戴嘉宁，陈文胜，蒋茂林，李颖豪

（长沙理工大学 土木工程学院，湖南长沙 410114）

0 引言

极限平衡条分法自诞生以来就成为了边坡稳定性分析的一大利器，其基本思路是：假定滑动面已知，同时假定滑动体为刚体，在此基础上对边坡进行静力平衡计算，从而求出边坡稳定性系数。

根据极限平衡条分法的不同假定条件，目前已经发展出十几种计算方法[1-4]，其中不平衡推力法就是由我国工程技术人员，以计算滑坡推力为目的，通过长期的工程实践，在深入分析和总结之后，创造出来的一种边坡稳定性分析方法[5]。一方面，由于该方法计算简单，并且可以为实际工程提供很好的设计推力，在我国应用广泛；另一方面，该法属于极限平衡分析方法，但又与国际上流行的以条分为特征的极限平衡分析方法有着显著的区别。因此，对不平衡推力法进行深入研究很有必要。

不平衡推力法假定条间力方向与当前条块的底面平行，且主要应用于滑动面为折线段或者可以简化为折线形滑坡的分析，在实际计算中，当滑动面为圆弧时，该法的计算结果和严格法相当，而对于非圆弧滑动面的计算误差会很大[6-8]。原因在于条间力的方向被确定后，条间力的竖向分量与水平分量的比值也就确定了，当条块之间的底面倾角差距过大时，有可能出现计算剪力比抗剪强度更大的不合理现象[9]。这是不平衡推力法假定条件为减少未知量简化求解而无法避免的系统误差。

为了让计算过程更加合理，令不平衡推力法的推力物理意义更加明确，本文提出一种以满足条间力合理性条件[10]为前提的改进方法，使条间剪力按抗剪强度取极大值，并根据整体性安全系数的定义，对条间抗剪强度按照与底面抗滑力进行相同程度的强度折减。

1 不平衡推力法基本理论

1.1 基本假设

（1）视滑坡为刚体，条块之间只能受压不能受拉。

（2）横向取单位宽度为1m的滑体作为计算代表断面，不计两侧摩阻力的作用。

（3）当任意条块的剩余推力计算值为负值时，表示无剩余推力，按0取值。

（4）条间力方向与上一相邻条块底面平行。

1.2 力学模型

不平衡推力法的力学模型如图1所示，a）为多个直线段组成的非圆弧滑面边坡，b）为阴影部分条块i的受力分析示例图：①条块重力Wi；②滑动面上的法向力Ni；③滑动面上的抗滑力Ri；④条块两侧的法向力Ei、Ei-1和竖向剪切力Xi、Xi-1；⑤条 间 力Gi、Gi-1。

图1 不平衡推力法力学模型

根据图1b）所示的力学模型，可以推导出不平衡推力法的推力计算公式：

以上各式中：ψi-1为传递系数，ci为粘聚力，li为条块底面长度，αi为条块底面与水平面的夹角。通过上述的推力计算公式，可以推导出两种安全系数的解法，即隐式解法和显示解法。

隐式解法为迭代法，其安全系数的物理意义是采用国际通用的强度折减系数的定义，将上式中的ci和tanφi分别用ci/Fs与tanφi/Fs代替。求解过程是从坡顶的第一条块开始，由于替换后的推力中本身含有Fs，无法通过式（1）直接计算出Fs，因此，需要定一个安全系数Fs对条块的抗滑力进行折减，再通过式（1）逐条计算条块的剩余推力，直到处于剪出口的最后一个条块n，要求Gn=0。如果Gn=0不成立，则调整Fs的值，直到Gn=0成立为止，此时的Fs即为所求的安全系数。

显式解法即可以通过一个安全系数的显式表达式直接计算出结果[7]。

显式解法安全系数的物理意义定义为条块下滑力的放大系数。由于计算简单，不需要迭代计算，被纳入国家规范，但实际计算原理与式（1）并不等价，且如果Fs越大，其误差也越大。所以在计算机的计算能力十分强大的今天，并不推荐使用该解法。

2 改进方法基本理论

2.1 不平衡推力法误差分析

根据式（1）可知，不平衡推力法所计算出来的条间力是条块下滑力与抗滑力的差值，即剩余下滑力。将剩余下滑力直接作为条间力实际上是不平衡推力法为了求解而作的简化，通过条间力与上一条块底面平行这一基本假定，使得条间力在上一相邻条块底面的法向分量为零，在计算条块下滑力与抗滑力时就无需考虑这一部分分量所带来的影响，从而达到减少未知量的目的。由于条间力的方向已经根据条块底面倾角提前确定，在计算条间力的竖向分量与水平分量的比值时也就是确定的，即Xi=Eitanα，这说明不平衡推力法的推力大小与条块的底面倾角有关。如果考虑条间极限抗剪条件，条间剪力应取其极值，即抗剪强度，根据摩尔库伦准则，可得Xmi=Eitanφi+cihi。当倾角变化很大时，在计算过程中就很可能出现Xi大于Xmi的不合理情况，这会导致计算所得边坡抗滑能力比实际边坡抗滑能力要强的不符合实际情况的结果。这属于不平衡推力法的基本假定所带来的系统误差，Xi与Xmi的大小关系，就是不平衡推力法可能产生误差的关键所在，尽管可以通过限制其适用范围降低误差，但这一不合理现象需要在使用时得到重视。该误差会在计算中不断累积，最终导致安全系数偏大。

改进方法针对条间剪力采用和边坡滑动面抗滑力相同的折减系数。其安全系数与不平衡推力法隐式解法的安全系数的定义相同，都为反映了边坡抗力储备的折减系数。在计算安全系数时，除了要对底面抗滑力进行折减，同时还需要对条间剪力进行折减。但规定条间剪力最大不超过抗剪强度发挥的1/Fs。

对于安全系数的定义，文献[11]指出，尽管安全系数在概念上是局部的，但在建立极限平衡法时，通常将安全系数视为一个常数，这实际上是极限平衡法引入的又一假定。一般来说，只要所引入的假定在力学上合理，在数量上刚好能够求解出这个力系，就不会出现原则上的错误，例如文献[12-14]中安全系数的定义就是对整个边坡而言，任意点的任意方向都是按同一个安全系数进行折减。

2.2 求解方法

首先，需要明确条间剪力的方向，显然该方向与条块底面之间的倾角变化有关，下面对条块侧边受力情况进行分析。

如图2所示，假定某一滑坡从右上到左下滑动，每一个条块都沿着各自底面方向有一个单位的位移趋势，当条块i-1的底面倾角大于条块i的底面倾角时，条块i-1相对于条块i有向下滑动的趋势，条块i右侧受到竖直向下的剪力，如图2a）所示。当条块i-1的底面倾角小于条块i的底面倾角时，条块i-1相对于条块i有向上滑动的趋势，条块i侧边受到竖直向上的剪力，如图2b）所示。

图2 条间受力分析

在确定了滑坡的滑动面以后，就可以根据相邻条块底面倾角的大小关系，确定条间剪力的方向。

如果不考虑力矩平衡条件，舍弃力的作用点未知量，一般认为，单个条块待定的未知量有安全系数Fs、条块底面法向力Ni，条块底面抗滑力Ri，条间法向力Ei，条间有效剪切力Xi，其它图中所示力为已知或由上一条块求出，共5个未知量。对于每一个条块，可以建立水平和垂直两个力系的平衡方程。另外，根据极限平衡状态，引入摩尔库伦准则，用于建立滑动面与条间的剪切力与法向力的关系，所以可以提供4个方程，由于Fs通过不断试算得出，至此，建立方程组即可求解所有未知量。

2.2.1 计算公式推导

（1）对条块建立x和y方向的静力平衡方程：

式中：αi为条块i的底面与水平面的夹角。

（2）根据摩尔库伦强度准则，建立滑动面和条间侧面的法向力和切向力方程：

式中：φi为土体内摩擦角，ci为土体粘聚力，Ri为条块i抗滑力，li为条块i的底面长度，Fs为滑动面抗滑力折减系数。

式中：hi条块i左侧边长度，Fv为条间剪力折减系数。

令条间剪力折减系数等于条块抗滑力折减系数，即，联立方程式（6）至（9），可以先求解出Ri与已知量的关系式：

将式（10）依次代入到式（8）、式（6）、式（9）中便可以分别求出Ni、Ei、Xi。由于推导过程十分复杂，可以通过matlab的slove函数帮助求解。

显然，条间剪力的调整会使得整个条块的受力重新分布，保证Xi取得极值Xm，满足合理性条件。可以预见，这种取条间剪力极值的做法，最终的推力值会比常规不平衡推力值更大，其安全系数必然小于或等于不平衡推力法的计算结果。

2.2.2 安全系数计算

首先，假定一个折减系数，通过上述计算公式，依次求得所有条块的条间力，然后判断处于边坡剪出口的最右一个条块n的条间力是否为零。如果为零，则此时的折减系数就是当前边坡的安全系数，如果不为零，则调整折减系数，重新计算出Gn的值，直到Gn=0为止。

3 算力分析

3.1 人工算例

为了更加直观地体现改进方法的计算过程及特点，对人工算例进行分析。某均质粘性土坡的几何参数和条块编号如图3所示，AB点之间上凸折线段为边坡坡面线，下凹折线段为边坡滑动面，土层参数如表1所示。表2为不平衡推力法、Morgenstern-Price法（简称M-P法）和本文提出的改进方法的安全系数计算结果，表3为Gn=0时和指定Fs=1.5时的两种情况下改进方法的计算过程。

表3 改进方法计算过程

图3 人工算例边坡模型

表1 土层参数

表2 安全系数

从表2可以看出，常规不平衡推力法计算出的安全系数要高于M-P法与改进方法的计算结果。表3的计算过程表明，在指定折减系数为1.5时，通过改进方法计算的最后一个条块的推力为51.70kN·m-1，使用不平衡推力法的计算结果为47.34kN·m-1，改进方法以条间力的极大值传递，计算结果更大。

3.2 滑动面适应情况

根据计算原理编制了相应的滑坡稳定性分析程序，本文提出的改进方法适用于任意形状滑动面，为了检验该法是否可以解决不平衡推力法需要限制滑面倾角变化在10°以内的问题。现假定一均质土坡，将圆弧滑动面的2、4、8等分点作为折线形滑动面的控制点，连接这些控制点就形成3条不同的折线滑动面，几何参数如图4所示，3条不同滑动面倾角的平均变化量依次为37.0°、18.5°、9.2°，土层参数如表4所示。

表4 土层参数

图4 程序算例边坡模型

分别采用不同的分析方法计算安全系数，结果见表5。表6为指定安全系数为1.5时，使用不平衡推力法和改进方法求解最后条块条间力的结果（单位：kN·m-1）。

表5 安全系数

表6 Fs=1.5时最后条块剩余推力

根据表5三种不同倾角变化滑动面的安全系数结果可知：一般情况下，不平衡推力法的安全系数要大于M-P法，结果偏于不安全，并且Fs越大，误差也就越大。以M-P法为标准，当滑动面的倾角变化值从大到小排列时，不平衡推力法的安全系数最大相差18.7%，改进方法最大相差12.8%。在指定安全系数后对剩余推力进行计算，从表2和表6的结果可以看出，改进方法最终求得的边坡推力要比常规不平衡推力法的计算结果更大，这意味着改进方法在以条间力极值传递的同时，可以保持良好的计算精度。

4 结论

（1）本文提出了一种满足条间力合理性条件的不平衡推力法的改进方法。改进方法属于极限平衡条分法，使条块间按条间力极值传递，相较于不平衡推力法物理意义明确，对于边坡稳定性和加固设计有较好的参考意义。

（2）通过对条间剪力按照与滑动面抗滑力相同的折减系数进行折减，使条间剪力满足边坡合理性条件。

（3）在确定滑坡滑动面与滑动方向后即可确定条间剪力方向，相邻条块间，底面倾角大的条块受到竖直向上的条间剪力，反之受到竖直向下的条间剪力。

（4）通过算例可以证明，改进方法的安全系数更小，在计算滑动面倾角变化大的滑坡时，误差相对不平衡推力法更低。