题，激发起学生的求知欲，而后学习了本节内容后可以顺利解决，体现了数学来源于生活并应用于生活.同时也具备一个致命的缺点是情境难以理解，增加了学生的思考负担，部分学生也可能因为这个情境无法理解，而导致后面的学习效果大打折扣，即使有能力理解的学生也增加了教学难点.而“复习引入”则情境非常熟悉，完全不用担心增加新的难点;另外，本节课需要用到乘法运算的法则及多个有理数相乘的符号确定方法，通过复习引入可以更好地加深学生印象，为后续乘方运算打好基础，让学生能轻松而不知不觉的进入新课的学习，起点低，入口宽.另外，若仅是起到提升学生学生兴趣的目的，也可以把折纸问题放到应用环节，能够起到相同的作用.

4.2 基于理解学生的角度思考难点突破

本节课的教学难点就是底数的辨析，特别是（-a）n与-an的辨析，教师是如何设计数学活动突破难点的呢？教师主要设计了四个层层递进的数学活动：

通过以上数学活动比较可以看出，教师在突破本节课的教学难点时设计了有效的4个数学活动，从易到难，从概念的源头一步步理解，如辩一辩环节，学生主要从底数的角度思考，学有余力的同学也可以通过计算算出结果，从结果上比较;读一读的活动就更难一点，特别“-64”应读作“6的4次方的相反数”，学生完成了读的任务，即是深度理解它们之间的不同;算一算环节，则是从计算的结果上去辨析;比一比的活动更是将幂的各种不同形式综合比较，进一步加深了学生的印象.

当前，在“双减”的大背景下，更需要教师要对所教内容的理解要到位，否则，若教师对所教數学的内容知识、实质性结构知识等方面有所欠缺，对学生、对教学的理解不够，就会导致对知识的发生发展过程、重点、难点和关键等不甚了了，从而就抓不住内容的核心，设计的数学活动指向性不明，效率不高，教学效果也不理想.

参考文献

[1]范良火等.义务教育教科书数学教学参考书[M].杭州：浙江教育出版社，2021：74-76.

[2]吴增生.用数学发展智慧——基于脑、适于脑、发展脑的数学教学策略[M].南昌：江西教育出版社，2016：154-155.

[3]章建跃.理解数学 理解学生 理解教学[J].中国数学教育（高中版），  2010（12）：3-7.

作者简介 王万丰（1979—），男，江西九江人，中学高级教师，浙江省教坛新秀，人民教育出版社室外编辑.主要进行课堂教学研究及解题教学研究.参与编写人教版八年级下册教材及教师用书，发表论文20余篇.