常安成

基于合情推理模式的数学能力培养研究

常安成

（湖南信息学院，湖南 长沙 410151）

“帮助学生学会基本的数学思维方法”是新一轮数学课程改革设定的一个基本目标。本文通过研究合情推理下的解题方法，提出了几个有利于培养学生数学思维的基本方法。

合情推理；数学思维；一般化；特殊化；类比

日本数学家米山国藏曾经提出：“学生在初中、高中、大学等接受数学知识，如果这些知识没有经历应用能力的培养、训练、熏陶等，通常会因毕业后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，导致学生出校门后不到一两年，就将其忘记了。然而，不管他们从事什么职业、岗位，唯有那些深深铭刻于头脑中的数学思想、精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），才能随时随地发生着作用，使他们终生受益。”

“帮助学生学会基本的数学思维方法”也是新一轮数学课程改革所设定的一个基本目标。

从现代的观点来看，学习过程不仅仅是对知识的理解、掌握和记忆，还是对事物的理解从特殊到一般加以认识和思维的过程，最终得到从本质上掌握分析、探索、解决问题的方法。从理解、掌握和记忆知识到从特殊到一般事物认知，直至掌握解决问题的方法，这些都是整个复杂思维过程的材料构件，因为整个复杂思维过程本身就是学生素质养成的体现，也是学生的智能教育，思想教育及发展水平的具体呈现。

著名数学家柯尔莫戈洛夫指出：“在不适宜用标准解法的情况下，寻找一条解题途径的能力，就是数学思维的本质之一。”

合情推理是波利亚的“启发法”（heuristic，即“有助于发现的”）中的一种推理模式。下面我们尝试通过合情推理能力的培养，提出数学思维的几个基本模式，它是由一些帮助寻求解题途径为目标的建议组成。这些方法虽不能保证准确无误地解决问题，但能在不适宜用标准解法的情况下，帮助学习者寻找一条有效解题的途径。

1 一般化（推广）

著名数学家希尔伯特曾经指出：“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们受困于这个数学问题本身，没有跳出来，认识到更一般的观点，也就是我们眼下要解决的问题只不过是一连串有关问题中的一个环节。如果我们采取了这样的观点，不仅会使得我们所研究的问题容易得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍方法。”

在数学中，将常量换成变量或者减少条件，可以使问题一般化。

这就是我们需要的辅助函数。

例2.计算范德蒙行列式

因此

2 特殊化

希尔伯特指出：“在讨论数学问题时，我们相信特殊化会比一般化起着更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因，是在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单，更容易的问题没有完全解决或是完全没有解决。这时，一切有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一，我认为人们是经常使用它的，虽然也许他们并不自觉。”

在数学中，将变量换成常量或者增加条件，可以使问题特殊化。

在解题时我们常常分两步来进行：第一步处理一个特殊情形，它不仅特别容易解决而且特别有用；第二步通过特殊情形的叠加，我们得到一般解的方法。

例3.(格林公式)设有界闭区域由分段光滑的曲线L所围成，函数(,)及(,)在上具有一阶连续偏导数，则有

其中是的取正向的边界曲线。

略证：先考虑一个特殊情形，假设以上条件全部满足，可以通过做一条平行坐标轴的直线且穿过区域的内部，直线与的边界曲线L的交点恰好为两点，则可以证明（1）式成立。

3 由简单情形找规律

解：在这个问题中，“1976”这个数据太大，难以发现规律。将1976换成较小的数（比方5,6,7,…）试试。为寻找规律，我们将试验的结果列成表之后，观察上面这些试验，我们发现，在取最大的乘积中：

由此我们可得解答：

4 类比

类比是某种类型的相似。在解一个复杂的问题时，可以考虑先解一个较容易的类比的题，再设法利用其方法或结果解复杂问题。

著名数学家华罗庚曾经说过：研究问题的一般方法是，先足够地退到外面，退到最容易看清楚问题的地方，把问题认透了、钻深了，然后，再上去。

先解类比的题，就是“退”的方法。

这个问题比较难，我们先退一步，考虑一个比较简单的类比的问题：

如果这个问题还不能一下解决，我们再退一步，考虑一个更为简单的类比的问题：

利用迭代可得

现在我们回到问题1，完全类似地，

解这个差分方程即得结果（略）。

综上可见，这几个思维模式体现了一些十分重要的数学思想方法。M.劳埃指出：“教育是所有学会的东西都忘却了之后仍然留存下来的那些东西。”这些思维模式就是需要学生们“留存下来的那些东西”。这种合情推理的数学理念，思维模式，思想方法，均在初等数学、高等数学的各类教材里得到充分体现。在数学的教学中，我们应作出切实的努力以很好地落实“帮助学生学会基本的数学思想方法”这一重要目标。

[1]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].成都:四川教育出版社,1986.

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[3]波利亚.数学与猜想[M].(第一版).北京:科学出版社,1984: 1-92.

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[7]拉松.通过问题学解题(第一版)[M].合肥:安徽教育出版社,1986:1-75.

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O13

A

1673-2219（2021）03-0083-03

2021-03-03

2021年度湖南省社会科学成果评审委员会课题（项目编号ASP21YBC368）。

常安成（1977－），男，山东定陶人，硕士，副教授，研究方向为数学教学与复杂网络。

（责任编校：文春生）