黄 伊 杨展鹏 熊 欢 朱子豪 陈 舜 田大平

江汉大学 湖北 武汉 430056

1 前言

极限的定义与性质，从定义到定理最后到性质的拓展是不断探索的过程，极限的基本结论是不断探索研究的实践活动，对人类生活起到至关重要的作用，未来普遍应用于生活也未可知。通过对数列极限的学习与探索，以及归纳的研究方法，我们可以直接研究许多函数的性质，例如导数、函数积分、判断级数收敛等，函数上、下极限的基本性质与数列上、下极限的基本性质有密切联系，特别在判别级数是否收敛应用较多，且能发挥较大作用，在数学分析理论部分中占有重要地位。上、下极限的应用能够在物理问题特别是数列应用中使题目更加清晰化，能够更加细致地学习数列的上、下极限以及函数上、下极限，对收敛函数的学习奠定了基础，能够正确区分收敛函数与不收敛函数，上、下极限的基本概念在生活中许多科学问题都会具有重要的实际应用.所以，我们应该认识到它的重要性，学习已有的关于上、下极限的理论研究的文章，并及时总结归纳拓展其应用，并对其进行提炼升华。丰富我们对数学分析、实数、函数等学科所学专业课程内容的深入理解，深刻学习掌握归纳其相关理论的实际应用，更好地不断培养自己的的数学创新知识思维与理论实践操作能力。

2 数列的上、下极限相关概念

2.1 数列上、下极限的定义

2.2 数列上、下极限的性质及定理

3 函数的上、下极限的相关概念

3.1 函数上下极限的定义

3.2 函数上、下极限的存在唯一性定理

4 函数上、下极限的性质

4.1 设f(x)在E上有定义，则

5 函数上、下极限例题

6 扩展部分

6.1 次可加函数

次可加性是数学应用中的一个重要特性，次可加函数是一类重要函数，但目前关于次可加函数研究比较少，本文只从定义出发，从例子中找到与函数上、下极限的联系

定义1[3][4]设f(x)为定义在 (0，＋∞)上的次可加函数

7 总结部分

本文以有关函数上、下极限过程为研究中心，详细地地说明了如何研究函数过程，从一个数列概念出发，研究一个数列的上、下极限，从有关数列上、下极限的基本定义、定理及函数性质关系出发，得到有关函数上、下极限的基本定义、定理以及函数性质的一个相关研究结论，并由此得到一个普遍规律，即一个数列的上、下极限与一个函数的上、下极限均不满足四则运算性质，但对于不等式的结论均成立，从定义到例题再到定义，最后较浅研究了次可加函数与上、下极限的联系，为进一步研究次可加函数与函数上、下极限的联系提供了思路。