周建勇 汤跃勤

在高中学习中，我们经常会见到含参恒成立问题的影子，此类问题属于一类综合性较强的问题，重点考查了函数、方程、不等式、导数等相关知识.笔者总结了两类含参恒成立问题及其解法，以期能帮助同学们提升解答此类问题的效率.

一、a ≤ f （x） ，a ≥ f （x）（或 a < f （x） ，a > f （x））型

一般地，要使 a ≤ f （x）或a < f （x） ，只需求出 f（x）的最小值，使 a ≤ fmin（x）或a <fmin（x） 即可;要使 a ≥ f （x） 或 a > f （x） ，只需求出 f（x）的最大值，使 a ≥ fmax（x） 或 a > fmax（x）即可. 在求函数 f（x）的最值时，我们需灵活运用函数的图象和性质，或借助导数与函数单调性之间的关系来确定函数的最值.

例 1.设函数 f（x）=e x -x2-ax-1（ e 为自然对数的底数），a∈R.当x>0时，f（x）+x≥0恒成立，求a的取值范围.

我们先将不等式变形，使得参数 a 与变量分离，构造形如 a ≤ f （x）型恒成立问题，然后对函数 h（x）求导，通过讨论 h（x）的单调性，从而确定 h（x）的最小值，进而确定 a 的取值范围.

二、f （x）≤ c ≤ g（x）型

此类型的问题十分复杂，我们需先将不等式拆分为两个不等式 f （x）≤ c 和 c ≤ g（x），分别证明两个不等式恒成立.这里有两种思路，一是将问题转化为 a ≤ f （x），a ≥ f （x）（或 a < f （x），a > f （x））型恒成立问题进行求解;二是运用综合法来证明两个不等式成立.在运用综合法证明不等式时，我们需先建立已知条件和所求目标之间的联系，选择相关的定理、公式等，通过推理、运算逐步得出结论.

例2.能否找出一个常数 c ，对任意的 x、y 都有不等式 恒成立？如果能，請证明你的结论，如果不能，请说明理由.

我们首先令 x = y ，那么不等式就只含有一个未知数，再经过化简就可以有 ，即可确定 ，只需证明 .再运用综合法分别证明两个不等式  恒成立即可解题.

虽然含参不等式恒成立问题的难度较大，综合性较强，但是我们只要将问题进行合理转化、拆分，灵活运用所学的函数、方程、不等式、导数等知识，便能顺利破解难题.

（作者单位：福建省漳州市云霄元光中学）