磁致旋光效应的电动力学解释

2021-09-16肖添宁王拴虎

大学物理 2021年9期

肖添宁，王拴虎

( 西北工业大学物理科学与技术学院，陕西西安 710129)

1845年，法拉第经过长期艰苦的工作，首次观测到了光与磁的相互作用——磁致旋光效应[1].这表明，除了某些各向异性的旋光介质能够对线偏振光的偏振面进行旋转之外，对各向同性介质施加外磁场，也会出现同样的旋光效应.近几年，随着激光和光电子技术的不断发展，磁致旋光效应的应用更加广泛，例如磁光调制器、磁光隔离器、磁光开关、磁光环形器等[2,3].

1 介质的各向异性

1.1 电子的运动方程

首先，在介质内部建立O-xyz空间直角坐标系，设外加匀强恒定磁场B0沿着z轴方向，将电磁波的高频电场E作为参考矢量，且仅考虑电磁波沿z轴方向传播的情况.根据电子受到的洛伦兹力，电子的运动方程为

(1)

注意，上式中电子电荷的负值已经包含在q当中了.为了方便分析[6]，通常设电磁波中电场随时间谐变，从而有E=E0e-iωt；同时，电子的运动可看作是在谐变电场E下的受迫振动，从而电子的速度可表示为v=v0e-iωt.考虑到电磁波沿着z轴方向传播，故Ez=0，从而仅分析x和y方向上的各个物理量.将上述关系代入式(1)得到

(2)

(3)

不难看出，式(3)的张量矩阵与SO(2)平面旋转矩阵的结构相似，即对角元素相同，副对角元素互为相反数，这种相似性说明体系具有旋转特征的可能性.此外，当外磁场B0=0，副对角元素为0，矩阵与单位矩阵的结构相似，从而预示着体系回到简并的情况，即各向同性的情形.

1.2 相对介电张量

本节将介质分为电介质和导体分别进行讨论.

1.2.1 电介质

对于电介质，在电场的作用下会发生极化现象，故考虑极化强度，并将其与电场E0的关系推广到张量形式[8]

P0=ε0χeE0=neqr0

(4)

其中χe为电极化率张量，ne为电子数密度.

根据式(1)，也可解出r0的表达式，不难得到其与速度v0的关系为

(5)

再根据电极化率χe与相对介电张量εr的关系，并联立式(3)—(5)得到

(6)

其中I为单位矩阵，且有

1.2.2 导体

对于导体，电场会使电子定向移动，形成电流，故考虑欧姆定律的微分式，并将之推广到张量形式[8]:

J0=σE0=neqv0

(7)

其中σ为电导率张量.

(8)

上式将电流纳入到介电张量当中，由此定义出等效相对介电张量ε′r:

(9)

联立式(3)(7)(9)，并考虑到导体没有极化现象，满足εr=I，从而得到

(10)

可见，电介质的相对介电张量和导体的等效相对介电张量的数学形式完全一致，因而可以统一进行分析.

2 本征态的导出

本节直接使用等效相对介电张量ε′r，当考虑电介质时，只需令电导率σ=0即可；当考虑导体时，令εr=I即可.

2.1 频域麦克斯方程组

(11)

注意，上式由于ε′r已经包含电流项了，所以根据电流连续性方程，第一式中的自由电荷项也已经包含在等式左边，从而等式右边为0.

由于所考察的物理量涉及动量，因而考虑(11)在傅里叶空间的形式.对方程组两边同时进行傅里叶变换.此外，考虑到磁致旋光介质通常为非铁磁性物质[1]，故默认μr≈1，得到

(12)

2.2 求解本征态

对(12)的第二式两边同时左叉乘波矢k得到

k×(k×E0)=ωμ0(k×H0)

(13)

式(13)左边由A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)式，以及横电磁波的性质k·E0=0，得到

k×(k×E0)=-k2E0

(14)

式(13)右边利用式(12)中第四式进行代换，得到

ωμ0(k×H0)=-ω2μ0ε0ε′rE0

(15)

根据 (13)左右相等得到

ω2μ0ε0ε′rE0=k2E0

(16)

从而化归为本征值问题，不难求得(16)的本征值和本征向量.

当B0≠0时，ε2≠0.解出两本征值不相等，称为右旋波矢和左旋波矢:

(17)

相应的本征向量, 称为右旋基矢量和左旋基矢量:

(18)

这便是磁场对体系产生影响而退简并的结果，所产生的右旋和左旋波矢大小不同，使得线偏振电磁波在通过介质时，偏振面发生旋转，即磁致旋光现象.由于这种旋转的方向仅依赖于外磁场的方向，如果对时间反演，旋转的方向仍和反演之前相同，但传播方向与之前相反，从而打破了时间反演不变性，即光路不可逆.详细的定量讨论将在下一节进行.