陈 胜，卢俊邑，滕保华

(电子科技大学 物理学院，四川 成都 611731)

近年来，随着对低维材料的不断研究和制备，像纳米岛、纳米管、纳米线等材料表现出了一些非常奇妙的性质.由于纳米低维材料在微电子器件、数据存储器上有着巨大的应用前景，从而引起了理论和实验的广泛研究.理论研究可以采用考虑了横场分量的横场Ising模型(简称TIM)[1]，作为在统计物理、量子力学中描述或预测铁电及铁磁材料相变性质的重要模型，一定程度上能够较好地与实验结果进行对照分析.

同时，由于三维TIM模型没有精确解[2]，因此应用了许多近似方法来研究该模型的过渡性质.平均场近似(MFA)将所有粒子的相互作用场看成一弱周期场，虽然公式简单却忽略了涨落，具有一定的局限性.T.Kaneyoshi利用关联有效场理论(EFT)中的Zernike退耦近似处理(ZA)[3,4]，Teng采用的费米型格林函数的高阶退耦合近似[5,6]，其结果都优于通常的MFA.

本文基于横场Ising模型，利用量子统计物理中的格林函数理论[7]，分别利用通常退耦合近似(MFA)和高阶退耦合近似研究正方晶格纳米岛的相变性质.首先介绍关于横场Ising模型的格林函数求解过程，并采用通常的退耦合近似(MFA)和高阶退耦合近似得到纳米岛赝自旋的极化强度以及横向分量方程组.然后讨论在特定情况下，MFA的一些非常规结果以及产生机理，并与高阶退耦合近似的结果进行比较.

1 模型和公式

双层正方晶格纳米岛由2个具有正方晶格的单层纳米岛构成，如图1，每层平面的每个位置占据一个Ising自旋，仅有自旋向上和自旋向下，共计有9个自旋1/2的极性原子.对于铁电材料，格点之间交换相互作用常数为Jij(>0).

图1 正方晶格纳米岛2D图与3D图(双层)

正方晶格铁电纳米岛的哈密顿量表示为[3,4,8]

(1)

(2)

我们对上述方程组2采用通常解耦合近似处理:

(3)

于是赝自旋的x和z分量可以写成

(4)

(5)

这就是通常平均场近似(MFA)的结果.为了得到优于MFA的结果，对运动方程链2进一步推导

(6)

此处采用高阶退耦合近似处理：

(7)

(8)

赝自旋的极化强度z分量和x分量可以写成

(9)

根据正方晶格纳米岛的结构，可以计算得到：

(10)

(11)

(12)

该系统只有3种位于不同环境中自旋，于是总极化强度P可以用〈Si〉、〈Sa〉(或b、c、d)，〈Se〉(或f、g、h)表示

(13)

为了定性描述，我们以J为标准，进行无量纲约化，(约化后的温度t=kBT/J).

2 数值结果与讨论

根据以前的研究[3]，我们知道纳米岛的“相变重入”现象主要在由于层间交换相互作用和横场.JR/J较大时和Ω/J较小时，方程组4可能存在着伪解.为了研究高阶退耦合近似对解的影响，我们在同一图中描绘了MFA和高阶退耦合近似的结果.

2.1 P-Ω/J曲线

我们研究了在内外横场相等(即Ω=ΩS)时，JR/J=1.0，JS/J=0.0，t=0.02时的极化强度与横场的依赖关系曲线(见图2a).当初始自旋不同向时，例如取向为|0↑↓〉时，利用MFA我们将得到纳米岛铁电性将在Ω/J=0.0～0.5区间内逐渐增强.在Ω/J=0.5时铁电性达到峰值，此时的极化强度P=0.286，然后又从铁电相转变至顺电相，这和T.Kaneyoshi利用EFT获得的曲线趋势(先增后减)大致是一致的[3].此转变过程可以看成是经历了两次相变，即顺电相到铁电相，然后在回到顺电相.

在高阶退耦合近似下，为了避免奇异性,我们取JS/J<<1.发现在高阶退耦合近似与MFA的极化曲线在横场较小时有非常大的不同，与MFA极化强度曲线直接从0缓缓到达峰值PΩ=0.5，再缓缓下降至0相比，高阶退耦合近似首先在横场0～ΩC的范围内，极化曲线首先由一正值迅速下降到一个负值，然后在ΩC处发生突变变为一正值，然后缓缓下降至0. 根据极化强度为0为顺电相，大于0为铁电相，小于0为反铁电相.也就是说该相变过程在横场0～ΩC范围内为铁电相到顺电相再到反铁电相的转变，在ΩC点由反铁电相突变为铁电相，然后极化强度逐渐减至0，实现了铁电相到顺电相的转变，此过程经历了3次相变，具有3个转变横场Ω/J使得其发生相变.

初始自旋取向为|0↑↓〉

若初始自旋取向为|↑↑↑〉，发现无论是MFA还是高阶退耦合近似得到的P-Ω/J曲线趋势是完全一致的，虽然高阶退耦合近似的曲线被MFA得到的曲线完全包裹，但曲线为一阶梯形状. MFA曲线中的阶梯点和图2(a)中曲线的转折点为PΩ/J=0.5=0.286，此时从极化曲线观察不到重入现象的发生.在曲线的转折点后，极化曲线完全重合.也就是说当Ω/J≥ΩC/J=0.5时，极化强度方程组仅有唯一解.在根据无横场(Ω=ΩS=0.0)时，零温下铁电材料必处于基态，自旋完全同向，即极化强度P=0.5，可以知道图2(b)中曲线才是能正确描述纳米岛相变性质的曲线.

2.2 P-JR/J曲线

类似地：在Ω/J=ΩS/J=1.0，JS/J=0.0时，我们在图3(a)和图3(b)时中分别利用MFA和高阶退耦合近似研究了T→0K时的极化强度与层间交换相互作用常数依赖关系，同样分别取自旋取向|0↑↓〉和|↑↑↑〉，也可以得到两组解.我们可以发现此时利用MFA得到的极化曲线与图2中极化曲线形状是一致的，只是方向相反.根据JR是增大铁电材料自发强度，JR/J趋于无穷大时，极化强度P=0.5，判断得出图3(b)才是正解所表示的曲线.

初始自旋取向为|0↑↓〉

值得注意的是，和MFA选择同样的参量，利用高阶退耦合近似只得到唯一解.与MFA得到的结果最大的区别在于极化曲线不是两段阶梯式上升，而是在前段JR/J较小时恒为0，然后到达临界点JRC/J时开始慢慢递增.通过计算得知在JR/J为无穷大时P=0.5，满足物理意义.曲线的前段的直线P=0，可以这样进行解释，由于横场较大，开始时JR/J较小时，铁电性很弱，不足以诱发纳米岛产生自发极矩.而后随着JR/J的增大，自发极矩逐渐增加，最终达到完全自旋同向.

2.3 P-t曲线

在图4(a)和4(b)中我们分别利用MFA和高阶退耦合近似研场究了弱横场作用下(Ω/J=ΩS/J=0.1)正方晶格纳米岛的极化强度随温度的热变化关系.在层间交换作用JR/J=2.0，随着表面交换相互作用的减小，极化曲线逐渐左移，居里温度不断下降.并且在JS/J趋于0时出现弯曲，表现出阶梯形状，在前段陡然下降，而后趋于平缓下降，JS/J越小，极化曲线弯折得越明显，这在蜂窝晶格纳米岛的研究中也有相似的现象[10].

但是我们可以注意到，高阶退耦合近似对横场更为依赖，在弱场下，零温下的极化强度随JS/J的变化具有很大的差别.在相同的JS/J条件下，采用高阶退耦合近似得到的极化曲线相对于MFA更为平缓，居里点更低.这是由于高阶退耦合近似增大了交换相互作用与横场的联系，降低了MFA对于纳米岛铁电性的夸大.

MFA得到的极化图

3 总结

本文在格林函数理论的框架下，分别利用MFA和高阶退耦合近似求解运动方程，研究了正方晶格铁电纳米岛的极化曲线.表明了在初始自旋取向选取的不同，利用MFA可能导致在Ω/J较小时和JR/J较大时产生多解，即可能产生为伪解，观察到重入现象的发生.而利用高阶退耦合近似不但可以解释更为丰富的相变过程，同时在初始自旋随机时，几乎仅存在唯一解，能够有效避免伪解的产生，能够更好的与实验结果相符.本文还表明JS/J是造成极化曲线出现阶梯形状的主要原因，也应证了高阶退耦合近似充分考虑了横场分量对于纳米岛相变的影响，可以降低MFA对于铁电性的夸大，具有更广的适用性.另外，Ising模型和格林函数理论基本上为大学阶段内容，通过正常的物理教学可以拓展学生视野，了解学科前沿，同时也丰富了课堂内容，锻炼了学生分析问题和解决问题的能力.