丁华干

向量证明题是一类综合性较强的问题，不仅考查了向量中的基础知识，还考查了解答证明问题的方法.要想顺利解答此类问题，我们需灵活运用平面向量中的公式、定理、运算法则以及解答证明问题的方法，如反证法、分析法、综合法等.下面我们结合实例来探讨解向量证明题的三种方法.

一、数形结合

向量是连接“数”与“形”的桥梁，因此在解答向量证明问题时，我们可以灵活运用数形结合法来解题.首先要根据向量的几何意义来绘制出相应的几何图形，然后将向量的数量关系借助图形直观地表示出来，借助图形来分析问题，灵活运用平面几何知识，如平行四边形、等腰三角形、等边三角形的性质以及相关的定理来解题.

解答本题，需首先根据题意绘制形几何图形，结合图形判断 所成的角为锐角还是钝角，然后利用平面向量的数乘运算法则和数量积公式将 化简，进而比较  的大小，最后通过添加辅助线，将 转化为 的值，进而比较出 I1与 I3的大小，证明结论.

二、采用反证法

有些问题采用正向思维进行求解较为困难，此时，我们不妨转换思维角度，运用反证法来解题.首先假设命题不成立，然后结合向量中的公式、运算法则进行推理，得出与命题或者某个定理、结论相悖的结论，便可证明原命题成立.

例2 .已知向量a，b是2个互相垂直的向量.证明不存在可使向量 m = ka + b 与 n = a + kb 的夹角正好为 60∘的整数 k .

本题直接求解较为困难，于是采用反证法来解题. 首先假设出与求证目标相反的结论，然后运用平面向量的数量积公式和模的公式，求出 k 的值，得出 k 不為整数，结论与假设相矛盾，便证明结论成立.

三、利用分析法

运用分析法证明向量问题，需从命题的结论出发，由所要求证的目标逐步向题目的条件靠拢，灵活运用向量中的公式、运算法则等进行推理、运算，得出与已知条件相符的结论.一般采用“要证——需证—— 只需证”的格式来证明命题.

例 3 .已知a，b为非零向量向量，它们的夹角为 θ ，

我们由所要证明的式子出发，将其化简变形为关于 的一元二次方程，然后利用方程的判别式建立关于 cos θ 的不等式，解不等式求得 θ 的范围，进而证明结论.

数形结合法是一种常用的解题方法，反证法、分析法一般用于解答证明题.而向量证明题属于一类综合问题，因此在解答向量证明题时，我们要运用发散思维，从向量和证明方法两个方面思考解题的思路.

（作者单位：江苏省东台市安丰中学）