张 辉，许 娟

（安庆师范大学数理学院，安徽 安庆 246133）

无穷级数理论是“数学分析”[1]课程中非常重要的内容,在现行的教材中已经做了较为全面的阐述，特别是对正项级数的敛散性理论有较为深入的探讨。本文的主要工作是对无穷乘积的敛散性做一些基本研究，这部分内容在现有教材中没有涉及，相关文献[2-4]讨论的也不够具体。作为和无穷级数相对应的一种形式，无穷乘积在许多场合都会遇到，因此一个较为本质的阐述有助于更好地理解无穷乘积的有关特征。

1 无穷乘积敛散性的概念

关于无穷乘积敛散性的基本概念，在不同的教材或讲义中说法不同，但本质上是一样的，本文的定义主要参考文献[5]。

定义1给定数列，称为无穷乘积。

为了更好地刻画无穷乘积的敛散性概念，将无穷乘积的前n项之积记为，并称An为无穷乘积的前n项部分积。

定义2如果部分积数列收敛于A（即=A），则称无穷乘积收敛，并称A为无穷乘积的积，记作。如果是发散数列，则称无穷乘积发散。

有了无穷乘积敛散性的概念后，可以利用定义来判断其敛散性。

例1证明。

证明记，将上式两边同时乘上，则有

一般情况下，部分积数列的极限很难求出，想要通过直接求部分积数列的极限来判断无穷乘积的敛散性非常困难，因此，寻找一些有效的判别准则就尤为重要。

2 无穷乘积敛散性判别准则

在进行敛散性判别讨论之前，首先给出无穷乘积收敛的必要条件，这个结果在文献[4]中有描述，这里给出一个更加简单的证明方法。

定理1无穷乘积收敛于非零值的必要条件是=1。

证明不妨假设=A＞0，则存在N∈ℕ+，使得对于任意的n＞N，有An＞0，则有

注1定理1的结果说明如果无穷级数收敛于非零值，则数列中负数至多只有有限个。为了避免负数带来技术上的混淆，本文只讨论an＞0的情形。

注2对于收敛于零值的无穷乘积级数，定理1的必要性并不一定成立，例如取an=，则有

考虑到无穷级数于无穷乘积之间的联系，可以将无穷乘积改写为指数形式：

由式（1）可以看出

上面的关系式（2）并不是相互等价的，只是一个充分条件，因为如果级数，则无穷乘积收敛到零。为了使级数理论能够更好地应用到无穷乘积上去，下面分两种情形来进行讨论。

情形1当an＞1时，显然不可能出现，因此有

从而，在an＞1情形下关系式（2）便是相互等价的，故可以利用正项级数的判别准则来判定无穷乘积的敛散性，于是可得无穷乘积的极限形式的比式判别法和根式判别法。

定理2（比式判别法）若=q，则当q＜1时，无穷乘积收敛；当q＞1或q=+∞时，无穷乘积发散。

定理3（根式判别法）若=l，则当l＜1时，无穷乘积收敛；当l＞1或q=+∞时，无穷乘积发散。

注3值得指出的是，类似于无穷级数，当q=1或l=1时，上述判别准则无法判别，例如事实上是发散的，但是，因此不能直接利用比式判别法或根式判别法进行判断，对于此种情形可以利用如下的判别法进行判断。

定理4如果正项级数收敛，则收敛。

证明收敛时，利用无穷小的性质，有

情形2当an＜1时，因为可能出现的情形，所以没有关系式（2）所表达的等价形式，利用收敛收敛，则有如下的判别准则。

定理5（1）若=q，则当q＜1时，无穷乘积收敛；（2）若=l，则当l＜1时，无穷乘积收敛。

显然，定理5只给出了q＜1和l＜1时的判别准则，对于q＞1或l＞1时，定理5似乎并没有给出无穷乘积发散的判别准则。事实上，在此种情形下，无穷乘积不可能出现发散的现象。为了更好地阐述此种情形，给出如下定理。

定理6假设数列{an}(an＞0)是一个严格单调递增的数列，则数列{an}一定是收敛于某一个确定的值或者收敛于非正常极限+∞。

证明不妨假设{an}不收敛于一个确定的值，如果也不收敛于+∞，由单调性可知，一定存在M＞0，使得对于任意的n∈N，都有an＜M，即数列有界，而根据单调有界原理可知，数列{an}一定收敛，这与假设矛盾，从而结论成立。

利用定理6可以得到，当an＜1时，级数的敛散性只有两种情形，即收敛于一个确定的值或，再结合式（2）可知无穷乘积一定收敛。

例2考察无穷乘积的敛散性。

分析借助无穷级数的敛散性来考察，由于无穷级数，而

3 无穷乘积敛散性质

通过上述研究发现，收敛的无穷乘积可以转换成收敛的正项级数。一个有趣的问题是能否将收敛的正项级数的一些性质推广到无穷乘积。下面的性质就是正项级数理论中柯西定理的推广。

性质1若无穷乘积与分别收敛于A、B，则无穷乘积收敛于AB。

证明不妨假设和的部分积分别为An和Bn，则的部分积为

由极限的乘积运算性质可知

性质2若无穷乘积分别收敛于A、B≠0，则无穷乘积收敛于。

注4需要指出的是无穷级数的性质不是都可以推广到无穷乘积上去，如无穷乘积与分别收敛，却不能推导出也收敛。

4 结束语

本文从无穷乘积定义出发，通过取对数的方法，将无穷乘积问题与无穷级数关联转化，结合无穷级数理论对无穷乘积的敛散性给出了一些基本且必要的讨论，包括无穷乘积的敛散性判别准则、无穷乘积的敛散性性质等。虽然探讨这些方法和性质的出发点相对比较朴素，但是对于今后进一步深入研究无穷乘积敛散性的理论是非常必要的。