王鹏飞，朱俊泽，王安格，刘鹏，李梦，徐秋实

(1.燕山大学，河北省土木工程绿色建造与智能运维重点实验室，河北秦皇岛066004；2.河北科技师范学院，秦皇岛市交通系统智能分析与决策重点实验室，河北秦皇岛066004；3.北京工业大学，城市建设学部北京100124；4.北京航空航天大学，a.经济管理学院，b.复杂系统分析与管理决策教育部重点实验室，北京100191；5.北京交通大学，经济管理学院，北京100044)

0 引言

自从人类社会进入机动化时代以来，随着机动车保有量的激增，交通拥堵已成为国内外大中城市面临的主要问题之一。对此，各国城市根据自己的实际情况，不断地完善城市道路交通基础设施，并且制定了各类限制机动车快速增长的政策，但效果并不明显，交通需求与交通供给的矛盾反而日渐突出。近年来，随着人工智能和通信技术的高速发展，政府和社会各界开始关注自动驾驶、出行即服务等先进技术与管理方式，希望这些技术与管理方式能够有效地解决交通拥堵问题。目前的相关研究多停留在微观的技术层面上，鲜有研究从道路交通系统演化的宏观层面上对上述技术与管理方式是否有利于交通拥堵的缓解进行过定量分析。

在相关研究领域的宏观层面上，大部分研究认为区域交通及其基础设施系统是一个复杂的动态系统，表现出明显的自组织特征或自组织与他组织的复合特征。因此，可考虑使用生态学理论探讨城市道路交通系统的演化过程，在此方面，众多学者利用Logistic模型对区域交通基础设施的演变[1]，新能源机动车的发展趋势及政策评价[2]，不同种类运输方式之间的相互竞争和互利共生关系[3]等进行了理论和实证分析。同时，也有研究在系统动力学的框架下探讨城市交通拥堵的产生机理，并对各种现行交通管控政策进行评价[4]。

微观层面上，诸多研究在系统动力学的框架下构建了用户出行的(逐日)动态演化模型，并对各类目标函数[5]、出行信息条件[6]、道路拥挤收费条件[7]下交通流动态演化的均衡解的存在性、唯一性和稳定性进行了理论分析。

上述既有研究虽然取得了诸多成果，但与本文的研究目的和内容方面存在本质的区别。此外，还存在如下不足：(1)没有将影响机动车保有量增长的重要限制因素—能源储备量、停车泊位等纳入到模型之中，导致构建的模型大多为简单的二维动力学系统，不能精准地反映道路交通系统中动态交通与静态交通间的复杂关系；(2)没有涉及到能源储备量、机动车保有量、路网容量之间的相互作用及其动态演化特征。

鉴于此，本文构建一个三维非线性动力模型对道路交通系统的演化过程进行模拟。在宏观层面上分析能源储备量、机动车保有量、路网面积的动态演化规律，主要目的是揭示当下尾号限行、共享泊位等交通管理政策和新能源、无人驾驶、智慧道路等先进技术对道路交通系统，特别是高峰时段平均车速的影响。

1 模型假设

1.1 能源储备量

假设1能源储备量会正向增长。除石油、天然气等非可再生能源外，机动车也可使用太阳能等可再生能源，同时，也可使用靠可再生能源产生的二次能源如电能。由于新能源技术的发展，能源储备量也会正向增长。

假设2没有能源的供给，机动车保有量会减少，即机动车长时间不被使用，进而进入报废程序。

1.2 机动车保有量

假设3能源储备量的上升会刺激机动车保有量的增长。

假设4路网容量是机动车保有量增长的上限。

假设5机动车的路内停放需要占用一定的路网面积，因此会使路网容量下降。

1.3 路网面积

假设6可修建道路的土地面积是有限的且为定值。根据《关于在国土空间规划中统筹划定落实三条控制线的指导意见》等相关文件的要求，城镇边界是确定的。

假设7路网面积和路网容量之间存在换算系数，其值是由道路网结构、道路设计等级等决定的。

假设8受到交通需求管理政策影响，一部分机动车不能出行，而这些不能出行的机动车由于会占用一定的路内面积停车，因此会降低路网容量。

2 建模及求解

2.1 模型构建

构建一个连续时间的三维非线性动力模型，描述能源储备量、路网流量与路网面积的动态演化。

式中：t 为时间；x 为能源储备量；y 为机动车保有量；z 为城市路网面积；r1为可供机动车行驶的能源增长率；r2为机动车的报废率；r3为路网面积的增长率；a 为机动车的平均能源消耗量；b 为路网容量与路网面积的换算系数；c 为能源对机动车增长的刺激系数，c 与r2共同作用，决定机动车保有量的变化率；d 为增长的机动车需要占用路网面积的系数；K 为可供修建道路的最大土地面积。上述所有的参数与变量均为正。θ 为可以在路网中行驶的机动车占机动车总保有量的百分比，(1-θ)为受交通需求管理政策影响不能出行的机动车数量，即代表尾号限行等交通需求管理政策对交通需求的遏制程度，本文称(1-θ)为交通需求管理强度。

另外，还需要对以下两个参数进行详细说明：

(1) 下文将利用路网中行驶的机动车数量θy与路网容量bz 之比，即路网饱和度作为反映平均车速高低的依据，这符合BPR函数特性。

(2)同样路网面积下的路网容量并非一样，这是因为存在换算系数b 的缘故，其数值主要由路网结构、道路设计等级所决定，同时也与无人驾驶车辆普及率、智慧道路占比和道路限速政策等有关。

2.2 建模合理性分析

需要分析建模的合理性，即模型参数、变量之间的关系是否符合交通工程学与交通规划学中的基本规律。将式(1)中3个分量的意义总结如下：

图1日本东京都机动车保有量逐年变化图(1906—2008年)Fig.1 Annual change of vehicle ownership in Tokyo,Japan(1906—2008)

2.3 求解均衡点

式(1)描述的是系统动态演化过程，研究目的是分析当t →∞时，能源储备量、机动车保有量与路网面积的均衡状态。

通过求解代数方程组式(2)，即可发现式(1)有两个均衡点，即

由于能源储备量、机动车保有量与路网面积均须为正，因此，仅均衡点P2具有实际意义。

经计算，路网饱和度s 为

式中：e 为由于受制于交通需求管理政策，被迫放弃出行的机动车由于(1天时间)停放对路网面积造成的负面影响。另一方面，也可以理解为放弃私家小汽车出行的用户使用其他交通方式出行而对原有(以私家车行驶为主的)路网容量造成的影响。

由式(5)可知：

(1)路网饱和度s 与车辆报废率r2、路网面积增长率r3、能源对机动车增长的刺激系数c、增长的机动车需要占用路网面积的系数d 等无关。

(2)可用于修建道路的土地面积K 越小，平均车速越低。

(3)道路网规划越合理，道路设计等级越高，系数b 越大，越有助于平均车速的提高。

(4)能源增长率r1增加，路网饱和度增加，平均车速降低。

(5)机动车的平均能源消耗量a 降低，平均车速也会下降。

(6)若加大交通需求管理强度(1-θ)，虽然路网中行驶的机动车数量变少了，但路网容量会受到被迫不能出行机动车的停放的影响而降低。相反，若降低交通需求管理强度(1-θ)，虽然停车问题有所缓解，但由于路网中行驶机动车数量的增加，同样也会导致平均车速下降。

3 均衡解性质及意义

3.1 稳定性分析

首先，本文需要分析式(1)在均衡解处的稳定性，这是确定政策的适用条件和评价政策实施效果的重要理论基础。研究采用李雅普诺夫第一方法(Lyapunov's First Method，间接法)分析均衡点P2的稳定性。式(1)在均衡点P2处的雅克比矩阵为

式(6)的特征方程为

式中：C0、C1、C2、C3为式(7)的系数。由于高维方程(特别是参数族方程)的特征根难以直接求解，因此，采用劳斯—赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判定法则分析特征方程解的特性。

若式(8)～式(14)全部成立，则特征方程式(7)的特征根的实部全为负数。由于式(8)～式(14)中所有参数均为正数，可知式(1)在均衡点P2处是稳定的。

3.2 最优行驶机动车比例

由上述分析可知，交通需求管理强度(1-θ)应存在最优值，它会使路网饱和度达到最低，即城市道路交通系统演化达到均衡时平均车速取得最大值。利用式(5)定义函数g(θ)为

式中：自变量为行驶机动车比例θ，因变量为路网饱和度s，其余参数均为正数。

函数g(θ)对θ 求导使其等于0，且考虑行驶机动车比例θ 应满足θ ∈[0,1]。

因此，依据库恩—塔克条件，可得关于最优行驶机动车比例θ*为

3.3 路网面积和路网容量的换算系数对路网饱和度的影响

依据通行能力和路网容量的定义，无人驾驶和智慧道路技术的发展会(在相同的行驶速度下)进一步减少车间最小安全距离，使得路网面积和路网容量的换算系数b 增加。但单纯依据式(15)不能判断出换算系数b 的增加是否有利于路网饱和度的降低。因此，需要探讨在何种条件下无人驾驶和智慧道路技术对降低路网饱和度是有利的。

首先，给予换算系数b 一个增量Δb 且Δb>0 ；其次，由于饱和度sb与sΔb的分子是相同的，因此将含有换算系数b 的两个分母做差可得

若式(18)大于0，则换算系数b 的增加有利于路网饱和度的降低；相反，则不利于路网饱和度的降低；最后，由此可知，前者成立的条件为

相反，若式(19)不满足，则后者成立。因此，当不出行机动车对路网面积影响系数e 和能源增长率r1较小，行驶机动车比例θ、机动车平均消耗能源量a和道路最大面积K 较大时，式(19)容易成立，即在此状况下，无人驾驶和智慧道路技术的应用和发展将对提升平均车速起到正向作用。

3.4 启示

通过路网饱和度解析解可知：

(1)加快修建道路交通基础设施等措施很难使交通拥堵得到永久性缓解。

(2)若欲提高平均车速，与其大规模修建道路，不如在科学规划道路网与提升道路通行能力，养护道路等方面增加资金投入。

(3)当系统参数满足一定条件时，无人驾驶和智慧道路技术的发展将会缩短车间最小安全距离，进一步提升路网面积和路网容量的换算系数，使得在相同的道路面积下路网拥有更大的容量，路网饱和度下降。

(4) 新能源和汽车发动机技术的飞速发展使得机动车能源消耗量下降，促进机动车保有量的增长，若不加强交通需求管理强度，则平均车速将会下降。

(5)制定共享泊位的市场交易机制[8]，提升共享泊位的供给量会使不出行机动车对路网面积的影响系数降低，有利于平均车速提升。

通过最优行驶机动车比例可知：①交通需求管理政策的制定不能单纯地追求限制机动车上路行驶，应统筹解决行车与停车，私家小汽车与其他交通方式之间的问题；②当满足条件时，城市交通就会呈现“越治越堵”的悖论，因为θ ∈(0,1)范围内的平均车速均不高于不实施交通需求管理θ=1 下的平均车速。综上所述，需多措并举尽早定量评价现行交通需求管理政策的实施效果是十分必要的。

4 数值试验

4.1 数值设定

以北京市建成区为对象，通过对北京市未来一段时间内道路交通系统演化过程的分析来验证上述所得结论的正确性。表1为数值设定，其中多数数值设定参考了文献[9]与[10]。同时，数值设定的合理性见4.2节中对图2的分析。

4.2 结果分析

图2 与图3 分别为循环次数是3650 d 与36500 d 时的能源储备量、机动车保有量、路网面积，路网饱和度的演化过程。图4 为不能出行的机动车对路网容量影响系数与最优行驶机动车比 例的关系。

图2 2020—2029年的道路交通系统演化过程Fig.2 Evolution process of road traffic system during 2020—2029

图3 2020—2119年的道路交通系统演化过程Fig.3 Evolution process of road traffic system during 2020—2119

图4 最优行驶机动车比例Fig.4 Optimal intensity of traffic volume

利用图2中的试验结果验证表1所示数值设定的合理性。北京市的道路交通系统经过10年的演变，机动车保有量达到812.4526×104veh，道路面积达到95.0479 km2，这与文献[10]的分析基本一致。同时，根据数值设定很容易验证式(19)也是成立的，即当前无人驾驶和智慧道路技术的发展对缓解城市交通拥堵有着较大的正向作用。由此可知，表1的数值设定是合理性，所得分析结果是可信的。

依据试验结果可知：能源储备量变化呈现先增长后下降的趋势，这个是由于路网饱和度逐渐变大，导致能源过度消耗造成的；机动车保有量在最后1年中呈现略微下降的趋势，这是由于能源储备量被过度消耗所造成的；路网面积一直呈现稳定上升的趋势，这是因为道路等基础设施的变化趋势不会受到机动车保有量、能源储备量等影响的缘故。

由图3 可知：能源储备量，机动车保有量和路 网饱和度在连续波动之后分别收敛于10.1109，774.5259×104veh 和51.64%；在波动的过程中，能源储备量会优先于机动车保有量达到波峰和波谷，这是因为机动车的行驶必须依靠能源的缘故；路网面积一直呈现稳定上升的趋势直至其上限100 km2。

由图4可知：最优行驶机动车比例会随着系数e 的增加而变大，最终达到不实施尾号限行等交通需求管理政策的情况，即θ*=1，这是停车问题愈发严重所造成的；在某一不出行机动车对路网面积影响系数e=0.05 下，存在最优行驶机动车比例θ*=0.6。

5 结论

本文主要贡献总结如下：

(1)当城市道路交通系统达到均衡状态时，能源储备量、机动车保有量和路网面积所组成的有实际意义的三维均衡解唯一且稳定，因此系统也存在唯一且稳定的路网饱和度和平均车速。

(2)若欲缓解交通拥堵(提高平均车速)，则管理者可以采取下述策略，降低可供机动车行驶的能源增长率、控制新能源汽车占比、扩大城镇边界、增加共享泊位供给量等方式。

(3)当系统参数满足一定条件时，路网面积和路网容量的换算系数增加，如引入无人驾驶和智慧道路技术等；反而，会降低平均车速。

(4)系统存在可使得均衡路网饱和度达到最低的最优行驶机动车比例，随着机动车停放对路网容量的影响越来越大，交通需求管理政策的实施效果将会降低。

基于上述内容，未来的研究方向为：路网面积与路网容量换算系数、停车或其他出行方式对机动车路网容量的影响系数可更加细化为一个函数；对土地面积、能源增长、路网规划设计、机动车能源消耗量、共享泊位数量、先进驾驶技术和交通需求管理等方面的投入与提高平均车速进行严格的投入产出效益的对比分析。