□程红霞 章勤琼

“小数除法”是小学阶段“数的运算”的重要内容，其本质是将逐步平分不同数位上计数单位总数的过程从整数部分扩展到小数部分。在实际教学中，有些教师比较注重从整数除法迁移到小数除法，再讨论小数点的处理问题，对于计数单位细分的算理却一带而过。这样的教学不利于学生理解小数除法的本质，不利于提升学生的运算能力。小数除法的教学应关注哪些本质与内涵？设计怎样的学习任务才能帮助学生更好地理解小数除法的本质？教师可以尝试从基于学习路径分析的单元整体教学的视角去思考小数除法的学习。

一、理解单元学习目标

（一）单元内容概述

北师大版教材和人教版教材都将“小数除法”单元设置在五年级上册，它们的教学目标定位如下。

北师大版：结合情境或模型，经历探索算法的过程，理解小数除法算理；能解决简单的小数除法实际问题；能正确计算小数除法和小数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），并掌握、了解一些与小数相关的内容，如估算判断小数乘（除）法结果的合理性，发展估算意识，求积（商）的近似值，了解循环小数。

人教版：掌握小数除法的计算方法，能正确计算；掌握一些与小数除法相关的内容，如会用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”得到商的近似值，认识循环小数、有限小数、无限小数；能用计算器探索计算规律，能应用规律进行一些小数乘除法的计算；会解决小数除法的简单实际问题。

对比两个版本的学习目标，可以看到都涵盖了以下内容：理解小数除法算理，掌握竖式计算；掌握一些与小数除法相关的内容；会解决简单的小数除法实际问题。

（二）单元核心目标

本单元核心目标是理解小数除法算理并掌握竖式计算方法。

首先，理解小数除法算理与掌握竖式计算是单元学习的基础，掌握了该内容才能进行后面的学习与研究。

其次，算理理解与算法掌握是运算能力的一体两翼，两者相辅相成，不可偏废。在算理理解方面，小数除法的算理与整数除法的算理相比既有一致性又有差异性，而差异性就是学生学习的重难点；在算法掌握方面，不能简单地将竖式计算仅仅看作一种标准算法，而应该沟通平分模型、横式算理、竖式记录三者之间的联系，使竖式的学习成为一座通向关联与结构的“桥梁”，凸显竖式的作用与价值。

（三）核心目标具体化

核心目标分为两个方面：算理理解和算法掌握。前者为后者奠基，两者具有高度的关联性。

1.借助现实情境和生活模型理解算理

有鉴于小数除法算理理解的抽象性，本单元的学习要先借助现实情境和生活模型，从直观和具象中进入学习，再抽象出一般化的小数除法计算方法。所以，算理理解的内涵具体为：在小数除法运算中，借助现实情境中的“元、角、分”“米、分米、厘米”等进率是10的单位换算来揭示算理，使学生能结合具体的操作活动理解计算过程，为算法抽象打下基础。

2.在理解与联系的视野下建构竖式记录的意义

在竖式计算的学习中，学生需要突破几个理解难点才能有效实现竖式的意义建构。

首先，要理解小数除以整数（被除数无须补0）竖式记录的算理关键点：整数部分有余数时，可以将余数换算成十分位上的计数单位，并与十分位上原有的计数单位合并后再除。其实质是计数单位细分从整数部分到小数部分的扩充与延续。

其次，要理解除数是整数的小数除法（被除数末尾需要补0）竖式记录的算理关键点：小数（整数）除以整数时，有时会碰到被除数的位数不够除的情况，需要先补0进行数位扩充，再将最后的余数换算成下一级的计数单位继续往下除，其实质仍是逐步细分计数单位。

最后，要理解除数是小数的小数除法竖式记录的关键在于体会转化思想，其实质是被除数和除数同步转化后的计数单位细分。

因此，小数除法竖式计算的内涵具体为：借助实际情境和操作过程，理解小数除法就是在逐步细分计数单位，从整数部分的计数单位细分走向小数部分的计数单位细分；理解整数除法、小数除法竖式记录的一致性，实现除法运算的进一步扩充。

二、确定学习起点

为了解学生的学习起点，我们对四年级两个班96名学生的小数除法掌握水平进行了前测。基于核心目标具体化的分析设计了相应的评价任务，并结合学生的答题情况对其掌握水平进行统计、分析、层次划分，设计了小数除法掌握水平表现性评价框架（如表1）。

前测题的任务设计、设计意图如表2。

表2 小数除法掌握水平前测任务设计及设计意图

前测题的答题情况能清楚地表明该学生处于哪个水平层次：无法答对任何题目的属于水平0，有11人，约占比11.5%；只能答对任务一的属于水平1，有59人，约占比61.5%；能答对任务一和任务二或任务三的属于水平2，有18人，约占比18.8%。

处于水平1的学生基本能利用已有知识解决实际问题，他们遇到的困难较多体现在列竖式时，不能处理余数1的转化，即不能理解整数部分有余数时余数与小数部分的数如何结合，如何继续除。处于水平2的学生则没有这样的困扰。

处于水平3的学生能正确完成每道前测题的答题，在解答第②题时能体现出转化的思想。这样的学生有8人，约占比8.3%。

从前测数据分析可以看到：大部分学生处于水平1，即能用自己的方法解决有关小数除法的实际问题，知道整数部分有余数后还可以继续往下除，但不知道如何对该余数进行转化处理。因此，能够利用已有知识解决实际情境中的小数除法问题是学生的学习起点，而理解小数除法算理并掌握算法是学生的学习重难点。

三、分析学习路径

基于以上分析，我们对本单元的学习路径做了相应的调整与优化。

首先，理解小数除法的算理本质。借助“元、角、分”建立小数平分模型，让学生在操作活动中理解整数部分有余数时如何对余数进行转化处理。有了直观模型与操作活动的支持，后面的学习中学生能更好地建立竖式与模型的联系，从而有效减轻认知负荷。

其次，引导学生以算理理解促进竖式意义建构。结合操作活动步骤，结合用横式记录的计算过程，让学生理解竖式计算中每一步的意思，重点突破对整数部分有余数的转化处理，以及被除数的数位不够除时如何继续进行计数单位细分。

再次，引导学生理解除数是小数的小数除法的算理并掌握竖式计算方法。借助单位换算，结合运算定律，借用直观图等帮助学生理解被除数和除数的同步转化，并逐步抽象出竖式计算的方法。

最后，引导学生在相关问题研究中发展运算能力，提高应用小数除法解决问题的能力。

四、单元整体教学思考及核心课时主要目标

我们以北师大版教材为基础，从单元整体的视角出发，对本单元的教学做了适当的调整与改变，增加了一节活动课，对“除数是整数的小数除法”的5道例题做了整合处理。调整后本单元的核心课有三节，其具体内容与教学目标如下。

第一节：基于算理理解的“小数除法”活动课。目标为：（1）创设分钱的现实情境，让学生经历换钱、分钱的过程。（2）理解活动的每一个步骤，并能用算式记录下来。（3）在活动过程中体会“大的计数单位不够分时可以换成小一级的计数单位继续分”。

第二节：“除数是整数的小数除法”。目标为：（1）结合上节课的活动，用竖式记录分钱的过程。（2）结合分钱的直观模型解释竖式每一步的意义。（3）脱离情境，从小数的意义与组成出发，解释每一步竖式所表达的意义。

第三节：“除数是小数的小数除法”。目标为：（1）会在具体情境中用自己的方法解决除数是小数的问题。（2）能解释除数是小数的小数除法的计算道理。（3）能正确进行除数是小数的小数除法竖式计算。

围绕核心课时的任务设计展开的具体课堂教学过程，详见“本组话题”的后面三篇文章。