陈文胜，蒋茂林，周伟，丁博

(长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙410114)

目前，极限平衡条分法仍是分析边坡稳定性的主要方法。条分法的发展已有近百年，主要思想是以刚体极限平衡理论为基础，对坡体进行竖直条分，通过块体的平衡条件建立整个边坡的平衡方程，最后依照方程确定边坡的稳定安全系数。上述过程条分法要满足2个条件：1)静力平衡条件；2)各条块滑面上要满足摩尔-库伦强度准则。但以此建立的方程组仍是非静定的，为使问题静定可解，诸多学者提出了一系列的假设来简化条块受力，以达到唯一可求，因此也诞生了多种流传甚广的条分法。Fellenius条分法[1]忽略条间作用力，依据整体力矩平衡，求解边坡稳定性安全系数，即阻滑力矩与下滑力矩的比值。Bishop条分法[2]在Fellenius法的基础上考虑了水平条间力，提高了计算精度，但二者只适用于圆弧滑动面的求解。之后Janbu条分法[3]、Morgenstern-Price法[4]、Spencer法[5−6]、Sarma法[7]、不平衡推力法等方法不断被提出，极大地扩宽了条分法的应用范围，使之能够完成任意形状滑动面的稳定性分析。在运用条分法分析具体工程或计算边坡算例时，常常发现由于坡体底滑面几何形态的不同而出现反坡，表现为条分后，部分条块因底滑面倾斜方向的改变，其重力对边坡的滑动会起到阻滑作用。故根据底滑面倾斜方向条块重力的作用效果不同，可将条块分为顺坡条块和反坡条块。顺坡条块的重力主要构成了边坡的下滑力，反坡条块的重力则起到阻滑的作用。众所周知，大部分条分法以阻滑力(力矩)与下滑力(力矩)的比值定义安全系数，而反坡条块的重力从作用效果的角度看应属于阻滑力(力矩)，但目前大部分主流的条分法(如Felle‐nius条分法、Bishop条分法等)并没有对反坡有特别说明，按其传统算法，在公式中是将反坡条块重力划分在下滑力项进行计算。只有少数方法考虑到了反坡对安全系数计算时的影响，如不平衡推力传递系数法将反坡条块底面安全系数按1.0计算，还有个别软件如理正岩土边坡稳定性分析系统[8]也发现了反坡重力分别作为阻滑力和下滑力可以得到2种迥异的计算结果的事实，故在软件中添加了将反坡重力作为阻滑力项计算的选项，但并没有明确指出二者的具体差异，也没有进行具体说明，或给用户如何选择提供指导性建议。更普遍的情况是，现有土力学等教科书介绍的主要方法如Bishop方法等，这一区别没有体现，这些方法被传授于学生，也被编入一些主要的边坡分析软件提供给工程师作为分析边坡稳定性的工具并用来指导工程。然而在滑动面含有反坡的情况下是否合理，没有人去深究。为了探讨传统计算公式与将反坡条块重力视作阻滑力项的计算公式之间的差异，分析二者对边坡稳定性计算结果的影响，本文依据作用效果对反坡条块重力采取不同的处理方式，通过公式推导、对比分析和典型算例等方法探讨2种计算方式的区别及内在联系。通过对比分析，使对含反坡滑动面的分析能得到合理的认识和正确的判断。本文的探讨，也是对传统条分法的一点有益的补充。

1 传统Fellenius方法基本公式

1.1 阻滑条块和致滑条块

图1 为典型的圆弧滑动面求解边坡稳定性安全系数的计算模型图，滑动趋势由右向左，也即边坡的倾向方向，滑动面上箭头方向表示滑床对滑体切向力的方向，与边坡的滑动趋势相反，故都为由左向右。图1右侧为任意条块i的受力图，将接触面上的受力分别简化为法向和切向的集中力，条块的受力可表示为：1)条块的重力Wi；2)滑动面ef上的法向力Ni，剪切力Ti；3)条块两侧的法向力Ei，Ei+1和竖向剪切力Xi，Xi+1。

图1 条分法模型Fig.1 Mechanical model of slices method

图2 为图1模型中对应的反坡条块的示意图，很明显反坡条块底面倾向与边坡的滑动趋势是相悖的，从而导致反坡条块重力的作用效果是阻止边坡滑动。故可根据条块底面倾角对顺坡条块及反坡条块进行区分，考虑顺从边坡滑动趋势的倾角为正，当倾角αi>0时，条块为顺坡条块；当倾角αi<0时，条块为反坡条块。根据二者重力作用效果的差异，也可以将顺坡条块称为致滑条块，将反坡条块称为阻滑条块。

图2 反坡条块Fig.2 A reverse slope slice

1.2 传统Fellenius求解公式

Fellenius法又称瑞典条分法，该方法假定不考虑土条两侧的作用力，根据力学平衡有：

再以摩尔−库仑准则为基础，得到条块土体的抗剪强度：

从而得到相应滑动面的安全系数：

式(1)～(3)中：Ni为条块底面正压力；Ti为条块下滑力；Wi为条块i的重力；αi为条块底面的倾角(当αi<0条块i为反坡条块；当αi>0条块i为顺坡条块)，li为条块底边长度；ci为土体黏聚力；φi为土体内摩擦角；τfi为条块抗剪强度；Kold为按传统公式求解的安全系数；Mr为阻滑力矩；Ms为下滑力矩；R为圆弧滑面半径。

由式(3)可以发现传统的Fellenius计算公式分母中的下滑力矩是所有条块重力所产生力矩的代数和。故在计算含反坡边坡的安全系数时，反坡条块重力是归在下滑力项完成计算的。

1.3 基于反坡重力作用效果考虑的Fellenius法

由于底面倾向与边坡滑坡趋势相悖，反坡条块的重力对边坡起到了阻滑的作用效果，若按照力的作用效果将反坡条块的重力力矩归在阻滑力矩Mr内计算，一定会得到截然不同的计算结果。

以某滑动面为例，假设边坡从右到左共有n个条块，从第m个条块(m

式(4)中：Knew为按考虑反坡重力作用效果的反坡公式计算得到的安全系数。

1.4 与传统公式的对比分析

为了讨论考虑反坡重力作用效果的反坡公式和传统公式之间的差异和联系，本文通过数学推导揭示了二者求得的安全系数的大小差异和内在规律。令

为方便计算，式(5)用a，b和c代表分别代表滑动面抗剪强度提供的阻滑力矩总和、顺坡条块的下滑力矩总和、反坡条块重力提供的阻滑力矩总和。将式(5)代入式(3)，式(4)可得：

Fellenius传统公式：

Fellenius反坡公式：

令2式相减，可得：

上述公式中a，b和c均大于0，且由滑动趋势及顺坡条块和反坡条块的定义可知b>c。由式(8)可分析传统公式和反坡公式计算结果的大小关系：

1)当Kold>1时，可得Kold>Knew。此时将反坡条块的重力力矩考虑为阻滑力矩计算得到的安全系数比传统公式的计算结果要小。即在分析安全系数大于1的边坡时，反坡公式的计算结果较传统公式偏小，反坡公式对于工程的设计和施工更偏安全。

2)当Kold<1时，可得Kold

3)当c=0时，即当边坡不存在反坡时，传统公式和反坡公式的计算结果相同。

另一方面，通过式(8)还可以揭示2种公式计算结果差异大小的内在规律：

1)当滑动面确定，边坡各条块重力产生的力矩就是定值，即b和c值的大小不变，此时若|Kold−1|越大，则2种公式计算得到的安全系数的差值就越大。计算结果差异的增大，很可能造成对边坡不同的处置措施，故在工程实践中，遇到较稳定或较危险的边坡时，选用合理的公式计算安全系数十分必要。

2)假定传统公式计算结果Kold一定时，当c越大，b越小时，即当反坡条块重力力矩越大，顺坡条块重力力矩越小时(也可理解为反坡条块和顺坡条块数量的变化)，传统公式和反坡公式计算结果的差异也就越大。故在分析反坡占比较大的边坡稳定性时，考虑反坡作用，选用合适的计算公式十分重要。

最后值得注意的是当用传统公式和依据重力作用效果对反坡条块有所区分的反坡公式计算同一边坡时，二者计算结果只会出现同时大于1或同时小于1的情况。采用反证法，假设Kold>1，Knew<1，依据式(6)和式(7)并结合公式中a，b和c均大于0且b>c的条件，可得：

显而易见式(9)与式(10)矛盾，故假设Kold>1，Knew<1不成立，同理可证Kold<1，Knew>1不成立，故二者只会出现同时大于1或同时小于1的情况。

综上基于Fellenius法的数学推导，可初步了解传统公式与反坡公式计算结果之间的大小关系和内在规律。说明了在实际工程中合理选择计算公式的必要性，并对怎么选择计算公式做了初步分析。

2 传统Bishop方法基本公式

类似上文对Fellenius法公式的调整，可对Bishop法或其他条分法的公式进行相应的调整。

Bishop条分法忽略了土条之间的竖向剪切力Xi，Xi+1，并根据条块底滑面的极限平衡条件，可以得到相应的滑面切向力：

最后可得Bishop条分法的传统计算公式：

通过式(12)迭代计算即可求解得到按传统公式计算的安全系数。

假设边坡从第m个条块开始均为反坡条块，即可对式(12)进行调整，将反坡条块重力力矩视作阻滑力矩进行计算，调整后的反坡公式如下：

对于Bishop法而言，因为安全系数的求解公式与Fellenius法一致，故其反坡公式与传统公式的求解结果的差异与内在规律与Fellenius法是相同的，也即2.4节所述。

值得注意的是本文只对圆弧滑动面的2个方法的公式进行了调整和分析，而对于非圆弧滑动面的其他方法，只要边坡含反坡，均可按此思路调整计算公式。对于任意滑动面，可能出现反坡条块位置的不连续，此时只需严格从几何形状上进行判断即可，即当条块底滑面的倾向与边坡的滑动趋势相悖时，就能判断该条块为反坡条块。

3 理想模型的对比分析

为了更深入探讨传统公式与将反坡条块重力力矩归为阻滑力矩的反坡公式的差异与区别，拟通过理想模型进行分析，故建立了一个对称的理想圆弧滑面模型，如图3所示。

图3 理想圆弧滑动面Fig.3 An ideal circular sliding surface

假设模型为均质土体，圆弧AD为对称滑动面，点O为滑动面圆心，滑体以O点垂线OK为中心线对称，将滑体竖向条分，条块数量及形状也以OK对称，滑面土强度参数为c，φ。

现假定该理想滑面滑动趋势为顺时针，根据条块底滑面倾角可知，AK范围内的条块为反坡条块，KD范围内的条块为顺坡条块，二者以OK轴对称。

通过式(3)，式(4)和式(5)可以获得运用Felleni‐us法传统公式和反坡公式对该理想模型的解，传统公式解为：

将反坡重力力矩考虑为阻滑力矩计算的反坡公式的解为：

考虑到该理想模型以OK轴左右对称，故有顺坡条块的重力力矩与反坡条块的重力力矩相等，即b=c，可得：

对于该理想模型，由式(14)可知，传统公式无法求得定值，其求解结果为无穷大；而通过式(16)可以发现将反坡重力归到阻滑力的反坡公式对于该理想模型的求解可以获得一个大于等于1.0的定值。显然此时对于该假定的滑面，运用反坡公式计算更加合适。

进一步假设圆弧滑动面为一理想的光滑面，即a=0(滑动面的抗剪强度为0)，此时阻滑力矩和致滑力矩均由重力产生，将a=0代入式(14)和式(16)可得：

显然传统公式仍无法求解这种情况，而由式(18)反坡公式的求解结果可知，此时图3滑体处于极限平衡状态，这也符合该理想模型此时力学分析的结果。

通过对理想模型的分析，可知当计算反坡占比较大的边坡安全系数时，将反坡重力力矩归为阻滑力矩计算的反坡公式显然更为合适。

4 算例分析

4.1 程序说明

根据传统公式和考虑反坡重力作用效果的反坡公式，开发了边坡稳定性分析程序。程序可以选择条块数和条块宽度、设置不同土层参数，可以考虑多层土体边坡的分析，并可以选择分析方法。程序的计算数据可视化部分能较好的展现分析结果。为了区分反坡和顺坡条块，在程序中可以直接找到圆弧滑动面的最底端切线为水平的点作为顺坡和反坡条块划分的分界点。程序主要模块运行的流程图如图4所示。

图4 程序模块流程Fig.4 Program modules flow chart

4.2 安全系数大于1.0算例

为了更形象、具体探讨条分法考虑反坡时传统公式和反坡公式之间的大小差异和内在规律，建立了如图5所示某简单均质边坡模型，边坡参数见表1。

图5 算例边坡模型Fig.5 Slope model of the example

表1 计算选取的土层参数Table 1 Soil parameters for calculation

程序对滑动面的搜索采取的是网格法(gird search)，网格颜色体现了该网格圆心对应的滑动面的安全系数的大小。

为了更好地通过算例具体、形象地分析传统公式和依据重力作用效果对反坡条块有所区分的反坡公式的差异与规律，采取了Fellenius和Bishop 2种方法的传统公式和反坡公式对算例进行4次计算。且对于同种方法的2种公式采取同一滑动面进行对比分析。Fellenius法2种公式的计算结果如图6和图7所示，Bishop法2种公式的计算结果如图8和图9所示，安全系数计算结果见表2。

表2 表1中岩土参数计算结果Table 2 Results by the soil parameters in table 1

图6 Fellenius法传统公式计算结果(K=1.845 9)Fig.6 Result of traditional Fellenius’formula

图7 Fellenius法反坡公式计算结果(K=1.630 8)Fig.7 Result of Fellenius’reverse slope formula

图8 Bishop法传统公式计算结果(K=1.998 0)Fig.8 Result of traditional Bishop’s formula

图9 Bishop法反坡公式计算结果(K=1.739 0)Fig.9 Result of Bishop’s reverse slope formula

由表2计算结果可知，当传统公式计算滑动面安全系数大于1.0时，将反坡重力力矩归为阻滑力矩计算的反坡公式的计算结果比传统公式的计算结果偏小。这与前文数学公式推导的结论相互印证，且从式(14)和式(16)对理想模型的分析中可以看出，传统公式与反坡公式计算结果的差异有时可能极大。

通过对式(5)的进一步解读可知，当边坡中存在反坡，且反坡土体重力逐渐接近顺坡土体重力时(式中c的大小逐渐逼近b值大小时)，会导致分母变小而使得计算结果增大，极端例子如图3理想模型b=c时的结果。以表2中Bishop条分法为例，依据重力作用效果对反坡有所区分的反坡公式的计算结果相较传统公式计算结果减小了0.259，这种幅度的缩减显然是比较大的。且在建筑边坡工程技术规范中，存在安全系数的界限，决定了边坡不同的处置结果，故根据实际工程选择何种公式需要工程人员足够注意。

4.3 安全系数小于1.0算例

对于图5中的边坡模型选取表3的土层参数计算时，运用传统公式将得到小于1.0的安全系数。

表3 模型计算选取的土层参数Table 3 Soil parameters for calculation

选择同一滑动面分析。图10和图11为Felleni‐us法2种公式的计算结果，图12和图13为Bishop法2种公式的计算结果，安全系数计算结果见表4。

表4 表3中岩土参数计算结果Table 4 Results by the soil parameters in table 3

图10 Fellenius法传统公式计算结果(K=0.839 0)Fig.10 Result of traditional Fellenius’formula

图11 Fellenius法反坡公式计算结果(K=0.874 1)Fig.11 Result of Fellenius’reverse slope formula

图12 Bishop法传统公式计算结果(K=0.889 9)Fig.12 Result of traditional Bishop’s formula

图13 Bishop法反坡公式计算结果(K=0.914 3)Fig.13 Result of Bishop’s reverse slope formula

显然在计算安全系数小于1.0的边坡时，传统公式的计算结果更小、更偏安全，这同样也符合上文数学公式推导的结果，在计算此类较危险的含反坡边坡时，传统公式更利于工程安全。

5 结论

1)目前仍广为应用的几种条分法，在分析含反坡的边坡稳定性时，忽视了反坡条块重力不同的处理方式对安全系数求解结果的影响。本文通过分析，说明了在求解中区别考虑反坡条块重力的必要性。

2)针对传统的Fellenius方法，分析了将反坡重力视作阻滑力计算的公式与传统公式的差异，得到了当传统公式安全系数计算结果大于1.0时，考虑反坡作用的公式会得到较传统公式较小的安全系数的结论。反之小于1.0时，会得到较传统公式较大的安全系数。而通常边坡治理会要求大于1.0以上安全系数，所以在此情况下，考虑反坡作用时得到的更小安全系数说明传统公式结果会高估边坡安全系数，这一点需引起重视。从安全的角度出发，当滑动面含有反坡时，将反坡重力作为阻滑力项计算的计算结果对于边坡工程设计更偏于安全。

3)当原传统公式求到的安全系数Kold>1时，若滑动面确定时，Kold值越大，将反坡重力作为阻滑力计算的反坡公式的安全系数相对传统公式的差异越大。若Kold一定时，反坡条块数越多，则反坡公式计算的安全系数相对传统公式的差异越大。从文中例题看，这种差异会随着反坡条块数增加而逐渐放大。从工程角度，应该根据具体的传统公式所求安全系数大小和反坡条块数或其重力所占总条块数或总重力的比例来评估其差异的程度，并选择更为合理的分析方法。

4)通过本文图3所设计的可以直接获得解析解的例题分析，说明当滑动面含反坡时，将反坡重力作为阻滑力的公式计算结果更为合理，且不会导致分析时传统公式出现计算奇异的问题。