刘皓天，冯杰成，康现伟

(1. 北京师范大学 物理学系，北京 100875；2. 北京师范大学 核科学与技术学院，北京 100875)

电磁涡流是最常见的电磁感应现象之一，在电子电气工程领域有着重要的地位和广泛的应用，但在精度和适用范围方面都存在着许多局限.通过对其物理本质的探索和近些年来材料领域的飞速进步，人们认为涡流在不同领域还具备更大的潜力.

1 涡流探测的唯一性证明

涡流探伤可以说是涡流最重要的应用之一，其正确性由这一类“逆问题”的唯一性所保证.其中，最受人关注的是“对于一个反馈信号,被探测物体是否只存在一种电磁结构？”倘若答案是否定的，那么这样的探测方法必定会受到很大的局限.

想要回答这个问题，首先要回答“是否存在一种电流，其外部产生的磁场为0？”这样的情况的确存在.1910年，Ehrenfest[1]首先提出了该想法，并做出了初步数学验证.1989年，Gamliel, Kim, Nachman和Wolf[2]给出了一个十分有用的结论：有界源在区域A分布，形成的电磁场满足

(1)

其中，q(r)表示随r衰减的源函数.

式(1)的解为[3]

(2)

积分区域为A.

当源q(r)在外界区域B不产生电磁波辐射时，一定满足边界条件

u(r)|r∈S=0

(3)

(4)

其中，S表示A和B的边界，如图1所示.即在边界处，若源产生的场平滑地趋于0，这个源是不会在区域B发出辐射的.设总磁场H(r,t)为

H(r,t)=Hi(r,t)+Hr(r,t)

(5)

其中，Hi(r,t)表示激励磁场，由检测探头上的交流电产生，可令被探物体产生涡流，该涡流对应上文提及的有界源.Hr(r,t)表示反馈磁场，由被探物体的涡流产生，作为探测信号由检测探头接收.

图1 边界S示意图

涡流扩散方程

(6)

其中，μ(r)表示为磁化率，σ(r)表示电导率.初始条件为

H(r,0)=Hi(r,0)

(7)

令H(r,t)=H(r)eiωt，方程(6)可化简为

(8)

令k2=-iω

(9)

(10)

将式(5)代入式(10)得

(11)

(12)

式(12)与(1)类似，其解可写为

(13)

积分区域为A.当μ(r)、σ(r)为常数，即F(r′)为常数时，Hr(r)|r∈S≠0.因此，涡流在区域B中会产生反馈磁场.而当μ(r)、σ(r)不为常数时，涡流产生的反馈磁场在边界S处有平滑地趋于0的可能.

由于涡流探测最主要的用途是对大型金属原件探伤，通常面对的材料都是各向同性的，因此不存在上文提及的在外部产生磁场为0的电流.现在，假设在外部产生磁场为0的电流I′r存在.当被探物体的电磁结构改变，激励磁场Hi引起的涡流由Ir变为Ir+I′r时，而在外部产生的反馈磁场Hr不变.即导致一种反馈磁场对应两种电磁结构，唯一性被破坏.然而，当在外部产生磁场为0的电流不存在时，唯一性得到保障.

2 涡流探测在工业应用

在工业应用中，通过监测涡流在样品中的变化可以来探测样品的各种性质：电导率、硬度，是否有裂痕，区分纯材料和合金等.

2.1 涡流探测原理

工作原理为检测探头通入交流电，由于电磁感应在样品中形成涡流，涡流再次形成反馈磁场，对探头的阻抗产生影响.监测探头阻抗的变化即可实现对样品的检测[4].设未受影响时的探头阻抗为

Z0=R0+i2πfL0

(14)

其中，R0表示电阻，i表示虚数单位，f表示测试频率，L0表示探头电感.受反馈磁场影响后的探头新阻抗为

Zc=Rc+i2πfLc

(15)

Rcn>Rcn+crack，Lcn

这是因为当样品中有裂痕时，会阻碍涡流，导致生成的反馈磁场减小，使得阻抗实部减小；激励磁场和反馈磁场的叠加之和增大，使得阻抗的虚部增大.

2.2 趋肤效应对涡流探测的影响

在工业运用中，考虑到趋肤效应，通常会通过改变测试频率来适应不同的检测材料.

(16)

其中，J(z)表示样品深度为z的电流面密度，Jmax表示样品表面最大电流密度，δ表示标准渗透深度，α0表示为初始相位，ex表示电流方向.

(17)

其中，ω=2πf.由式(17)得，测试频率越低，电磁探伤可以达到的深度就越大.

2.3 电导率、磁导率对涡流探测的影响

在工业应用中，对于电导率高的样品，产生的涡流强度更高，导致探头接收到的信号电平更高.有助于分辨究竟是由于材料自身厚度不均导致的信号变化，还是材料自身存在裂痕导致的信号变化.但是由式(17)可知，高导电率样品的标准渗透深度δ较小，能够检测的深度有限.

铁磁材料由于磁导率变化大，对涡流会产生较大影响，导致检测难度增大.可以通过平均化磁导率来降低不均衡磁导率的影响.将样品足够靠近通入大电流的磁化盘，使样品磁化即可.

3 涡流操控

涡流在工程上的重要性不言而喻，利用相关原理的设计也是应用广泛.因此，如果能够实现对涡流的操控，例如在某一特定激励磁场下，通过设计负载的属性，令其产生符合人们预期的涡流，会对相关领域很有帮助.

涡流操控，很早就被应用于产品中.例如为了减小涡流带来的损耗，变压器的铁芯经常由钢片压制而成，中间的空气间隙有效地减弱了涡流.为了更加精细地操控，改变材料的磁导率和介电常数是最直接的方法[5].

首先，推导最基本的涡流方程.本构方程:

J=σE

(18)

B=μH

(19)

麦克斯韦方程组:

(20)

其中，ε表示介电常数.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

称式(25)为涡流的扩散方程.同理，还可以得到关于电场的扩散方程

(26)

实际上这一方程只适用于电导率σ和磁导率μ为常数情况.完整描述导体中磁场的方程应该修改为[6]

(27)

做以下简化：

2) 电导率σ和磁导率μ变化相对平缓，在高频情况下，其梯度的变化相对于磁场强度随时间的变化很小，忽略式(27)后面两项;

3) 激励磁场的边界条件：固定频率为ω的正弦场;

4) 考虑无穷大二维平面.

则得到了更加简单的涡流方程:

(28)

令z=x+iy，方程写成

(29)

设γ=μσ，做一次保角变换，令ζ=ζ(z)

(30)

通过在不同区域设计不同大小的γ，可以从z坐标系中的磁场变换到ζ坐标系中的目标磁场，实现对涡流的操控.以上只是简略的数学近似，该方法只适用于借助对称可以化为二维的系统.

另一种由Pendry[7]提出的方法可以适用于三维空间.本文将其应用在简化的二维涡流上.假设新的坐标为q1(x,y)、q2(x,y),定义

(31)

作为简写形式.

由于麦克斯韦方程组的协变性，满足方程组的解在新坐标下形式保持不变，只需将介电常数ε和磁导率μ改为张量形式(对应各向异性材料的情况).此时涡流扩散方程的形式会变得更加复杂，所以在这里做一个限定

J=σE

(32)

始终成立，即二者始终保持线性关系.在新的正交坐标系下，磁导率μ′qi，介电常数ε′qi为

(33)

(34)

磁场强度H′qi，电场强度E′qi变为

E′qi=QqiEi

(35)

H′qi=QqiHi

(36)

计算得到Qqi，带入变换后的涡流方程中，便可理论上求得各个位置的磁导率和介电常数.这里尝试计算几个简单的例子.

未进行任何操作时，在均匀介电常数、磁导率、电导率的材料上，涡流是对称的圆形，如图2所示.

图2 未进行操作的涡流示意图

如果希望涡流效应只产生在R1～R2的范围，内部不会受到涡流的影响,如图3所示.

图3 范围为R1～R2的涡流示意图

(37)

(38)

(39)

(40)

在新的正交坐标r′、θ′中，按照式(37)—(40)求得的磁导率和介电常数设计样品.得到的样品在激励磁场中产生的涡流将只分布在R1～R2的范围.相似方法可以得到涡流效应只产生在0～R1的范围，外部不会受到涡流的影响, 如图4所示.

图4 范围为0～R1的涡流示意图

这种操纵涡流的方法在理论上可以生成复杂的图案.但图案越复杂，材料的性质也越复杂.所以操控涡流的精度很大程度上取决于材料加工技术.

4 结论

本文论证了涡流探测逆问题的唯一性.研究了涡流探测在工业中的各种影响因素.理论证明了通过改变磁导率、介电常数，可以达到改变涡流形状的目的.