[福州大学 福州 350108]

一、研究背景

我国地域辽阔，自然灾害种类众多，影响范围广，发生频率较高，对人民生命和财产安全造成严重威胁。应急物资储备库选址及应急资源配置是应急物资供应链上一个重要的环节。合理的应急物资储备库选址和资源配置决策是对灾民实施有效救助的基本保证。

应急物资配置问题是国内外学者广泛研究的课题。针对应急物资储备库选址问题的研究，Erbeyoglu等[1]提出了一个以公平和效率为目标的灾前储备模型，考虑了灾前固定物资储备点和灾后临时物资储备点的选址优化，保证受灾点居民在最近的储备点领取物资，从而提高资源配置的公平与效率。Sheu等[2]提出一种集成三个子网络（避难中心网络、医疗网络、配送网络）的应急供应网络系统，建立一个以运输距离最短、运营成本最小、心理成本最小为目标的三阶段规划模型。Tofighi等[3]提出了一个两阶段人道主义物流网络问题，涉及多个中心储备仓库和本地配送中心选址，利用基于场景的可能性随机规划方法，为德黑兰地震提供适用性决策意见。Zokaee等[4]考虑由供应商、物资分配中心和受灾点构成的三级救灾网络，通过建立鲁棒优化模型来表示需求、供应、成本等参数的不确定性，并利用数值实验来验证不同参数对于救援网络的影响。丛雯婧等[5]建立一个考虑台风情景的区域应急物资储备库选址的多目标模型，以储备库的受灾危险系数、运输成本和储备库到需求点加权距离作为目标函数，对台风进行聚类得到不同情景及发生概率，从而更好地做出应急物资储备库选址决策。王亮等[6]结合中国应对突发灾害时自上而下的组织和调度应急资源的实际情况，提出了一个以上下两级行政关系为主体的物资储备库结构，研究两级应急物资储备库的选址及物资预先配置问题。

针对应急物资库存管理的研究，多是关注应急物资储备库的物资储备水平，特殊应急物资的库存协调策略等。Roni等[7]提出了一种在常规需求和激增需求下的混合库存策略，该模型考虑了对应于两种需求模式的紧急补充和定期补充，为应急物资供应商提供了库存管理方面的决策支持。郭影等[8]将临期回收和响应供给策略借鉴到易逝性应急物资库存管理决策中，以期解决易逝性应急物资存在的过期风险和缺货风险，建立了一个考虑应急物资需求时间不确定的随机库存优化模型，得到最优储备水平并分析临期回收和响应供给策略可能存在的风险和价值增加。Das等[9]考虑到灾后的需求不确定以及通讯网络中断，构建了人道主义物流库存模型，其中介绍了提前期和需求场景的不同组合，以展示模型的可变性。

供应商是应急资源保障体系中重要组成部分，现有考虑供应商参与的研究主要集中在与供应商之间的采购定价协议、供应商选择、政企联合等。Liang等[10]将期权合约引入应急物资供应链管理中，构建了一个期权定价模型，找到可行的价格区间使得供应链上两方都有利可图。董银红等[11]以多源应急物资采购供应链为基础，建立应急物资采购双层规划模型，结合供应商的供应风险，上层以采购供应链收益最大化为目标，下层以供应风险最小化为目标，为政府做出应急物资采购决策提供理论支持。Torabi等[12]提出了一个基于两阶段情景的混合模糊随机规划模型，用于在混合不确定数据下，基于数量柔性契约来确定最优灾前预定位及采购计划。Serel等[13]研究了在应急供应能力不确定的情况下，企业的最优定价和生产库存策略。Hu等[14]研究在救灾物资预先储备的过程中，考虑了供应商的加入以及灾后存在的设施中断风险，对设施选址和库存、供应商选择和救灾物资分配进行决策。张梦玲等[15]建立了一个备灾和灾后救援两阶段的鲁棒优化模型，构建了一个包含多个供应商、多个物资储备库和多个受灾点的物资保障体系，为应对地震灾害提供决策支持。应急资源保障体系中考虑政企联合储备研究中，有基于期权契约同供应商联合储备[16]、基于数量柔性契约的协议企业代储[17]、政府协议补助[18]等，政企联合储备是提高政府物资储备和供应水平的有效途径之一。

现有大多对应急物资布局的研究中，针对物资需求点，仅考虑临时避难所或受灾点一种类型。现实情况中，临时避难所和受灾点为不同类型的应急物资需求点。本文同时考虑临时避难所和受灾点，建立了不确定需求下灾前、灾后两阶段随机规划模型，优化储备库选址、物资预先储存及配送等决策。数值实验中，根据历年登陆福建的台风，构建台风灾害情景，为福建省应急物资储备库选址及物资储备提供决策支持。

二、问题与模型

（一）问题描述

在自然灾害发生后，临时避难所是为灾民提供短期集中安置的场所，受灾点是受自然灾害影响最严重的地点。临时避难所和受灾点均为应急物资的需求点。临时避难所灾民由救援人员转移安置，其住宅遭到损毁，无法在受灾点继续生活。临时避难所为政府救援人员统一管理，其需求易于统计，且周边道路完好，方便物资运输，由应急物资储备库直接配送物资至临时避难所。受灾点灾民的住宅仍可居住，但周边基础设施遭到破坏，灾民需要物资保障基本生活，其需求相对不稳定，不易于统计，且受灾点周边道路存在中断风险，利用灾后物资临时存放点作为中转站，合理配置物资，使灾民的物资需求得到更有效保障。

本文考虑受灾点和临时避难所两种不同类型的需求点，研究不确定需求下应急物资储备库选址及物资储备问题，建立两阶段随即规划模型。第一阶段，即灾前阶段，应急物资储备库选址建设，在每个选定的地址建设一个应急物资储备库，多种类应急物资预先储存于已建设的应急物资储备库。第二阶段，即灾后阶段，应急物资由应急物资储备库运往临时存放点及临时避难所，应急物资临时存放点再将物资配送至受灾点。应急物资临时存放点多为学校、体育馆等公共场地，不存在建设成本，在灾难发生之后被政府征用，政府交付一定的租用费用。下图1为应急物资配置结构图。

图 1 应急物资配置结构图

（二）参数与变量

集合：

J应急物资储备库的位置集合(j∈J)；

Z应急物资临时存放点的位置集合(z∈Z)；

T应急物资储备库的规模大小集合(t∈T)；

S场景集合(s∈S)；

L应急物资种类集合(l∈L)；

Ms情景s下受灾点集合(m∈Ms)；

Is情景s下临时避难所集合(i∈Is)；参数：

kz在位置z的应急物资临时存放点的容量；

ul一单位应急物资l所需的储备空间；

hl预先购置、存储一单位应急物资l所需费用；

cjt在位置j的规模为t的应急物资储备库的固定费用；

cz在位置z的应急物资临时存放点的租用费用；

C用于预先购置物资及储备库建设的总预算；

vl每单位的应急物资l每千米的运输成本；应急物资临时存放处z到受灾点m的运输距离（单位：千米）；

δzm应急物资储备库j到应急物资临时存放处m的运输距离（单位：千米）；

βjz应急物资储备库j临时避难所z的运输距离（单位：千米）；

αji应急物资储备库j临时避难所i的运输距离（单位：千米）

q受灾点及临时避难所i的需求未被满足时的惩罚系数；

ps情景s的发生概率；

Fc应急物资储备库的选址建设费用；

Ic应急物资预先购置、储备费用；

Hc灾后阶段应急物资临时存放点的租用费用；

Tc应急物资的运输费用；临时避难所和受灾点的需求未被满足的惩罚成本。

Qc临时避难所和受灾点的需求未被满足的惩罚成本。

决策变量：

第一阶段决策变量：

Xjt规模为t的应急物资储备库j建设则为1，否则为0；

Njl在应急物资储备库j预先储备的应急物资l的数量。

第二阶段决策变量：

中间变量：

（三）模型构建

目标函数中：

本文提出的数学模型是一个两阶段的随机规划模型。目标函数包括：目标函数（14）表示应急物资储备库的选址建设费用；目标函数（15）表示应急物资预先购置、储备费用；目标函数（16）表示灾后阶段应急物资临时存放点的租用费用；目标函数（17）表示应急物资的运输费用；目标函数（18）表示临时避难所和受灾点的需求未被满足的惩罚成本。约束（2）表示应急物资储备库预先储备的物资体积不大于其容量；约束（3）表示应急物资预先储备物资及应急物资储备库建设费用小于等于其灾前总预算；约束（4）表示针对同一个应急物资储备库候选地，至多建设一种尺寸的应急物资储备库；约束（5）表示应急物资临时存放点z的容量限制，即从储备库运来应急物资临时存放点的物资体积小于应急物资临时存放点的容量；约束（6）表示由应急物资储备库运往临时存放点以及避难所的物资的数量小于等于其预先储备的数量；约束（7）表示由应急物资储备库运往临时存放点的物资的数量大于等于由临时存放点运往受灾点的物资的数量；约束（8）表示受灾点对物资的总需求量等于未被满足的量加上由临时存放点运来的量；约束（9）表示临时避难所对物资的总需求量等于未被满足的量加上由储备库运来的量；约束（10）表示各情景发生概率之和为1；约束（11）表示为0～1变量；约束（12）表示为0～1变量；约束（13）表示各决策变量及中间变量都为非负。

（四）模型求解

随机规划问题由于其随机性的存在，不易求解。对于离散型随机规划问题，可转换为一个确定性的线性或非线性问题，之后利用确定性规划问题的理论与算法来求解。对于连续型随机规划问题，常用的方法有逼近算法和分解算法。本文提出的两阶段随机规划模型中，随机变量为离散型随机变量，可将问题等价为一个线性整数规划问题，利用线性规划软件求解。本文利用MATLAB中调用yalmip工具包，yalmip作为一种建模工具，可以实现建模和算法的分离，在模型描述完成后，再调用cplex求解器进行模型求解。

三、数值实验

（一）实例背景

福建省位于我国东南沿海地区，自然灾害以气象灾害为主，特别是台风。福建全省大部分地区受台风的影响，台风对全省的经济、人口、基础设施都造成威胁。

福建省下辖福州、厦门、泉州、漳州、莆田、龙岩、三明、南平、宁德9个地级市。《福建省“十二五”现代物流业发展专项发展专项规划》中指出，“十二五”期间福建省重点新建了福州中央救灾物资储备库，形成以福州市省级救灾物资储备库为核心，以泉州、厦门、漳州、宁德等9个地级市为主体，各县为补充的应急物资储备保障体系。

根据中国气象局热带气旋资料中心网站（http://tcdata.typhoon.org.cn）所发布的1949～2018年台风数据以及福建省的经纬度范围，获得了1949～2018年登陆福建省境内的台风、强台风和超强台风的最佳台风路径，共46条，如图2所示。这46条台风的序号、编号，台风名称如表1所示。

表 1 台风序号、编号及名称

图 2 1949～2018年福建省境内的台风，强台风和超强台风最佳路径图

（二）台风路径聚类与台风情景划分

从K-means算法的思想中可以看出，K-means聚类算法以数据对象之间的距离作为指标，数据对象之间的距离越近，其相似度越大。故若对台风路径进行K-means聚类，就要得到每条台风路径之间的距离。本文中利用的数据来自中国气象局热带气旋资料中心网站所发布的台风路径数据，其中包含了每条台风路径每6个小时的经纬度位置。本文计算每条台风路径之间的距离方法如下：有两条台风路径A和B，首先计算台风路径A上的一个经纬度位置a1,到台风路径B上的每一个经纬度位置的距离，找出其中最小距离作为a1到台风路径B的距离，然后，依次找出台风路径A上的每一个经纬度位置到台风路径B的距离，最后，对这些距离取平均值作为台风路径A到台风路径B的距离。通过上述方法计算得到每条台风路径之间的距离，之后对台风路径进行聚类分析。

本文将台风路径聚类个数定为4类，通过K-means聚类方法，得到聚类结果为如下：

每一类中包含的台风路径数分别为17，4，13，12，根据每一类里的台风路径数来确定不同台风情景的发生概率，分别为0.369 6，0.087 0，0.282 6，0.260 8。

（三）参数设置

台风灾害后，灾民被转移安置在临时避难所，或仍居住在受灾点。在受灾点住宅和基础设施尚未修复之前，为保证临时避难所和受灾点灾民的日常生活，政府需要为灾民提供基本的应急物资。本文考虑三种应急物资，分别是饮用水、方便食物、棉服。这三种应急物资的单位体积、单位预购和储存成本、单位运输成本如表2所示。

表 2 三种应急物资的单位体积和单位预购和存储成本

假设在备选地可以建设三种规模的应急物资储备库（小型，中型，大型），三种不同类型储备库的建设成本以及容量如表3所示。

表 3 应急物资储备库的建设成本和容量

灾前应急物资储备库建设和物资储备的总预算为2000万元。假设在灾害发生之后，每个应急物资临时存放点被选定之后，其容量为5万立方米，租用费用为5万元。

福建省下辖福州、厦门、泉州、漳州、莆田、龙岩、三明、南平、宁德9个地级市，各地市人口见表4。

各地市之前的距离见表5。

表 4 福建省各地市人口（2017年数据）

表 5 福建省各地市之间的距离（公里）

假设台风灾害发生14天后，受灾点的基础设施、灾民住宅修复建设完毕，灾民不再需要应急物资来保障基本生活。以14天为周期为灾民提供应急物资，饮用水和食物作为维持生命的必需品，每人每天对饮用水的需求为1.5升，对方便食物的需求为1千克；每个灾民对于棉服的需求为7套。福建省9个地级市为潜在的受灾点和临时避难所。假设每个地级市的总受灾人口为总人口的0.1%。不同的情景下，不同地级市灾民处于受灾点或临时避难所的人数不同，其数量根据受灾程度而定，受灾程度受情景中台风路径距离影响。与情景中多条台风路径平均距离最近的地级市，其安置在临时避难所的人数比例为90%，在受灾点的人数比例为10%，以此类推，与情景中多条台风路径平均距离最远的地级市，其安置在临时避难所的人数比例为10%，在受灾点的比例为90%。例如，第一个情景中，福州市与情景中多条台风路径距离为3 064.5 km，厦门市与情景中多条台风路径距离为3 168.7 km，莆田市与情景中多条台风路径距离为3 082.6 km, 三明市与情景中多条台风路径距离为3 177.8 km, 泉州市与情景中多条台风路径距离为3 112.9 km, 漳州市与情景中多条台风路径距离为3 203.9 km，南平市与情景中多条台风路径距离为3 139.4 km，龙岩市与情景中多条台风路径距离为3 243.7 km，宁德市与情景中多条台风路径距离为3 060 km。故其中距离最近的为宁德市，距离最远的为龙岩市。为了更贴合实际，受灾点和临时避难所需求服从以据上述数值计算得到的需求为均值，以1 000为标准差的正态分布。

（四）算例结果分析

在MATLAB中安装yalmip，yalmip作为一种免费的优化求解工具，其集成许多外部的最优化求解器，形成一种统一的建模求解语言，实现了建模和算法二者的分离。本数值实验中运用yalmip建模，调用cplex12.8求解模型，情景数S=4，惩罚系数为500，平均运算时间为2秒。各地市建设应急物资储备库及预先储存各类物资情况见表6。

表 6 各地市建设应急物资储备库及预先储存各类物资情况

目标函数值为3 129.9万元，其中应急物资储备库选址建设及物资储备费用为2 000万元。结果表明，在福州市和泉州市建设大型物资储备库。从地图上可以看出，福州市和泉州市分布于福建省南北方向，且都沿海，遭遇台风的可能性以及损害程度更大；并且这两个地级市的人口排在福建省内的前两名，两个地级市的总人口数占福建省总人口数的三分之一。在这两地建设应急物资大型储备库。首先，作为人口数较多的地级市，可以在台风灾害之后，满足本地居民的需求；其次，从地理位置上来说，这两地位于福建省内南北两个方向，建设大型应急物资储备库后，可以及时为其他地级市提供物资。

本文中经济成本和惩罚成本存在冲突，即经济成本的增加或者减小会造成惩罚成本的减小或增大。本模型中的经济成本包括灾前应急物资储备库选址建设费用，物资购置储备费用，以及灾后应急物资临时存放点租用费用，物资的运输费用。以式（19）代替式（1），研究风险权重μ的变化对于经济成本、惩罚成本和总成本的影响。

分别设置μ=0,0.1,…,0.9,1，求解模型。可得到经济成本与惩罚成本的变化曲线，见图3。从图中可以看出，当风险权重从0增加至1，经济成本由0增加至2 502.3万元，惩罚成本减少99.94%。随着风险权重的增大，需要投入更多资金建设应急物资储备库以及购置储备物资，从而降低物资短缺的风险。

不同的风险权重下，经济成本、惩罚成本和总成本的变化趋势，如图4所示。

图 3 经济成本与惩罚成本的变化曲线

图 4 经济成本、惩罚成本及总成本的变化曲线

风险权重对于经济成本、惩罚成本及总成本的影响可以分为三个阶段，分别是[0, 0.2]，(0.2,0.9），[0.9, 1]。当风险权重从0增加0.2，投入1 570.6万元经济成本，可以降低82.96%的惩罚成本；当风险权重在（0.2, 0.9）范围内取值，经济成本和惩罚成本无显著变化，总成本达到最小；当风险权重从0.9增加至1，增加6 826.2万元的经济成本仅可降低0.03%的惩罚成本。结果表明，适当考虑需求不满足的惩罚，可以降低物资供应不足的风险，但过度追求风险最小，需要投入大量资金以建设应急储备库和购置储备物资，若长时间内未出现自然灾害，易造成物资的浪费。在实际应用中，风险权重可表示为区域的重要程度，决策者可通过区域的人口密度、地理位置等情况来综合衡量区域的重要程度，从而确定风险权重，并基于本文模型，获得最优的资金投入量。

在应急物资配置中，预算的设置对于管理决策有所影响。关于预算变化对于应急物资储备库选址建设及物资购置费用、物资运输费用、应急物资临时存放点租用费用及需求未满足惩罚成本的影响，如图5所示。从图5中可以看出，当预算增加25%，应急物资储备库选址建设及物资购置费用提高约20%；灾后物资临时存放点租用费用提高约50%；灾后物资运输费用降低约40%；需求未满足惩罚成本降低100%，即当预算增加25%时，达到2 500万元，需求可以被完全满足。若预算继续增加，各种费用及惩罚成本无明显变化。若预算减少，各种费用均减少，惩罚成本呈现出迅速增长的趋势。

图 5 不同预算下各种费用及惩罚成本的变化趋势图

四、结论

在实际情况中，临时避难所和受灾点作为物资需求点存在差异性。本文同时考虑临时避难所和受灾点，规划应急物资分配结构图，研究在不确定需求下应急物资储备库选址及物资储备问题，建立了基于情景的两阶段随机规划模型。利用1949～2018年登陆福建省的台风路径数据，对其聚类得到不同台风情景，从而进行算例分析，算例结果帮助福建省内应急物资储备库的最优布局、物资储备及物资配送等决策提供借鉴。结果表明，在福建省福州市和泉州市应建设两个大型应急物资储备库，并储备一定量的物资；避免物资短缺或物资浪费，要合理考虑风险权重，以达到物资配置最优。下一步研究方向，模型中可以考虑应急储备库的安全性，结合灾害强度以及受灾可能性，将应急储备库选址合理性进一步提高。