张玉琴

[摘 要]模型思想的建立可以打通数学知识与现实世界的联系，培养学生的应用意识和解决问题的能力。小学数学课堂教学中建立模型思想，即应引导学生挖掘教材的数学模型，经历数学建模的基本过程，从而感悟数学模型的思想。

[关键词]数学模型;建模过程;模型思想

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0047-02

课程标准指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”在小学数学教学中，模型思想的建立可以打通数学知识与现实世界的联系，培养学生的应用意识和解决问题的能力。笔者通过理论研究并结合自身的教学实践，提出了建立模型思想的几个基本策略，以抛砖引玉。

一、挖掘教学内容中的数学模型

张奠宙先生曾说：“数学中各种基本概念和基本算法都可以叫作数学模型，加、减、乘、除都有各自的现实原型，其都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。”小学数学教材蕴藏着丰富的数学模型，充分挖掘这些数学模型，是有效渗透模型思想的前提。小学数学四大模块中都有数学模型，这就要求教师要深度研究教材，努力挖掘教材中蕴含的数学模型，在教学中有意识地融入和渗透数学模型思想，激发学生的模型意识。

例如，在“数与代数”模块，教师引导学生把“几个几相加”的算式写成两个数相乘的形式，使学生建立起乘法的模型;通过画图和举例的方法引导学生建立起乘法结合律的数学模型：（a×b）×c=a×（b×c）。又如，在“几何与图形”模块，引导学生利用“倍拼法”或“割补法”建立三角形面积模型S=（ah）÷2;引导学生利用转化法把圆柱转化成长方体，建构起圆柱的体积模型，即V=S底×h。在“统计与概率”模块，引导学生采用“移多补少法”或“先求和再平均法”建立起平均数的数学模型;在“实践与应用”模块，引导学生建立起烙饼、植树、田忌赛马、鸡兔同笼、爬楼梯等问题的数学模型。

二、经历数学建模的基本过程

波利亚认为，学习任何知识的最佳途径是通过自己的实践活动去发现 。课程标准明确指出， 从学生已有经验出发， 让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时， 在思维能力、 情感态度与价值观等方面得到进步和发展。因此，要培养学生的模型意识，应使学生亲身经历数学建模的基本过程。

现以“乘法分配律”进行简述。

1.创设情境，感知模型

数学模型源于现实生活，与现实生活有着千丝万缕的联系。对于学生而言，当学习的材料来自现实生活时，才会充分激发学生的学习兴趣 ;当数学和一些有趣的事情密切联系时 ，数学才是富有生命力和吸引力的。因此，教师可结合教材知识，为学生呈现具体的、生动的、与现实生活联系密切的情境，让学生运用已有的经验初步感受生活中蕴含的数学问题，从而为学生将现实生活中的问题抽象成数学问题开辟道路。这样，学生经历了将实际问题数学化的过程，感受到了数学所特有的生活化，为培养学生模型思想提供了平台。

【教学片段1】

师：在一个长方形花圃（如图1）里分别栽有郁金香和玫瑰花，那么这个花圃一共占地多少平方米？

生1：（36+24）×15=900（m2）。

生2：36×15+24×15=540+360=900（m2）。

师：如果要在这个长方形花圃的外围围上栅栏，栅栏至少需要多少米？

生1：只需要求出周长就可以了。花圃的长是36+24=60（m），宽是15 m，所以其周长是（60+15）×2=150（m）。

生2：60×2+15×2=120+30=150（m）。

师：通过上面的计算，我们得到等式（36+24）×15=

36×15+24×15和（60+15）×2=60×2+15×2。

“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”是数学建模的首要环节。教学中，教师借助生活情境，使学生从现实生活的角度思考问题，激活了学生的已有经验。学生通过计算和分析，初步感知了数学模型。

2.抽象概括，构建模型

构建模型是一个循序渐进、由浅入深的过程，如果仅仅凭借得出的两个等式就对乘法分配律的数学模型进行概括，未免过于“单薄”，进而也会影响学生对该模型的深度认知。这就需要教师为学生提供更加丰富的学习材料，为学生从知识表象中抽象出本質规律“造势”。在这个过程中，教师要充分激发学生原有的生活经验和调动学生的知识储备，让学生经历猜测、验证的推理过程，引导学生主动对学习材料进行归纳和运用，从而让学生体验现实问题数学化、数学问题模型化的完整过程。

【教学片段2】

师：请观察这两组等式，说一说你有什么发现。

（36+24）×15=36×15+24×15

（60+15）×2=60×2+15×2

生1：左边是先算和，再算积，右边是先算出积，再把这两个积加起来。

生2：左右两边最后一个数字都是一样的。

师：你还能再举出一些这样的例子吗？

生3：（4+6）×12=4×12+6×12。

生4：（10+5）×7=10×7+5×7。

……

生1：这样的例子有很多，永远也举不完。

师：这是我们已经学过的14×12的点子图，你能看懂吗？

生5：把12分成10和2，即14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。

生6：原来运用点子图也可以证明这种运算方法的正确性。

师：你能概括出这种式子的特点吗？

生7：一个数加上另一个数的和乘以一个数等于一个数乘这个数，加上第二个数乘这个数。

师：你还能再举出一些这样的例子吗？

生8：一个转笔刀2元，一个文具盒5元，淘气买了转笔刀和文具盒各3个，那么淘气一共需要付多少钱？这道题既可以先算出一个转笔刀和一个文具盒一共多少钱，再乘它们的个数，列式为（2+5）×3=21（元），也可以先算出买转笔刀花了多少钱，再算出买文具盒花了多少钱，然后把二者加起来，列式为2×3+5×3=21（元）。因此可以得出（2+5）×3=2×3+5×3。

师：请用自己喜欢的方式表达乘法分配律。

生9：（A+B）×C=A×C+B×C。

生10：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生11：（△+□）×☆=△×☆+□×☆。

上述教学中，学生通过观察和分析，形成对乘法分配律模型的初步认识，教师再通过图形表征、语言表征、符号表征等形式使学生逐渐加深对乘法分配律的认知，使学生在自我否定和不断补充完善中抽象出数学模型，亲身经历建构模型的过程。

三、感悟模型思想

课程标准明确指出： “数学思想蕴含在数学知识形成、 发展和应用的过程中， 是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括， 如抽象、 分类、归纳、 演绎、 模型等。学生在积极参与教学活动的过程中， 通过独立思考、 合作交流， 逐步感悟数学思想。”然而，数学思想比数学知识要抽象得多，数学思想不能照搬、不能复制，只能依靠学生通过亲身体验去感悟，模型思想亦是如此。尽管模型思想具有“只可意会，不可言传”的特质，但是模型思想并非难以捉摸。学生感悟模型思想具体可从以下两个方面着手：一是在学习知识的过程中亲身体验模型建立的完整过程，并在这个过程中感悟模型思想;二是多分析、多思考，在应用中进一步深化模型思想，提升自身运用数学知识解决问题的能力。

例如，在构建“植树问题”的数学模型后，教师安排了“模型应用，解决问题”的环节：学校召开运动会，在笔直的跑道一旁插彩旗。跑道的长度是100米，每隔2米插一面彩旗（两端都要插），一共需要多少面彩旗？此外，教师进一步引导学生联系现实生活，寻找生活中的“植树问题”，从而进一步加深学生对“植树问题”数学模型的认识。

通过应用模型解决现实问题，引导学生主动将生活中的实例与“植树问题”相联系，既使学生验证了模型的正确性，也使学生的数学思维得以升华和发展，使学生意识到“植树问题”数学模型并非单一用于解决“植树问题”，它可以解决生活中的很多问题，由此使学生的模型思想逐渐变得“丰满”起来。

总之，在小学数学教学中，教师要合理设计数学活动，注重渗透数学模型思想，使学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，激发学生研究数学建模的兴趣，提升学生數学建模的能力，使学生逐渐养成应用数学模型分析问题和解决问题的意识和能力，使数学学习真正成为积淀素养的过程。

（责编 黄春香）