钱大林 叶立军

摘    要：一元二次函数是基本初等函数，是迁移学习其他多项式函数的基础. 为帮助学生实现从“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思维的跨越，教师应立足教材和学情，通过问题驱动、特值导引、设定基本量、整体代换、关注结构、学以致用等环节，循着学生思维发生、发展的“故事”，让学生亲历对运算对象的理解过程，调动学生参与运算的积极性，从而提升其数学运算能力.

关键词：函数求值;学生的“故事”;数学运算

运算能力是高中生应该具备的一种重要能力，也是数学运算核心素养中的关键内容.在运算方面，学生的“故事”就是运算思维的具体呈现，是对运算对象的理解过程，也是对运算法则的使用和展开过程.要讲好学生运算方面的“故事”，就是要讲好优秀运算思路的形成过程;就是要通过驱动性“问题链”，帮助学生自主辨析、独立思考的过程;就是要发掘运算成果的“因子”，调动学生参与运算的积极性，培养数学运算素养的过程.当前针对数学运算方面问题的讲评，缺少“对焦”学生的“真学情”“真水平”，忽视学生思维发生、发展的“故事”，难以实现从“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思维的跨越.下面笔者以一道函数求值题的教学为例，立足讲好学生的“故事”，从教学准备、教学实施及教学思考三方面谈谈经验.

一、教材及学情分析

（一）教材分析

本节课是人教A版（2019）普通高中教科书《数学》必修第一册第二章第三节《二次函数与一元二次方程、不等式》的习题课.主要展示一道有关高次多项式函数的拓展探索题的解题过程.这既是对二次函数学习的巩固，又是对一元二次函数学习的拓展迁移，还能对后续内容（其他的函数、方程以及不等式）的学习起到承上启下的作用.目的是让学生在确保解答正确的基础上，对代数式进行变形转化，简化运算，提升运算能力.

（二）学情分析

在本节课教学前，学生已经会解答类题：已知[f（x）=ax2+bx+c  （a<0）]，其中[a]，[b]，[c]为常数.若[f（-1）=f（3）=0]，解不等式：[bx2+cx+a>0].学生能指出该题中“-1，3是关于[x]的方程[f（x）=0]的两个根”，并且得到[f（x）=a（x+1）][（x-3）] ，从而获得原不等式的解集.学生初步有了通过“同构式”去构造函数的活动体验.当把问题拓展到四次多项式函数，并考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养时，笔者发现学生仅停留于代入消元的解题层次，对整体代换以及利用“同构式”去构造新函数的方法则使不上劲.检测结果显示该题的难度系数为0.21左右，学生的表现比预期要差许多.

（三）教学目标

1.能依据代数式的具体特征，合理变形转化，优化运算方法.

2.借助一道函数求值题的解题过程，体会问题解决的化归思想和函数方程思想.

（四）教学重、难点

重点：运用“基本量”表示和利用“同构式”构造函数两种方法求函数值.

难点：理解并掌握利用“同构式”构造函数的方法求函数值.

二、教学实施

（一） 问题驱动，引发学生深度思考

问题1   设[f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，]其中[a]，[b]，[c]，[d]为常数.如果[f（1）=10]，[f（2）=20]， [f（3）=30]，求[14[f（4）+f（0）]]的值.

学生根据条件[f（1）=10f（2）=20f（3）=30] ，容易得到间接条件[a+b+c+d=9      （1）8a+4b+2c+d=4        （2）27a+9b+3c+d=-51  （3）]，理解目标式[14[f（4）+f（0）]=][14（256+64a+16b+4c+2d）].接下来，学生只需要利用变形转化，就可以实现目标对接.

教学说明：通过审题发现，本题需要打通两个节点：第一，如何破解只提供三个方程四个未知数的方程组问题;第二，如何从二次多项式函数的交点式迁移到四次多項式函数的交点式，实现快速求值.通过问题驱动，引发学生深度思考.

（二） 特值导引，探寻运算路径

问题2   根据“问题1”中学生得到的间接条件（1）（2）（3），如何求64a+[16b+4c+2d]的值？

基于初中解方程组的经验，学生知道，通过三个方程是无法逐一确定四个未知量的具体值的.有学生说，可以用特值代入的方法尝试：令[a=0]，通过代入消元，解得[b=-25]，[c=70]，[d=-36]，得到目标式[14[f（4）+f（0）]=][14（256+64a+16b+4c+2d）=16].

问题3   我们总得有理由，为什么可以令[a=0]？类比之下，我们是否也可以令[a]，[b]，[c]，[d]四个量当中任何一个为特殊值0或1？如令[b=1]，请大家动手试试，结果又是如何？

通过计算，学生发现结果仍然为16.

教学说明：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达.”即教师要创设问题情境，通过追问，启发学生积极思考，让学生自主发现解题的线索，决不把最终结果端出来.在本题中，就是如何设定基本量、探寻降元路径，帮助学生突破“四个未知数，只有三个方程”的认知难点.

（三）设定基本量，探寻降元路径

问题4   谁能揭示上述运算背后的道理？

由于多了一个未知量，多数学生认为要去掉一个为好，但不明白令[a=0]的真正原因.但令人高兴的是，还是有学生发现该方程组[a+b+c+d=98a+4b+2c+d=427a+9b+3c+d=-51]不可能穷尽未知量所有的具体值，于是想到了把[a]当作基本量，通过降元，把原方程组转化为三个未知量的方程组，解得[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a]，所以[14[f（4）+f（0）]=] [14（256+64a+16b+4c+2d）=16].

问题5   请大家思考上述两种不同的运算方法，你能发现这两种运算路径存在着的某种联系吗？

学生经过比较后发现：令[a=0]的求值依据隐藏在[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a]步骤中.因此，用[a]，[b]，[c]等基本量表示是一条普适性的运算路径.

教学说明：从特值代入，到为了降元设定基本量“[a]”，学生领悟到了[a]，[b]，[c]，[d]任意三个未知量均可以用第四个量来表示的理性认识.设定基本量可以让所有的元素都联系起来，实现了化简求值的目的.如此，可让学生的思维从具体理性走向一般理性.

（四）整体代换，力求整体化解决问题

问题6   本题的求值运算，你还有补充的方法吗？

经过思考，学生想起了一道以前做过的类题：已知[f（x）=ax2+c]，且[-4≤f（1）≤-1]，

[-1≤f（2）≤5]，求[f（3）]的值.把[f（3）]整体表示为[f（3）=][83f（2）-53f（1）]，于是类比：令[f（4）+f（0）=][mf（1）+nf（2）+kf（3）]（m，n，k为常数），但发现待定的m，n，k的值找不到.

问题7   在尝试解决问题时，如果我们能联想到更为简单的类题，可以说离成功就不远了.大家动手试一试，看看能否绝处逢生？

笔者与学生一起观察，帮助其进一步理解运算对象：[f（4）+f（0）=256+64a+16b+4c+2d]，学生发现[64a+16b+4c+2d]是影响上述代数式取值的关键量.于是，令[64a+16b+4c+2d=][mf（1）+nf（2）+kf（3）]（m，n，k为常数），学生很快通过比较系数的方法得到m=4，n=-6，k=4，所以[64a+16b+4c+2d ][=][4f（1）-]

[6f（2）+4f（3）=64]，即[14[f（4）+f（0）]=16].

教学说明：学生领悟了用新的基本量[f（1）]， [f（2）]， [f（3）]表示目标式的合理性，巩固并提升了学生用基本量进行多元表征的能力.

（五）关注结构，探寻同构化路径

问题8   请大家观察下面两组函数值，你能用一个等式来概括它们吗？

（1）若[f（1）=1]，[f（2）=2]，[f（3）=3]，则[f（x）=]_______________.

（2）若[f（1）=10]，[f（2）=20]，[f（3）=30]，则[f（x）=]______________.

学生理解了题意， 并分别写出：

（1）[f（x）=x，x∈1， 2， 3];（2）[f（x）=10x， x∈1， 2， 3]

问题9   等式[f（x）=10x， x∈1， 2， 3]，好像在说什么话，大家能否换一种新的表达方式？

学生回答：1，2，3分别是关于x方程“同构式”的三个不同实根.

问题10   这一新的具体发现有何利用价值呢？

通过启发并类比了一元二次函数的交点式，令[f（x）-10x=][（x-1）（x-2）（x-3）（x-t）]（[t]为方程的第四个根），则[f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-t）+10x]，所以[f（4）=64-6t]， [f（0）=6t]，代入得：原式=16.

教学说明：教师可以顺势揭示这些奇妙构思的源头，是基于相同结构的式子[f（1）=10]，[f（2）=20]，[f（3）=30]，我们称之为“同构式”，并指出利用“同构式”构造函数的方法有利于解答一些复杂的问题.

（六）拓展思考，学以致用

问题11   设[f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d]，其中[a]，[b]，[c]，[d]为常数.如果[f（-1）=f（3）=0]，则[9（a+b）-3c+5d]的值为_________.

学生都能很快地理解题意，从同构的角度，指出“-1，3是关于[x]的方程[f（x）=0]的两个根”.于是将高次的代数式分解为两个低次代数式的乘积，即[x4+ax3+bx2+cx+d=] [（x2-2x-3）（x2+mx+n）][（m， n∈R）]，展开后比较系数得[a=m-2，] [b=n-2m-3]，[c=-2n]

[-3m]，[d=-3n]，达到了[a]，[b]，[c]，[d]都用基本量m，n表示的目的，解得[9（a+b）-3c+5d=-45].

教学说明：教师应该至少有一两次不仅要教会学生怎样更简便地解题，还要指出如何能从答案本身中去找出指向一个更简便解法的线索[1].关注过程教学，坚持学为中心、自然生成[2]、学用结合的教学思路，有利于调动学生积极参与运算的热情.

三、教学反思

（一）为什么要讲好学生的“故事”

涉及学生现实问题的“故事”的学习一定是生动的学习.本节课通过引导学生求值運算思路发生、发展的“故事”，帮助学生亲历了运算对象[f（4）+f（0）]的理解过程，使其运算思路经历特值代入—基本量表示—整体化处理—同构化构造的优化过程，生动、自然地化解了学生的学习困难，帮助学生领悟了数学算理，较好地提升了学生的数学运算能力.

（二）讲好学生的什么“故事”

在数学运算方面，学生的“故事”就是学生对一个个运算对象和算理的理解过程，是学生对一个个运算法则使用的过程，也是学生对一个个运算思维进行优化的过程.本节课以运用“基本量”表示和利用“同构式”构造函数两种方法求函数值的学习为主线，以领悟化归思想和函数方程思想为暗线，讲了学生运算思维自然发生、发展的“故事”，学习了有关“基本量”表示和利用“同构式”构造函数的新方法，化解了学生在理解运算方法上的受阻点，突破了学生在求异思维上的理解难点，以帮助学生养成一丝不苟、严谨求实的运算习惯.

（三）怎么讲好学生的“故事”

讲好学生的“故事”，首先教师需要创设合适的教学情境，让学生在情境中理解数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义[3].数学中的数与式，因其符号的抽象性、概括性，往往给学生带来比较大的“距离”感.本节课立足于学生的真实问题情境，为了把握方程组所蕴含的数学意义，从教学开始就顺应“特值代入”的求值思路，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，帮助学生领悟“变形转化”背后的方程思想.

其次，遵循“最近发展区”的原理，创设驱动性“问题链”.创设驱动性“问题链”，能有效激发学生参与数学运算的热情.本节课通过“问题4”，帮助学生初步掌握了“基本量”表示的策略，即目标式[64a+16b+4c+2d]既可以用[a]（或[b]，[c]）等基本量表示，又可以用[f（1）]，[f（2）]，[f（3）]等基本量表示，深刻体会“基本量”法是数学运算中一条普适性的路径.

再次，要发掘学生的成果“因子”，调动学生参与运算的积极性.针对解题技能和数学思想方法的教学，不能急于求成.教师要有足够的耐心，给足学生思考的时间和空间.本节课，笔者从顺应学生“特值代入”的思路开始，当学生在“想”与“算”的环节上有不完整甚至错误时，仍然肯定学生思维的成果“因子”，并且留足时间，通过追问，循序渐进地帮助学生抽象、概括“基本量”表示和利用“同构式”构造函数求值的方法.学生则用心、用情体验了一系列运算思路的自然发现过程，感悟了运算路径的自然加工过程、优秀运算思路的自然生成过程.由此，笔者也顺利调动了广大学生参与运算的积极性.

学生的“故事”是鲜活的、宝贵的教学资源.教师应讲好学生的“故事”，立足学生的真实问题情境，循着学生的思维发生、发展，诊断学生对运算对象的理解过程、运算思路的选择优化过程、错误思维的纠偏过程，帮助学生经历“想”与“算”的过程，深入理解算理，走出认知困境，形成数学思想和方法，让数学运算成为学生的基本学习能力.

参考文献：

[1] G.波利亞.怎样解题：数学思维的新方法 [M].上海：上海科技教育出版社，2007：54.

[2] 叶立军.培养数据分析能力   发展数学核心素养[J].中学数学教学参考，2020（11）：71.

[3] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2018：10.