文 李建华

方程（组）是刻画现实世界有效的数学模型，作为“方程家族”中的一员，二元一次方程（组）延伸和拓展了一元一次方程所学过的知识，在现实生活中有着广泛的应用，也是中考数学试题中的“常客”。在本章的学习过程中，我们不妨从中考的典型问题出发，抓住“消元”为主线，铭记“转化”是关键，以不变应万变，从而解决问题。接下来，就开始我们的探索之旅吧！

一、二元一次方程组的解法

例1（2020·广西玉林）解方程组：

【分析】观察方程组未知数的特征，不难发现两种解题思路：（1）用代入消元法，注意方程组中第1 个方程中未知数x 的系数为1，可用含y 的代数式表示x，代入第2 个方程消去x，得到一个关于未知数y 的一元一次方程，从而可解；（2）用加减消元法，在第2 个方程的两边同时乘3，与第1 个方程相加，可以消去未知数y，得到一个含有未知数x 的一元一次方程，从而可解。

解：（解法1）

由①，得x=3y-2，③

把③代入②，得2（3y-2）+y=3，

解这个一元一次方程，得y=1，

把y=1代入③，得x=1，

①+②×3，得7x=7，

解得x=1，

把x=1代入①，得y=1，

【点评】本题考查了二元一次方程组的常见解法（代入消元法与加减消元法），两种方法都可以达到“消元”的目的，转化为一元一次方程求解。我们在解这类问题时，应仔细观察，注意方程的特征，灵活运用所学方法消去未知数，以达到简化运算的目的。

例2（2020·江苏南京）已知x、y 满足方程组则x+y的值为_____。

【分析】①+②×2 得5x+5y=5，两边同除以5 即可求得x+y=1。故答案为1。

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法。除了利用常规解法，我们还可以根据方程组的特点，利用“整体思想”来解决本题，这也恰是本题的考查目的。

二、用二元一次方程（组）解决问题

例3（2020·湖北黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两。问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5 头牛、2 只羊，值19 两银子；2 头牛、5 只羊，值16 两银子。问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能。

【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y 两银子，根据“5 头牛、2 只羊，值19 两银子；2 头牛、5 只羊，值16 两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）可设购买a 头牛，b 只羊，根据买牛和羊用19 两银子（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），列出方程，再根据求二元一次方程的整数解即可求解。

解：（1）设每头牛值x 两银子，每只羊值y两银子。

答：每头牛值3 两银子，每只羊值2 两银子。

（2）设购买a头牛，b只羊。

因为a、b 都是正整数，所以，商人有3 种购买方法：①购买1 头牛，8 只羊；②购买3 头牛，5 只羊；③购买5 头牛，2 只羊。

【点评】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出问题中的相等关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键。本题源自数学名著《九章算术》，而在我国其他数学著作中也有很多关于二元一次方程（组）的应用问题，同学们可以查阅相关材料，了解我国古人对数学文化的贡献。

三、一次方程组的综合运用

例4（2020·江苏扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y 满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值。

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大。其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19。这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。

解决问题：

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需32 元，买39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需58 元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算。已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_____。

【分析】（1）由利用①-②可得出x-y的值，利用（①+②）÷3 可得出x+y的值；

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需32 元，买39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需58 元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论；

（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，可得出a+b+c的值，即1*1的值。

解：（1）

由①-②，得x-y=-1，

由（①+②）÷3，得x+y=5。

故答案为-1，5。

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，

由2×①-②，可得m+n+p=6，

∴5m+5n+5p=5×6=30。

答：购买5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需30元。

由3×①-2×②，得a+b+c=-11，

即1*1=-11。

故答案为-11。

【点评】本题考查了一次方程组的综合应用，解题的关键是运用“整体思想”求解。本题的第（3）问要利用新定义列出方程组，为解决问题增加了难度，但万变不离其宗，同学们只要紧紧抓住问题的本质，选对解法，便能以不变应万变。