于潮 孙幸荣

【摘 要】教材是教师和学生开展教学活动的核心工具，教师只有把教材的内涵和外延研析透彻，教学才能真正地深入浅出，取得良好的教学效果.因此教材分析就成为教学设计与实施的关键环节.本文主要通过对三个版本教材中“旋转”内容的编排方式、章头导入的图文、培养直观想象素养的题目及数学认知水平四个维度的比较探究，得出一些关于教材编排和教师教学的启示与建议，为今后培养学生直观想象的数学素养提供有效参考.

【关键词】比较研究;旋转;直观想象

引言

我国最新颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）明确强调培养学生的数学素养是至关重要的，其中直观想象是几何部分最为重要的数学素养[1].与平移、轴对称一样，旋转也是实际生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最基本形式之一.它们不仅是探索图形性质，认识、描述物体形状和空间位置关系的重要工具，而且是进行数学交流，以及解决现实世界中具体问题的必要手段.“新课标”中对“旋转”内容的学习有以下明确要求：通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索旋转的基本性质;了解中心对称、中心对称图形的概念，探索他们的基本性质;探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质;认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.

本文初中數学教材选取人民教育出版社九年级上册（以下简称“人教版”）[2]、江苏科学技术出版社八年级下册（以下简称“苏教版”）[3]、北京师范大学出版社八年级下册（以下简称“北师大版”）[4]3个版本，从“旋转”内容的编排方式、章头导入的图文、培养直观想象素养的题目及数学认知水平四个维度进行比较.

1 “旋转”内容编排方式的比较

“旋转”作为图形与几何中的重要内容，在不同版本教材中所占的比重也不尽相同，对学生学习掌握这一部分内容各有什么帮助，对教师在处理教学设计时又有何要求？以及对今后数学教材编写有什么启发[5]？通过比较分析将获得对上述问题更深刻的理解.考虑到三个版本教材中“旋转”这一知识点所在的位置和呈现方式有较为明显的差别，所以，为探究编排者这样安排的目的，本文通过三个思维导图将三版教材中“旋转”所在的章节目录进行了对比，见图1—图3.

从“旋转”内容在教材中的位置来看，人教版在九年级刚开始学习该知识点，而苏教版和北师大版均将其放在八年级来进行学习.

从“旋转”内容在不同版本中的呈现方式来看，除人教版把“旋转”作为一整章内容外，其他两版教材均是与其它内容放在一起进行编排的.而且总体来看，三个版本的教材中关于“旋转”的内容均含有“图形的旋转、中心对称”以及“图案设计”这三部分内容.对于人教版，学生在学习这一知识点之前已经学过了平移、轴对称这两种基本变换，有了一定的变换思想，对猜想、验证等数学活动也有一定感受，这些都为新课学习提供了必备的知识经验，这也体现了“新课标”中“在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则”[6].对苏教版而言，“旋转”与“中心对称图形——平行四边形”一起学习，有利于学生掌握“中心对称”这一重点内容.而北师大版，则是把“图形的平移”与“图形的旋转”安排在一章进行学习，有利于培养学生类比迁移和动手操作的能力.

2 章头导入的图文比较

每个版本的章头图和文字都各有特点，同时也有许多共同点，三版教材中“旋转”所在章节章头导入的图文比较如表1所示.

1.信息量最丰富的是北师大版，图片中有“秋千”“旋转木马”“城堡”等生活中的常见元素，迎合孩子的兴趣爱好，不仅充分展现了生活中的数学美，也与本章题目呼应.

2.文字部分不仅列举了生活中的电梯、风扇的扇叶等与本章知识相关的物品，便于学生展开直观想象进行学习，还在右下角明确标出了本章学习目标，而且层层递进、由易到难，完整概括了整个章节即将呈现的内容，既对教师的教学设计有帮助，又可以深入到学生学习本章的整个过程.但有时也会起到反效果，这可能会助长学生的惰性心理，使其对探索新知缺乏主动性.

3 培养直观想象素养的题目比较

几何作图是本章教学过程中不可缺少的重要组成部分，通过作图可以加深学生对“旋转”的认识和理解，扎实的作图功底和在画图过程中识别的能力、积累的经验都是学生后续解决几何综合问题的知识储备[7].有效的操作活动，不仅有助于把抽象的数学知识形象化，还有利于培养学生直观想象的数学素养.纵观三版教材中“旋转”部分的所有内容，统计出了要求学生作图或动手操作的题目，结果见图4.（其中“教材正文”部分包括“思考、探究、尝试、操作、例题、数学活动、图案设计”等除了习题外所有包含“旋转”的内容，“习题”部分包括“练习、习题、总复习题”等）.

从图4可以看出，人教版和苏教版的“旋转”部分中培养直观想象素养的题目在总体数量上是接近的，而北师大版则明显高于以上两版.而且与其他两版相比，北师大版本章习题中有大量自主设计图案的题目，说明其在培养学生直观想象核心素养的过程中，还注重发散思维和创新思维的提高.

在教材正文中，苏教版比其他两版更侧重于培养学生的直观想象素养，其正文中有明显的“操作、尝试”等标志，这也说明苏教版注重课堂上教师与学生的互动，而且教材正文中与习题中的数量是不相上下的，说明其在课堂上与课余时间对培养学生直观想象素养的时间分配比较均衡，使学生真正成为课堂的主人，而这也正是“新课标”所倡导的.

但是人教版在这一方面的主要特点是：需要学生操作的部分，教材将步骤描述得非常详细了，这样学生完成得就相对轻松一点，如教材64—65页中提到的：

“如图23.2-3，三角尺的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称的两个三角形”，见图5.

虽然这对培养学生直观想象的核心素养有一定借鉴，但对培养学生独立思考和几何操作的能力有所欠缺.

4 数学认知水平的比较

这里借鉴顾泠沅先生的数学认知水平分析框架，他通过“青浦实验”和相关理论研究将数学认知水平分为四个层次，水平1：计算——操作性记忆水平;水平2：概念——概念性记忆水平;水平3：领会——说明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平.水平1、2为较低认知水平，水平3、4为较高认知水平[8].

本文根据学生学习“旋转”所需要达到的数学认知水平层次，对此部分内容的所有习题的数学认知水平层次做出如下界定：

水平1：计算——操作性记忆水平：该层次的认知水平只需学生简单了解“旋转”的过程以及“中心对称”的概念，不需要理解;涉及到的习题则无需动笔就能求解，如“指出旋转中心、旋转角、对称中心”等，只体验解决问题的过程.

水平2：概念——概念性记忆水平：该层次的认知水平要求学生通过相关图形及概念的呈现能够接受“旋转及中心对称”的事实;对于习题，要求学生能够根据题目要求在方格纸上画出简单的旋转后的图形，并能辨别简单的中心对称图形等，体验简单分析、解决问题、动手操作的过程.

水平3：领会——说明性理解水平：该层次的认知水平要求学生通过教材上的操作过程以及相关图形的呈现顺利理解“旋转和中心对称”的事实，并能用自己的语言进行说明;对于习题，要求学生能够根据题目熟练的画出各种旋转后的图形以及中心对称图形，并能解决简单的计算问题，体验分析问题、解决问题、动手操作的过程.

水平4：分析——探究性理解水平：该层次的认知水平要求学生能够综合运用“旋转”和“中心对称”的所有知识点，并可以试图通过举例来对相关问题进行说明;对于一些复杂的、综合性的问题能够根据题目要求理清来龙去脉，熟练的进行解答，学生在探究的过程中完整地体验发现、提出、分析和解决问题的过程.

三版教材中所有与“旋转”有关的习题中需要学生达到的数学认知水平，见表2.

从表2可以明显的看出人教版和北师大版的习题中认知水平3和水平4占比较大，这说明这两版教材更为注重培养学生的高层次数学能力和高层次认知水平，尤其是北师大版，其习题比较注重与实际生活的联系，也重视培养学生的应用意识，如教材90页的第16题和17题，见图6. 16.利用平移、旋转、轴对称设计一个图案，说明你所表达的含义，并在班上展示你的作品. 17.利用一个圆、一个正三角形、通过2次旋转或平移设计一个图案，说明你的设计意图.

这两题考察学生综合性知识的运用，对学生应用意识和创新意识的培养有一定帮助.苏教版的习题中认知水平2和水平3比重较大，其中有大量的作图题，说明该教材对学生的作图能力要求较高，这有利于培养学生的直观想象素养以及数学观察与动手操作的能力.

5 对教学的启示与建议

5.1 对教材编排的思考与建议

第一，根据“新课标”要求，相较于其他两版教材，北师大版的教材编写更有利于学生体验与理解、思考与探索，也更符合学生的认知规律.在七年级安排“基本图形”、“生活中的轴对称”，为八年级学习“图形的平移與旋转”奠定了良好的几何基础，也为九年级即将学习“平行四边形”、“图形的相似”、“圆”等内容做了重要铺垫.北师大版对于初中“图形与几何”内容的安排均衡合理，各部分内容衔接恰当，符合“新课标”所要求的“循序渐进，螺旋上升”的原则.而人教版八年级安排“轴对称”，九年级学习“旋转”、“圆”、“相似”等内容，导致九年级教学难点过于集中，学生学习难度增大.

第二，将“旋转”与“平移”结合起来作为一整章进行编写，这样可以更便于将两者联系起来，有利于培养学生类比迁移的能力和直观想象的素养.这里北师大版教材处理得较为合理，“平移”是学习“旋转”的基础知识，“旋转”是“平移”的拓展和延伸，二者相辅相成.而苏教版将“旋转”与“多边形”结合起来学习，尽管“旋转”是工具性的知识，但这样编写可能会弱化它的存在.

5.2 对教师教学设计的建议

第一，教师应培养学生良好的作图习惯，加强学生对几何图形的认识和理解，在动手画图的基础上适当借助计算机画图软件辅助教学.利用计算机，可以直观地看到图形运动变换的全过程以及运动中的特殊位置，对图形性质的发现和探究很有帮助，这一点在每版教材的“信息技术”板块也都有体现.此外，在课堂上教师应当指导学生利用尺规和其它工具规范作图，培养学生良好的作图习惯，且引导学生课堂与课后学习时间统筹分配，正如苏教版所编排的，教师应尽可能多的在课堂上培养学生动手操作的能力，这样安排，一方面，在课堂上教师可以尽力帮助学生答疑解惑、示范操作;另一方面学生在课后不会因作图不规范而得不到及时纠正.

第二，为了避免范希尔理论所提到的“从一个水平过渡到另一个水平不是平缓的，而是一个跳跃的过程，在到达新水平前，学生会经历一个思维的危机”[9].教师应充分利用教材中的习题，布置习题时选择符合学生认知水平的题目，根据习题的层次合理选择，使学生循序渐进的提升.另外，教材中安排了画图、分析、归纳等探究活动，教师在教学时应充分利用这些资源，重视培养学生观察、发现、比较、归纳等综合能力，从而逐步增强学生的探究能力.

第三，教师在教授“图案设计”这一板块时，应让学生体验和感受图形旋转基本性质的探索过程，进一步培养学生直观想象的数学素养，也可以从日常生活入手，拉近数学与生活的距离，帮助学生积累丰富的数学活动经验.教师还应充分利用教材上的“阅读与思考”板块丰富学生的数学史知识，拓宽学生的数学思维.如在课堂导入环节，教师可以借助课本上的素材资料或有趣的数学活动展开，以激发学生的学习兴趣，充分调动其学习积极性.

以上提出的建议只是一小部分，基于新课标提倡的核心素养理念，培养学生思维能力和创新精神的策略还有很多.数学教材的改善和数学教学的提升是一个漫长的过程，还需要长时间的探索，需要我们继续为之努力，引领数学教育走向新未来.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]林群.义务教育教科书·数学（九年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（八年级下册）[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.

[4]马复.义务教育教科书·数学（八年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[5]叶珂，胡典顺.PEP与MAC教材中数学探究的比较——基于初中“图形与几何”内容[J].数学通报，2017，56（02）：5-10.

[6]印冬建.数学教材分析的基本策略[J].教学与管理，2018（9）.

[7]林群.义务教育教科书教师教学用书·数学（九年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[8]谢红英，刘超.中外初中数学教材中“负负得正”内容的比较研究[J].中学数学，2013（08）：68-70.

[9]苟丹丹.基于范希尔理论的初中数学教材几何思维水平的比较研究[D].天津：天津师范大学，2019.

作者简介 于潮（1998—），女，山东诸城人，硕士研究生，主要从事学科教学（数学）研究.

孙幸荣（1978—），女，湖北蕲春人，教授.主要从事数学教育及应用数学研究.